Предельные теоремы для ветвящихся процессов в случайной среде

Теория ветвящихся процессов изучает вероятностные модели, отражающие поведение различных совокупностей размножающихся и погибающих частиц. Основы этой теории были заложены в середине двадцатого столетия работами Колмогорова А. Н., Дмитриева Н. А. [16], Севастьянова Б. А. [23], [24], Яглома А. М. [30], Беллмана Р. и Харриса Т. [41]. С тех пор теория ветвящихся процессов постоянно и интенсивно развивается.

Изложению теории ветвящихся процессов посвящены широко известные монографии Севастьянова Б. А. [22], Харриса Т. [28], Атрейя К. и Нея П. [38], Мода К. [68], Ягерса П. [81]. Классической моделью ветвящегося процесса является процесс Гальтона-Ватсона, описывающий число частиц в популяции, в которой законы размножения частиц не меняются от поколения к поколению. Стремление исследовать более сложные ситуации, когда эти законы меняются с течением времени, привело к формированию в семидесятых годах двадцатого столетия двух новых направлений в теории ветвящихся процессов.

Первое направление рассматривает ветвящиеся процессы в изменяющейся среде (так называемые, неоднородные процессы). Под средой при этом подходе понимается совокупность заданных для каждого поколения законов размножения частиц. В посвященных этому направлению работах таких авторов, как Линдвалл Т., Ягерс П., Д’Суза Ж., Иржина М., Агрести А., Биггинс Дж., описываются условия, налагаемые на среду, при выполнении которых ветвящийся процесс в изменяющейся среде обладает тем или иным важным свойством. Например, вырождается с вероятностью единица, или является надкритическим, или имеет определенную скорость роста и т. д.

Вторым направлением является теория ветвящихся процессов в случайной среде. Изучение этих процессов было вызвано стремлением выявить наиболее характерные свойства различных ветвящихся процессов в изменяющихся средах. Поэтому в рамках этого направления предполагается, что сами эти среды являются реализациями некоторого случайного механизма. Для исследования ветвящегося процесса в случайной среде нужно знать вероятностную природу этого механизма.

Одним из интереснейших объектов исследования в этой области ветвящихся процессов являются процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде, естественным образом обобщающие классические процессы Гальтона-Ватсона. Опишем модель ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона в случайной среде подробнее.

Пусть </р := {в = (вх, •••, 5р): 0 < 5 г < 1, г — 1 ,., р}, р > 1, — р-мерный единичный куб с вершиной в начале координат, N0 := {0,1,2,.} - множество неотрицательных целых чисел и {1 = (*!,., 1Р): и е N0, г = 1, р

Для э = ., е </р и Ь = (?15 .,£р) Е N0 положим st := г=1.

Рассмотрим цепь Маркова {Спп? N0} с множеством состояний 9. Будем называть эту последовательность марковской случайной средой, а в случае, когда {Сп} состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин, будем говорить, что случайная среда порождается последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. С каждым значением в б © свяжем р-мерный вектор = (/^(в),., б? вероятностных производящих функций = 1 соответствующих р—мерным распределениям вероятностей (-{Ч}), Ь? Таким образом,.

Последовательность случайных мерных векторов =.

Zl{n)^Zp{n)).t п € N0, с неотрицательными целочисленными координатами называется ветвящимся процессом Гальтона-Ватсона с р типами частиц в случайной марковской среде если Ъ (0) не зависит от (и для всех п € N0, г = (*!,., 2,) 6 N5 и 0(°>,. е ©.

С{Ъ (п + 1) | г (0),., Ъ[п — 1), Ъ (п) = (гь ., гр), С = (0(о), 0(1),.)) г=1 3=1 / где случайные р—мерные векторы ., ?г-2^(п), г = 1 ,., р, имеют целочисленные неотрицательные координаты, независимы в совокупности, и, кроме того, при каждом г случайные векторы^Р (п), ., распределены сог) гласно вероятностной мере.

Соотношение (0.1) задает ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона в случайной среде, в котором величина Zi (n), i = 1,.,]?, — это число частиц типа г в п—ом поколении. Частицы в этом процессе эволюционируют следующим образом. Если (п = в 6 ©, то все частицы типа г, принадлежащие п-му поколению, производят потомков согласно закону распределения порождаемому р-мерной производящей функцией независимо от других частиц этого поколения и предыстории процесса. Таким образом, если (п — в, то в момент времени п 4- 1 потомство частицы типа г из гг-го поколения описывается случайным вектором с распределением 7гБудем считать, что процесс начинается в нулевой момент времени с одной частицы какого-нибудь типа г, г = 1, ., р.

Отметим, что модели многотипных и однотипных ветвящихся процессов как в случайной среде, так и без нее, естественным образом возникают в различных задачах биологии и физики (см., например, [7], [60]).

Ветвящиеся процессы в случайной среде — сложные вероятностные объекты, исследование которых требует значительных усилий. Впервые эта модель была рассмотрена Смитом В. и Вилкинеоном У. в основополагающей работе [70], где были найдены необходимые и достаточные условия невырождения процесса для случая среды, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. Затем Атрейя К. и Карлин С. в [36] и [37] проанализировали свойства ветвящихся процессов, находящихся под влиянием случайной среды более общего вида. С тех пор было опубликовано большое количество работ, посвященных этой тематике (см., например, соответствующую библиографию в [77], дающую представление о результатах, опубликованных до 1985 г., и более современные работы [1], [18], [31] - [33], [40], [45], [56], [102] - [90] и [105]).

Основными характеристиками, привлекающими внимание ученых при исследовании свойств ветвящихся процессов в случайной среде, являются асимптотика вероятности невырождения и функциональные предельные теоремы о распределении числа частиц в процессе, как правило, при условии невырождения процесса к далекому моменту времени.

Отметим, что большая часть публикаций по теории ветвящихся процессов в случайной среде посвящена изучению ветвящихся процессов с одним типом частиц. Многотипные же ветвящиеся процессы в случайной среде, ввиду значительной сложности модели, являются гораздо менее исследованным объектом. В этой связи можно упомянуть работы Танни Д. [75] и Каплана Н. [64], где были найдены условия невырождения процесса с вероятностью единица и установлены предельные теоремы о распределении числа частиц в процессе.

До появления работ автора диссертации [88], [94], [97] вопрос об асимптотике вероятности невырождения многотипного ветвящегося процесса в случайной среде оставался открытым даже для случая среды, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, не говоря уже о марковской случайной среде.

Заметим, что даже для процессов с одним типом частиц нахождение асимптотики вероятности невырождения ветвящегося процесса {г (п)} в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, оказалось непростой задачей. Как оказалось, асимптотика вероятности невырождения такого процесса существенным образом зависит от поведения случайного блуждания {5П, п <Е N0}, сопровождающего процесс ^(п)}. Это блуждание определяется соотношением о = 0, £п = Хг + ¦ ¦ • + Хт п > 1, где Хп — 1п (1), п > 1, а /п (5) — производящая функция распределения числа непосредственных потомков частиц п-го поколения. Козлов М. В. [17] впервые обнаружил глубокую связь между распределением числа частиц в ветвящихся процессах и свойствами сопровождающих их случайных блужданий.

Афанасьев В.И., Ватутин В. А., Гайгер Й. и Керстинг Г. ввели в работе [31] классификацию ветвящихся процессов с одним типом частиц, эволюционирующих в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. Эта классификация основана на свойствах случайных блужданий, сопровождающих процессы. Согласно данной классификации однотипный ветвящийся процесс {Z (n), п G No} называется докритиче-ским, если с вероятность 1 lim Sn = —оо — п—юо критическим, если с вероятность 1 lim inf Sn = —оо, lim sup Sn = +00- п-юо n—>oo надкритическим, если с вероятность 1 lim Sn = +00. n-юо.

Случай Sn = 0 для всех п = 0,1,2,., соответствующий так называемым вырожденным критическим процессам, пока не привлек внимание исследователей и в настоящей работе не рассматривается. Приведенная выше классификация естественным образом обобщает классическую классификацию, предложенную ранее в работах Смита В. и Вилкинсона В. [70], Атрейя К. и Карлина С. [36] и Танни Д. [74]. Эта классификация предполагала существование конечного математического ожидания у случайной величины Х = In /0' (1) и основывалась на знаке величины EXi = Ein/о' (1).

Существуют два подхода к исследованию ветвящихся процессов в случайной среде. При одном из них (английский термин — quenched approach) характеристики, связанные со свойствами ветвящегося процесса в случайной среде (например, такие, как вероятность вырождения процесса или закон распределения числа частиц в момент п), трактуются как случайные величины или меры, зависящие от реализаций среды (см., например, [36]—[38], [74], [102] и соответствующую библиографию в [77]). Такую ситуацию мы будем называть эволюцией процесса в замороженной среде. При другом (annealed approach) — производится усреднение упомянутых характеристик относительно распределения, заданного на множестве всевозможных реализаций среды (см. [3]-[5], [10], [46], [51], [17], [18], [100] и библиографию в [77]).

Для случая замороженной среды свойства вероятности невырождения процесса рассматривали, например, Атрейя К. и Ней П. [38], Атрейя К. и Карлин С. [36], [37] и Танни Д. [74]. В этих работах для случая EXf < 00 было, в частности, установлено, что вероятность невырождения критических и докритических процессов равна 1 для почти всех процессов.

В рамках annealed approach асимптотика вероятности невырождения докри-тического ветвящегося процесса с одним типом частиц в случайной среде исследовалась Афанасьевым В. И. [2], Гюиварчем И. и Лиу К. [59] и в более широких условиях Афанасьевым В. И., Боингхоффом К., Ватутиным В. А. и Керстингом Г. в [33], [34]. Было показано, что указанная асимптотика существенно зависит от знака величины ~EXieXl. В ситуации, когда EXi = O. EXf < оо, асимптотика вероятности невырождения однотипного критического ветвящегося процесса в случайной среде была найдена Козловым М. В. [17] для случая дробно-линейных производящих функций /п (s). Вопрос о нахождении асимптотики вероятности невырождения для произвольных производящих функций долгое время оставался открытым. Лишь в 2000 г. Гайгеру Й. и Керстингу Г. [56] удалось найти асимптотическое представление для вероятности невырождения в предположениях ЕХ1 = 0, EXf < оо.

До появления работ Ватутина В. А. и Дьяконовой Е. Е. [90], [91], [102] - [104] вопрос о поведении асимптотики вероятности невырождения в замороженной среде для критического ветвящегося процесса, допускающего возможность ЕХ^ = оо, а тем более не требующего существования математического ожидания ЕХЬ оставался нерешенным.

При изучении свойств ветвящегося процесса большой интерес представляет структура генеалогического дерева процесса, которую можно описать при помощи редуцированного процесса {Z (к, т), 0 < к < п < оо}, где Z (к, m) — число частиц, существовавших в процессе в момент времени к и имеющих ненулевое потомство в момент времени п. Редуцированные процессы для обычных процессов Гальтона-Ватсона изучали Фляйшманн К. и Прен У. [52], Зубков A.M. [15], Фляйшманн К. и Зигмунд-Шультце Р. [53]. Первые результаты для редуцированных ветвящихся процессов в случайной среде с дробно-линейными производящими функциями получили Боровков К. А. и Ватутин В. А. [46] и Фляйшманн К. и Ватутин В. А. [51], применяя annealed approach (т.е. усредняя характеристики и меры относительно распределения Р, заданного на пространстве сред). В дальнейшем Ватутин В. А. [11] обобщил результаты работы [46] и доказал, используя annealed approach, условную предельную теорему о распределении числа частиц в критических редуцированных ветвящихся процессах в случае производящих функций общего вида.

Редуцированные ветвящиеся процессы в замороженной среде впервые исследовали Ватутин В. А. и Дьяконова Е. Е. в [102]. Дальнейшее развитие этого направления нашло отражение в диссертации (см. работу [93]).

Исследование различных моделей ветвящихся процессов с разнообразными типами миграции привлекает внимание многих авторов. В частности, критический процесс Гальтона-Ватсона с миграцией исследовали Нагаев C.B. и Хан JI.B. [19], а также Янев Г. и Янев Н. [80]. Ветвящиеся процессы с иммиграцией изучались Зубковым A.M. [14]. Фостер Дж. [55] и Пейкс А. [69] рассматривали критические ветвящиеся процессы, в которых иммиграция в поколении п происходит лишь в том случае, когда в процессе в этот момент нет частиц. Модель критического процесса Гальтона-Ватсона с эмиграцией одной частицы в каждом поколении была исследована Ватутиным В. А. [6]. Описанные в работах автора диссертации [82] -[84] переходные явления для процессов с миграцией, которые были затем перенесены в [86], [87] на случай марковской случайной среды, явились актуальной проблемой в теории ветвящихся процессов.

Основной целью настоящей работы является изучение свойств однотипных и многотипных ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона, функционирующих в случайной среде. Диссертация состоит из четырех глав.

Первая глава посвящена анализу свойств многотипных ветвящихся процессов Гальтона-Ватсона, эволюционирующих в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. В ней рассматриваются многотипные ветвящиеся процессы, для которых матрицы средних значений законов размножения частиц имеют один и тот же собственный вектор, соответствующий перроновым корням этих матриц. Для многотипного процесса вводится понятие сопровождающего случайного блуждания, порожденного логарифмами перроновых корней матриц средних значений законов размножения частиц в поколениях п — 0,1,. Предложен новый метод исследования многотипных ветвящихся процессов в случайной среде, связанный с переходом к изучению сопровождающего случайного блуждания специального вида. Этот метод является обобщением известного метода исследования однотипных ветвящихся процессов с помощью сопровождающих их случайных блужданий. В этой главе впервые установлен ряд результатов, описывающих поведение асимптотики вероятности невырождения критического и докритического многотипных ветвящихся процессов в случайной среде, а также получена условная фукциональная предельная теорема о распределении числа частиц в критическом процессе. Следует отметить, что многие результаты этой главы доказаны при условиях, гораздо более слабых, чем известные до появления работ автора ограничения на характеристики процесса с одним типом частиц, эволюционирующего в случайной среде.

Во второй главе изучается многотипный ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона в случайной марковской среде. Здесь предложен новый метод «вложения» в исследуемый ветвящийся процесс некоторого вспомогательного многотипного ветвящегося процесса, который эволюционирует в случайной среде, порожденной уже последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, и, более того, матрицы средних вложенного процесса имеют один и тот же неслучайный собственный вектор, соответствующий их перроновым корням. Это позволяет, применяя результаты первой главы, найти асимптотику вероятности невырождения и установить предельную теорему, описывающую число частиц в исходном процессе при условии его невырождения. Отметим, что ранее, кроме грубых оценок сверху и снизу, об асимптотике вероятности невырождения многотипных ветвящихся процессов в случайной марковской среде ничего не было известно. Более того, даже для однотипных ветвящихся процессов в случайной марковской среде асимптотика вероятности невырождения была получена лишь в 2010 г. в работе Ле Пажа Э. и Йе Й. [66] и только для случая марковской цепи с конечным множеством состояний, причем при условиях, являющихся гораздо более сильными, чем налагаемые нами.

Третья глава посвящена исследованию ветвящегося процесса с одним типом частиц, эволюционирующего в замороженной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. При этом предполагается, что сопровождающее случайное блуждание удовлетворяет условию Спитцера-Дони, т. е. процесс является критическим. При этом условии второй момент ЕXI приращения шага сопровождающего случайного блуждания не обязан быть конечным, и даже математическое ожидание ~ЕХ может не существовать. Заметим, что ранее критический ветвящийся процесс в случайной среде, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин, в рамках quenched approach, рассматривался в лишь случае EXi = 0, ЕХ < оо (см. работы Атрейя К. и Ней П. [38], Атрейя К. и Карлин С. [36], [37], Танни Д. [74]).

В главе 3 разработан также новый метод исследования ветвящегося процесса в случайной среде, в основе которого лежит «расщепление» сопровождающего его случайного блуждания на две части — до момента глобального минимума на отрезке [0, п] и после него. Метод расщепления позволяет разбить задачу исследования свойств ветвящегося процесса в случайной среде на две части. А именно, сначала необходимо установить условные теоремы для случайных блужданий, удовлетворяющих некоторым необходимым условиям, а затем применить эти утверждения общего характера к анализу интересующих нас характеристик ветвящихся процессов в случайной среде. Этот метод оказался очень плодотворным и в настоящее время он активно используется рядом авторов при исследовании ветвящихся процессов в случайной среде (см., например, работы Бансайе В. и Боингхофф К. [40], Боингхофф К. и Керстинг Г. [45]).

В четвертой главе исследуются функционирующие в марковской случайной среде ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией и эмиграцией и процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией, зависящей от состояния процесса, а именно, с иммиграцией только в такие моменты, когда в процессе нет частиц. Изучаются переходные явления для этих процессов. Отметим, что ветвящиеся процессы с миграцией привлекают внимание многих авторов. Так, критический процесс Гальтона-Ватсона с миграцией изучали Нагаев C.B. и Хан JI.B. [19], а также Янев Н. и Янев Г. [80], для которого ими были установлены ряд предельных теорем о числе частиц в процессе. Критические ветвящиеся процессы с иммиграцией в нулевом состоянии были рассмотрены Фостером Дж. [55], Пейксом А. [69], Митовым К. и Яневым Н. [67]. Близкая модель критического процесса Гальтона-Ватсона с иммиграцией исследовалась Зубковым A.M. [14], а процесс с эмиграцией одной частицы в каждом поколении был изучен Ватутиным В. А. [6]. Однако все эти работы рассматривали ветвящиеся процессы с миграцией в ситуации, когда среднее значение числа потомков одной частицы в следующем поколении не менялось от поколения к поколению. Наша цель — изучить переходные явления для процессов Z{n) и Z (п), эволюционирующих в марковской случайной среде.

Перейдем к краткому изложению основных результатов диссертации. где Ci > 0, г = 1, ., р, а 1(п) — функция, медленно меняющаяся на бесконечности.

Отметим, что вероятность невырождения критических и до критических ветвящихся процессов с одним типом частиц, функционирующих в стационарной случайной среде изучали Д’Суза Дж. и Хембли Б. [49]. Что дает теорема 2.1 для однотипного ветвящегося процесса в марковской среде? Для ответа на этот вопрос обозначим {Z (n). п € N0} процесс с одним типом частиц в марковской среде {Сп}.

Следствие 2.1 Если для процесса {Z (n)} выполняются условия В1, В2 и ВЗ, в которых i=о то при п —" оо.

Р (Z (n) > 0 | Z (0) = 1) ~ ь где 1(п) — функция, медленно меняющаяся на бесконечности.

Для описания поведения числа частиц в процессе при условии его невырождения мы несколько изменим условия, налагаемые на характеристики процесса. Нам будет удобнее считать теперь, что = в0, r? (0) = 0, и поэтому интервалы регенерации теперь имеют вид [r? (k), r? (к + 1) — 1], к € N0, а участки регенерации Cv (k), CvW+l, Cri{k)+2,—, Cr?(k+l)-li к = 0,1,., начинаются с особого состояния. Положим.

U:=R где г] - первый момент возвращения в особое состояние. Заметим, что из леммы 2.2 следует, что X = X. То есть можно считать, что случайное блуждание {Еп, п G N0} порождается случайной величиной X.

Условие В4. Существуют числа Ъп > 0, n > 1, такие, что нормированные суммы Sn/6n сходятся по распределению к устойчивому распределению Л с параметром a G (0,2], причем 0 < Л (R+) < 1.

Известно, что для случайного блуждания £п, удовлетворяющего условию В4, bn = n1/, Ql (п), где I (п) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, и для Еп выполняется условие Спитцера-Дони с параметром р = Л (R+), т. е.

Р (?п > 0) р = Л (R+), п -> оо. (0.32).

Пусть (п) — случайный р-мерный вектор, который описывает существующее в момент времени п + 1 потомство частицы типа i из n-го поколения. Символом Pfn будем обозначать условную вероятность при фиксированной векторнозначной вероятностной производящей функции f (?n)(s).

Условие В6. При всех п > 0 выполняется соотношение п-1 Им< г—0.

Ci).

X :=1п?г,.

Пусть теперь случайная величина 77, являющаяся первым моментом возвращения в особое состояние, удовлетворяет следующему условию. Условие В7. Найдется 5 > 0 такое, что.

Бтf+5 < 00.

Для 0 < к < п положим.

Мк, п := Мк ¦ ¦ ¦ Mn 1, Rk, n := R (Mfc,"), Rk := R {Mk).

Пусть теперь Sn := In R (М0.п), Sq := 0. Отметим, что определенная таким образом последовательность {S^, п 6 N0} не является, вообще говоря, случайным блужданием с независимыми приращениями. Введем случайные величины R? Lax t ¿—/"Ч (1) + l], ?,= j— J / i~0.

Положим oo.

9{x) x, T}> k). k=0.

Условие B8. Существует число? > (1 — p) / (1/a + p) такое, что lim x0g (x) = 0, x—ЮО где величины аирте же, что в условии В, А и в соотношении (0.32), соответственно.

Пусть, далее, fo, (8) = (УЙ (S),/g (s))' := f (Co) (f{Cl) (.f (C,-0 (s))), а = (?Ъ-Л) ^ NJ, — р-мерное распределение вероятностей на Nq, соответствующее производящей функции /q^ (s): йф = г = 1, ., р. teNg.

Наше следующее условие связано со случайной величиной.

1 р teNS.

Условие В9. Существуют числа е > 0 и, а <Е No такие, что.

E[ln+Kl (a)]Q+? <00, где величина, а та же, что и в условии В4.

Для фиксированного начального значения Z (0) = ъ ф 0, определим процесс (п) = IV (п, г) соотношением ехр{5п} где и = и/|и|, а вектор и тот же, что и в (0.23) — (0.25).

Теорема 2.5 Пусть выполнены условия АЗ, ВА, В6, В7 и В9. Тогда при п —> оо.

С [У/ (п) | Ъ{п) ф 0- г (0) = г) Л? (Шг), где случайная величина У/ъ положительна и конечна с вероятностью 1. Здесь и далее символ обозначает сходимость по распределению. Для случая процесса ¿-?(п), п 6 N0, с одним типом частиц и начальным значением 2(0) = 1 теорема 2.5 выглядит следующим образом.

Следствие 2.3 Если р = 1 и выполняются условия В4, В6, В7 и В9, в которых.

V-!

X :=?>/",)'(1), г=0 то при п.

— Ai^iL + 1) S< :=? 1п/(&-)' (1), hii) I1)) J k=о | Z (n) > 0-Z (0) = l) Л? (W), где случайная величина W положительна и конечна с вероятностью 1.

Перейдем теперь к описанию основных результатов главы 3, озаглавленной «Ветвящиеся процессы с одним типом частиц в замороженной среде «.

В главе 3 в рамках quenched approach рассматривается ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона (Z (n), п & No} с одним типом частиц в случайной среде (Сп)п? No}, порожденной последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин. Предполагается, что сопровождающее случайное блуждание {Sn, п € N0} исследуемого процесса удовлетворяет условию Спитцера-Дони, т. е. рассматриваются критические процессы.

В главе 3 предложен новый метод исследования ветвящегося процесса в случайной среде, в основе которого лежит «расщепление» сопровождающего его случайного блуждания на отрезке [0, п] на две части — до момента глобального минимума на этом отрезке и после него. Метод «расщепления» позволяет путем получения условных предельных теорем для сопровождающего случайного блуждания, сохраняющего свой знак, исследовать различные характеристики ветвящегося процесса в случайной среде.

В разделах 3.1−3.4 в ситуации замороженной среды изучается асимптотика вероятности невырождения процесса {г{п)} и доказывается условная предельная теорема о распределении числа частиц в процессе в момент времени п при условии {г (п) > 0}.

В разделе 3.5 законы распределения числа частиц трактуются как случайные меры, определенные на множестве реализаций среды. Для этих законов доказаны теоремы, которые можно интерпретировать как предельные теоремы ягломов-ского типа об асимптотическом поведении при п —> оо распределения вектора числа частиц [2 (п^), Z (п£2), • • •, 2 {Шь)), 0 < ¿-х <. < ^ = 1 при условии (п) > 0 (здесь и далее для краткости мы пишем п^ вместо [пи]). Пусть т (п!, п2) := тт{г € [пх, п2]: > 5″, ^ = П1, Пх 1,., Пг} - самая левая точка интервала [тгх,^], в которой достигается минимальное значение на этом интервале сопровождающего случайного блуждания 5 = {5П}. Для краткости положим т (п) := т (0,п). Из упомянутых теорем следует, что если? 6 (0,1] фиксировано, то условное распределение случайной величины ^(п?)е5т (ги)~" 5'п'' при условии г (п) > 0 сходится в некотором смысле к собственному предельному распределению, не имеющему атома в нуле. Это, нестрого говоря, означает, что если процесс не выродился к моменту времени п, то размер 2 Г (п?) популяции в момент времени п£ пропорционален е5″ 45 т (п'). Таким образом, в отличие от условных предельных теорем для классических критических или надкритических ветвящихся процессов, в которых функция, нормирующая размер популяции, растет линейно или экспоненциально с течением времени, (случайная) функция, нормирующая размер популяции в критических ветвящихся процессах в случайной среде, подвержена большим колебаниям. Следовательно, популяция критического ветвящегося процесса в случайной среде проходит в моменты, близкие к моментам последовательных минимумов сопровождающего случайного блуждания, через бутылочные горлышки.

В разделе 3.6 — 3.7 этот феномен изучается более детально (как и ранее, в ситуации замороженной среды). В частности, показано, что при фиксированном? 6 (0,1] и фиксированном m? Z = {0,±1, ±2,.} (случайное) распределение величины ?(г (п?) + т) при условии > 0 сходится (в некотором смысле) к собственному дискретному предельному распределению. Другими словами, условное распределение числа частиц в процессе в моменты времени, близкие к т (п?), Ь? (0,1], при условии невырождения процесса к моменту времени п, сходится к дискретному распределению. Следовательно, в отличие от неслучайных моментов вида в которые размер популяции является большим (и даже экспоненциально большим, см. раздел 3.5), количество индивидуумов в популяции в (случайные) моменты последовательных глобальных минимумов сопровождающего случайного блуждания оказывается разительно малым, но потом опять начинает расти с экспоненциальной скоростью. Это дает объяснение (разумеется, в рамках рассматриваемой нами модели) следующему хорошо известному факту в биологии популяций: многие популяции в течении их эволюции проходят через «благоприятные периоды» (быстрый рост размера популяции) и «неблагоприятные периоды» (стремительное вырождение, когда выживают лишь несколько представителей популяции, которые впоследствии порождают новую быстро растущую популяцию).

В разделах 3.8−3.12 рассматривается еще один важный процесс, построенный по ветвящемуся процессу {Z (k), 0 < к < п}. А именно, изучается так называемый редуцированный ветвящийся процесс {Z (k, n), 0 < к < п}, где Z (k, n) — число частиц в первоначальном процессе в момент времени к < п, имеющих ненулевое число потомков в момент времени п.

Редуцированные процессы в случайной среде в рамках annealed approach (т.е. усредняя характеристики и меры относительно распределения Р, заданного на пространстве сред) исследовали Боровков К. А. и Ватутин В. А. [46], Фляйшманн К. и Ватутин В. А. [51] и Ватутин В. А. [11].

Из результатов, установленных в разделах 3.8−3.12 для случая замороженной среды, следует, что при условии Z (n) > 0 конечномерные условные (случайные) распределения процесса (Z (r (n) + m, n), т 6 Z} сходятся (в некотором смысле) к конечномерным распределениям ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона в неоднородной случайной среде. Получены условные предельные теоремы, описывающие при условии Z (n) > 0 свойства редуцированного процесса в моменты времени ni, 0 < t < 1. Найдено также предельное распределение при п —> оо момента рождения ближайшего общего предка частиц, существующих в процессе в момент времени п.

Приведем некоторые основные результаты третьей главы.

Мы будем отождествлять вероятностную производящую функцию fn (s) := ^ s* k=0 распределения числа потомков частицы из п-го поколения с бесконечномерным вектором 7гп: тг&bdquo- := {тгп (0), 7ГП (1), 7ГП (2).}, 7Гп (к) > 0, ^ тгп (к) = 1, п € N0. к=О.

Для / (й) Х^о 77 вк = /п (5) и, а? N0 положим оо / ос 2.

0(а) := Г>>тг (*0, (0.33) к-а к-0 /.

X := 1п /' (1). Пусть 50 = 0,5П = 1п /й (1) + • • ¦ + 1п /?^ (1), п > 1, — сопровождающее случайное блуждание. Будем предполагать, что распределение случайной величины X либо нерешетчато, либо центрально решетчато (то есть, X принимает лишь значения кк, к > ОД 6 2 и Р (Х = 0) > 0), и что сопровождающее случайное блуждание удовлетворяет условию Спитцера-Дони с параметром р (см. (0.10)), т. е. для него выполнено условие А4. Пусть.

7о := 0, 7j. fi := пип (п >: 5П < Бъ) и.

Г0 := 0, Г^+1 := шш (п > Г^: 5П > 3 > 0,.

— строгие убывающие и, соответственно, строгие возрастающие лестничные моменты сопровождающего случайного блуждания {б" ^}. Наряду с функцией восстановления V (х) (см. (0.11)) введем еще одну функцию восстановления оо и{х) := 1 + ^ < х), х > 0, и (0) = 1, и (х) = 0, ж < 0, (0.34) ?=1 построенную по строго возрастающим лестничным моментам {Гп}. Условие С1 Существуют числа? > 0 и, а? N0 такие, что.

Е [1п+ 0(а)]< оо, Е[У (Х)(1п+ т9(а))1+?] < оо, (0.35).

Е [1п+ #(а)] < оо, Е[?/(-Х)(1п+ т?(а))1+е] < оо. (0.36).

Для формулировки основных результатов главы введем дополнительные обозначения. Пусть 0, пмножество элементарных событий, соответствующих наборам (^ (0), ^ (1),., ^ (п), 7Го, 7Г1,., 7гп1) — при этом = Г2оо, а п = О-(^(0),^(1),.,^(п), 7Г0,7Г1,., 7Гп1), п? N0, / ^ (°-37) п.

— последовательность естественных ст-алгебр, порожденных рассматриваемым ветвящимся процессом. Всюду далее символы Е и Р используются для обозначения математического ожидания и вероятности, порождаемых исходной мерой ветвящегося процесса на наборах (^ (0), ^ (1),., ^ (п),.- 7Го, тех,., 7гп,.), а символы 8, V — для обозначения условного математического ожидания и условной вероятности при фиксированной среде 7 Г = (тго, 71″ !, ., 7ГП, .). Тройка (П,^7, Р) является нашим основным вероятностным пространством. Нам также потребуются две копии этого вероятностного пространства, обозначаемые (Г2~, Т~. Р~) и (0+.. Р+). на которых заданы две последовательности случайных элементов {/~, п? N0} и, соотвественно, {/п, п € N0}, порождающие соотвествующие им сопровождающие случайные блуждания? N0} и € N0}. В дальнейшем нам будет удобно любые характеристики или случайные величины, связанные с, Уг±и (если это имеет смысл) с Р^ снабжать знаками — и +, соответственно. Например, мы будем писать {/", п? N0} и {/+, п? N0} и обозначать {5~, га 6 N0} и п € N0} сопровождающие случайные блуждания, соответствующие этим реализациям. Нам будут также необходимы случайные величины Г" = гтп{п > 1: 5- > 0} и 7+ = тт{п > 1: 5+ < 0}. оо.

Положим D = Y^J^PiSj = 0) и AkiP := {Г~ > > р}. Свяжем с ис-3=1 ходными леерами Р~ и Р+ вероятностную меру Р на измеримом пространстве х u+, F~ х F+), полагая для, А? F^ х F+.

Р (Л) = eD [ и V (S-)I{Ak, p}d (РX Р+),.

JA где 1{А} - индикатор события А. В соответствии с этим определением, будем использовать символ Е для обозначения математического ожидания относительно меры Р.

Обозначим через М# пространство всех (возможно несобственных) вероятностных мер на N0, оснащение которого расстоянием по вариации превращает его в банахово пространство. Ясно, что можно идентифицировать с метрическим пространством производящих функций F (снабженном равномерной метрикой), соответствующих множеству вероятностных (возможно несобственных) мер, носители которых сконцентрированы на No-Для т <5 Z и t € [0,1] положим.

М%к) = М%](к, тг) = V (Z (r (n) + т) = к Z (n) > 0). (0.38).

Будем считать, что Z (r (n) + m) = 1, если т (п) + т < 0.

Для меры A4 6 и функции J: N0 —> R положим оо.

M[J) :=^2j{k)M{k). к=О.

Теперь мы можем сформулировать условную предельную теорему о распределении числа частиц в популяции в моменты времени, близкие к точке глобального минимума сопровождающего случайного блуждания.

Теорема 3.5 Если выполнены условия A4 и С1, то для любого т € Z существует собственная вероятностная мера Л4т € М# такая, что.

М (п) Mmj n (0.39) где символ w>обозначает следующий вид сходимости случайных мер ЛА^т из (0.38) к М. т: для любой неслучайной ограниченной функции J: No —> R и любой неслучайной ограниченной непрерывной функции g: R —> R.

Е [я (.м£> [J])] Ё g (Mm [J])], п — оо. (0.40).

Для редуцированного процесса Z (k, n) положим оо.

S [sz (T (n)+m, n) | Z (nj > Qj := т GZ. fc=l.

Теперь мы можем сформулировать условную предельную теорему (в ситуации замороженной среды) о распределении числа частиц в редуцированном процессе в моменты времени, расположенные вблизи точки глобального минимума сопровождающего случайного блуждания.

Теорема 3.9 Если выполнены условия А4 и С1, то для любого т Е Z существует собственная вероятностная мера? im ем* такая, что.

0.41).

Остановимся теперь на результатах заключительной главы диссертации, главы 4, озаглавленной «Процессы с миграцией» .

В этой главе в разделах 4.1−4.2 рассматриваются ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией и эмиграцией и процесс Гальтона-Ватсона Z (п) с иммиграцией, зависящей от состояния процесса, а именно, с иммиграцией только в нулевом состоянии. Изучаются переходные явления для этих процессов. Критический процесс Гальтона-Ватсона с миграцией рассматривали Нагаев С. В. и Хан JI.B. [19], а также Янев Н. и Янев Г. [80], для которого ими были получены предельные теоремы о числе частиц в процессе. Исследование критических ветвящихся процессов с иммиграцией в нулевом состоянии было проведено Фостером Дж. [55] и Пейксом А. [69]. Близкая модель критического процесса Гальтона-Ватсона с иммиграцией рассматривалась Зубковым A.M. [14], модель критического процесса Гальтона-Ватсона с эмиграцией одной частицы в каждом поколении была исследована Ватутиным В. А. [6]. Однако все эти работы рассматривали ветвящиеся процессы с миграцией в предположении, что среднее значение числа потомков одной частицы в следующем поколении фиксировано. Наша цель — изучить поведение ветвящихся миграционных процессов, близких к критическим.

В разделах 4.3 — 4.4 рассмотрены также аналоги процессов Z (п) и Z (n), функционирующие в марковской случайной среде. Показано, что при некоторых условиях, накладываемых на распределение числа мигрирующих частиц и распределение числа потомков, специальным образом нормированное стационарное распределение этих процессов сходится при М / 0 к равномерному распределению на отрезке [0,1]. Здесь М — среднее значение стационарного распределения величины In Ш-, где ТП- - среднее число непосредственных потомков частицы при фиксированном состоянии среды г.

Приведем некоторые основные результаты четвертой главы.

Рассмотрим следующий процесс Гальтона-Ватсона {Z (n), п? N0} с иммиграцией в нуле. Предположим, что число иммигрирующих частиц 77 имеет закон распределения, задаваемый производящей функцией g (s) = Es7*, s € [0,1]. Размножение частиц, живущих в момент времени п? No происходит независимо друг от друга, от момента времени и от состояния процесса, причем распределение числа потомков каждой частицы описывается производящей функцией /00 = Esi, 5 €[0,1]. n) w (P, P) Mm * Мтп> П со.

Определим класс /С = {/(5)} производящих функций следующим образом. Существует функция 7 (в) = о (в2) при 5' —> 0 такая, что все функции / (в) из класса /С удовлетворяют следующим условиям: (1 — в) = 1 — те + Ъв1 + а (в), (0.42) (0) > Г > 0, (0.43) где |си (в) | <7 (в), 0 < с < т < 1, 0 < Вг < Ь < В2, а Г, с, Вг и В2 — некоторые постоянные. Будем предполагать, что производящая функция / (в) числа потомков принадлежит классу /С. Таким образом, рассматриваются докритиче-ские ветвящиеся процессы с зависящей от состояния иммиграцией.

Относительно производящей функции числа иммигрирующих частиц д (5) будем предполагать, что она принадлежит классу С = {д (в)}, состоящему из всех производящих функций д (5), удовлетворяющих условиям д (1 — в) = 1 — ав + (1э2 + /3 (в), (0.44) где |?3 (з) | < 7! (5) = о (в2) при б —> 0, 0 < а < а < а2,0 < (I < И2, а аь а2, Дзпостоянные.

Введем класс Н процессов {Я (п), п € N0}, определяемый следующими условиями: в этих процессах производящие функции / (в) е /С, а функции д (а) € С.

Известно [69], что у процессов {2 (п), п € N0}, принадлежащих классу Н, существует стационарное распределение числа частиц. Пусть и — случайная величина, соответствующая стационарному распределению процесса {2 (п), п € N0}.

Теорема 4.2 Если {Е (п), п е N0} € Н, то.

1ш1 Р (1п г/-тг < ж) = х, ж е [0,1]. т/1 уМ1/^-&trade-))).

Как оказалось, ветвящиеся процессы с иммиграцией в нуле близки по своей вероятностной природе ветвящимся процессам с миграцией.

Рассмотрим следующий процесс Гальтона-Ватсона с миграцией, функционирующий в случайной марковской среде. Предположим, что эволюция случайной среды описывается некоторой фиксированной марковской цепью {Сп, п Е N0} с конечным множеством состояний 6 = {0,1,., ^ — 1}, 1 > 2, и переходными вероятностями Рц > 0, г. ] б ©. Предположим, что нам заданы наборы случайных величин на вероятностном пространстве Р).

Хг (п) = {гн (п), (п), е|2} (п),.,(п),.}, 7 = 1,2,п € N0, г € е, таких, что при фиксированных г и тг набор (п)| является последовательностью независимых неотрицательных целочисленных случайных величин с производящей функцией ш. а случайная величина щ (п) не зависит от (п)|, причем ее распределение имеет вид 3.

Р (ъ{п) = к) = рк (г), к = 0,1,., оо.

Р (^(п) = -1) = Х> (*) + .

Кроме того, предполагается, что все наборы Xi (п) € е ©, независимы в совокупности. Обозначим оо.

8) = Ев*(п> = (г) + г € Э. к-0.

Определим процесс {¿-Г (п), п е N0} соотношениями (0) — 0, г (п +1) = / («) + С («) + ••¦+ (п), г (п) + ъ. («) > о,.

I 0., г (п) + >),-. (п) < 0.

Введенный таким образом процесс {Z (n), n G N0} описывает поведение популяции частиц, которая эволюционирует следующим образом. Размножение живущих в момент времени п € No частиц происходит независимо друг от друга, от момента времени и от текущего состояния процесса, при этом число потомков каждой частицы задается производящей функцией (тг), определяемой состоянием цепи Сп, т. е. если (п — г, г G ©, то производящая функция числа потомков каждой частицы, живущей в момент времени п, есть fi (s). Кроме того, в каждый момент времени в процессе происходит иммиграция или эмиграция. А именно, в популяцию частиц, существующую в момент времени тг, либо с вероятностью Рк{(п) иммигрируют к частиц, либо с вероятностью q происходит следующее: или в популяции ничего не меняется, если она пуста, или из популяции удаляется одна из присутствующих в ней частиц. То есть, если (п = г, то число мигрирующих частиц r]i (п) задается производящей функцией Qi (s).

Отметим, что в рассматриваемой модели миграция в каждом поколении происходит раньше, чем размножение.

Таким образом, процесс {Z (n), п G N0} является ветвящимся процессом Гальтона-Ватсона с миграцией в марковской случайной среде п G No}, где состояние среды определяет как закон размножения частиц, так и распределение числа мигрирующих частиц. При этом (п) можно интерпретировать как число мигрирующих частиц в п-й момент времени, а ^ (п) — как число потомков в (п + 1)-м поколении j-й частицы, живущей в п-м поколении.

Предположим, что все производящие функции числа потомков fi (s), г G О, принадлежат классу /С, т. е. все fi (s), i G В, удовлетворяют следующим условиям: fi (l-s) = lmiS + biS2 + он (s), (0.46) где 0 < с < пи < 1, к (5) | < 7 (5) = о (в2) при з —"¦ О, О < Вг < Ъ^ < В2, с, В1, В2 — некоторые постоянные, (0) > I* > 0. Будем также предполагать, что все распределения мигрирующих частиц имеют нулевое среднее и конечную дисперсию, т. е. оо 0, г ев, (0.47) к=1 оо.

2к2рк (г) < оо, г € в. (0.48) к=1.

Положим г-1.

М = У^гОг 1п ГПг, г=0 где Юг, г? ©, — стационарные вероятности цепи Маркова {?"} • Доказывается, что в условиях (0.46), (0.47), (0.48) рассматриваемый процесс ^ (п), п 6 N0} имеет.

Г 1 оо стационарное распределение .0 .

Пусть теперь случайная величина V имеет распределение, совпадающее со стационарным распределением {7г^}°10 процесса (п), п? N0} .

Теорема 4.3 Если выполнены условия (0.46), (0.47), (О.48), то при М 0.

В целях единства изложения в диссертацию включены некоторые результаты по теории ветвящихся процессов в случайной среде, принадлежащие Ватутину В. А. и появившиеся в совместных работах Ватутина В. А. и Дьяконовой Е. Е. Факт принадлежности таких утверждений будет в диссертации каждый раз оговариваться.

В каждой главе диссертации имеется своя нумерация разделов, формул, теорем, лемм, следствий, определений, замечаний. При этом номер имеет вид набора, состоящего из двух чисел, разделенных точкой, причем первое число совпадает с номером главы. В каждом разделе имеется своя нумерация подразделов. Номером подраздела является набор, состоящий из трех чисел, разделенных точками, при этом первые два числа в номере подраздела те же, что и в номере раздела.

1. Дьяконова Е. Е., Соловьев А. Д. Однолинейная система с групповым обслуживанием в условиях высокой нагрузки. Изв. АН СССР, сер. техн. кибер-нет., 1986, N 6, с. 35−39.

2. Зубков A.M. Периоды жизни ветвящегося процесса с иммиграцией. Теория вероятн. и ее примен., 1972, т. 17, в. 1, с. 179−188.

3. Зубков A.M. Предельные распределения расстояния до ближайшего общего предка. Теория вероятн. и ее примен., 1975, т. 20, в. 3, с. 614−623.

4. Колмогоров А. Н., Дмитриев H.A. Ветвящиеся случайные процессы. Доклады АН СССР, 1947, т. 56, N 1, с. 7−10.

5. Козлов М. В. Об асимптотике вероятности невырождения критических ветвящихся процессов в случайной среде. Теория вероятн. и ее примен., 1976, т. 21, в. 4, с. 813−825.

6. Козлов М. В. Условная функциональная предельная теорема для критического ветвящегося процесса в случайной среде. Доклады РАН, 1995, т. 344, N 1, с. 12−15.

7. Нагаев C.B., Хан Л. В. Предельные теоремы для критического ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона с миграцией. Теория вероятн. и ее примен., 1980, т. 25, в. 3, с. 523−534.

8. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972, 414 с.

9. Рогозин Б. А. Распределение первого лестничного момента и высоты и флуктуации случайного блуждания. Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, в. 4, с. 593−613.

10. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся процессы. М.: Наука, 1971, 436 с.

11. Севастьянов Б. А. Ветвящиеся случайные процессы. Вестник Моск. уни-вер., 1948, т. 3, N 1, с. 13−34.

12. Севастьянов Б. А. Теория ветвящихся случайных процессов. Успехи матем. наук, 1951, т. 6, N 6, с. 47−99.

13. Синай Я. Г. Предельное поведение случайных блужданий в одномерной случайной среде. Теория вероятн. и ее примен., 1982, т. 27, в. 2, с. 247−258.

14. Спитцер Ф. Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969, 472 с.

15. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения, т.2. М.: Мир, 1984, 752 с.

16. Харрис Т. Теория ветвящихся случайных процессов. М.: Мир, 1966, 355 с.

17. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1984, 638 с.

18. Яглом A.M. Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся процессов.-Доклады АН СССР, 1947, т. 56, N 8, с. 795−798.

19. Afanasyev V.l., Geiger J., Kersting G., Vatutin V.A. Criticality for branching processes in random environment. Ann. Probab., 2005, v. 33, N 2, p. 645−673.

20. Afanasyev V.l., Geiger J., Kersting G., Vatutin V.A. Functional limit theorems for strongly subcrtitical branching processes in random environment. Stoch. Proc. Appl., 2005, v.115, p. 1658−1676.

21. Afanasyev V.l., Boeinghoff С., Kersting G., Vatutin V.A. Limit theorems for weakly subcritical branching processes in random environment. J. Theoret. Probab., 2012, v. 25, N 3, p. 703−732.

22. Afanasyev V.l., Boeinghoff C., Kersting G., Vatutin V.A. Conditional limit theorems for intermediately subcritical branching processes in random environment. Ann. Inst. Henry Poincare, Probab. Stat, (in print), http://arxiv.org/abs/1108.2127.

23. Agresti A. On the extinction times of varying and random environment branching processes. J. Appl. Probab., 1975, v. 12, N 1, p. 39−46.

24. Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments, I: Extinction probability. Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, N 5, p. 1499−1520.

25. Athreya K.B., Karlin S. On branching processes with random environments, II: Limit theorems. Ann. Math. Statist., 1971, v. 42, N 6, p. 1843−1858.

26. Athreya K.B., Ney P.E. Branching Processes. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1972, 287 p.39. von Bahr В., Esseen C.-G. Inequalities for the r-th moment of a sum of random variables, 1 < r < 2. Ann. Math. Statist., 1965, v.3, p. 299−303.

27. Bansaye V., Boeinghoff C. Upper large deviations for branching processes in random environment with heavy tails. Electron. J. Probab., 2011, v. 16, N 69, p. 1900;1933.

28. Bellman R., Harris T. On the theory of age-dependent stochastic branching processes. Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A., 1948, v. 34, N 12, p. 601−604.

29. Gillespie J.H. The Causes of Molecular Evolution. Oxford: Oxford University Press, 1991, 352 p.

30. Guivarc’h Y., Liu Q. Proprietes asymptotique des processus de branchement en environment aletoire. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I Math., 332, 2001, p. 339−344.

31. Haccou P., Jagers P., Vatutin V.A. Branching Processes: Variation, Growth and Extinction of Populations. Cambridge: Cambridge University Press, 2005, 320 P.

32. Harris T.E. First passage and recurrence distributions. Trans. Amer. Math. Soc., 1952, v.73, p. 471−486.

33. Heyde C.C., Rohatgi V.K. A pair of complementary theorems on convergence rates in the law of large numbers. Proc. Camb. Phil. Soc., 1967, v.63, N 1, p.73−82.

34. Hirano K. Determination of the limiting coefficient for exponential functionals of random walks with positive drift. J. Math. Sci. Univ. Tokyo, 1998, v. 5, N 2, p. 299−332.

35. Kaplan N. Some results about multidimentional branching processes with random environments. Ann. Prob., 1974 v. 2, N 3, p. 441−455.

36. Kesten H., Spitzer F. Convergence in distribution of products of random matrices. Z. Wahrsch. verw. Geb., 1984, v. 67, N 4, p. 363−386.

37. Le Page E., Ye Y. The survival probability of a critical branching process in a Markovian random environment. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 2010, v. 348, p. 301 — 304.

38. Mitov K.V., Yanev N.M. Critical Galton-Watson process with decreasing state-dependent immigration. J. Appl. Probab., 1984, v. 21, p. 226−236.

39. Mode C. Multitype Branching Processes. New York: Elsevier, 1971, 330 p.

40. Pakes A.G. A branching process with a state dependent immigration component.- Adv. Appl. Probab., 1971, v. 3, N 2, p. 301−314.

41. Smith W.L., Wilkinson W.E. On branching processes in random environments.- Ann. Math. Stat., 1969, v. 40, p. 814−827.

42. Solomon F. Random walk in random environment. Ann. Probab., 1975, v. 3, N 1, p. 1−31.

43. Seneta E. Non-negative Matrices. An Introduction to Theory and Applications. New York: Halsted Press, 1973, 277 p.

44. Tanaka H. Time reversal of random walks in one dimension. Tokyo J. Math., 1989, v.12, p. 159−174.

45. Tanny D. Limit theorems for branching processes in a random environment. -Ann. Probab., 1977, v. 5, p. 100−116.

46. Tanny D. On multitype branching processes in a random environment. Adv. Appl. Prob., 1981, v. 13, N 3, p. 464−497.

47. Tarjan R.E. Depth-first search and linear graph algorithm. SIAM J. Comput., 1972, v. 1, p. 146−160.

48. Vatutin V.A., Zubkov A.M. Branching Processes II. J. Sov. Math., 1993, v. 67, N 6, c. 3407−3485.

49. Vatutin V.A., Kyprianou A.E. Branching processes in random environment die slowly. In: Proceedings of the Fifth Colloquium on Mathematics and Computer Science. Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities, Nancy: DMTCS, 2008, p. 379−400.

50. Weissener E.W. Multitype branching processes in random environments. J. Appl. Prob., 1971, v. 8," n 1, p. 17−31.

51. Yanev G.P., Yanev N.M. On a new model of branching migration processes. -C.R. Acad. Bulg. Sci., 1991, v. 44, N3, p. 19−22.

52. Dyakonova E.E. Transition phenomena for a Galton-Watson process with immigration in a Markovian environment. J. Math. Sciences, 1997, v. 83, N 3, p. 397−400.

53. Дьяконова E.E. Об асимптотике вероятности невырождения многомерного ветвящегося процесса в случайной среде. Дискретная математика, 1999, т. 11, N 1, с. 113−128.

54. Dyakonova Е. On multitype branching process in a random environmen. J. Math. Sciences, 2002, v. Ill, N 3, p. 3537−3541.

55. Ватутин В. А., Дьяконова E.E. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде, II: конечномерные распределения. Теория вероятн. и ее примен., 2004, т. 49, в. 2, с. 231−268.

56. Ватутин В. А., Дьяконова Е. Е. Ветвящиеся процессы в случайной среде и бутылочные горлышки в эволюции популяций. Теория вероятн. и ее примен., 2006, т. 51, в. 1, с. 22−46.

57. Ватутин В. А., Дьяконова E.E. Предельные теоремы для редуцированных ветвящихся процессов в случайной среде. Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 52, в. 2, с. 271−300.

58. Дьяконова Е. Е. Критические многотипные ветвящееся процессы в случайной среде. Дискретная математика, 2007, т. 19, N 4, с. 23−41.

59. Dyakonova Е. On subcritical multi-type branching process in random environment. In: Proceedings of the Fifth Colloquium on Mathematics and Computer Science. Algorithms, Trees, Combinatorics and Probabilities, Nancy: DMTCS, 2008, p. 401−408.

60. Ватутин В. А., Дьяконова E.E. Асимптотические свойства многотипных критических ветвящихся процессов в случайной среде. Дискретная математика, 2010, т. 22, N 2, с. 22−40.

61. Дьяконова Е. Е. Многотипные ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в марковской случайной среде. Теория вероятн. и ее примен., 2011, т. 55, в. 3, с. 592−601.

62. Дьяконова Е. Е. Многотипные ветвящиеся процессы, эволюционирующие в марковской среде. Дискретная математика, 2012, т. 24, N 3, с. 130−151.Работы автора, близкие к теме диссертации.

63. Dyakonova Е.Е. Heavy traffic approximation fore some branching processes. In: Frontiers in Pure and Appl. Probability, II (Ed. A.N. Shiryaev et all.), Moscow/Utrecht: TVP/VSP, 1996, p. 43−50.

64. Ватутин В. А., Дьяконова Е. Е. Критические ветвящиеся процессы в случайной среде: вероятность вырождения в фиксированный момент. Дискретная математика, 1997, т. 9, N 1, с. 100−126.

65. Dyakonova Е.Е. Diffusion approximation of branching migration processes. J. Math. Sciences, 1999, v. 93, N 4, p. 511−514.

66. Ватутин В. А., Дьяконова E.E. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона в случайной среде, I: предельные теоремы. Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 2, с. 274−300.

67. Dyakonova Е., Geiger J., Vatutin V. On the survival probability and a functional limit theorem for branching processes in random environment. Markov Processes and Related Fields, 2004, v. 10, N 2, p. 289−306.

68. Ватутин В. А., Дьяконова E.E. Волны в редуцированных ветвящихся процессах в случайной среде. Теория вероятн. и ее примен., 2008, т. 53, в. 4,.

69. Boeinghoff C., Dyakonova E.E., Kersting G., and Vatutin V.A. Branching processes in random environment which extinct at a given moment. Markov Processes and Related Fields, 2010, v. 16, N 2, p. 329−350.c. 665−683.