Таким образом, чтобы выбрать вторую чашку, у мамы есть два возможных варианта.
Второе задание — это фактически комбинаторная задача на сочетание.
Полезно обсудить с детьми, чем отличаются друг от друга данные задания.
Как видим, выполнение комбинаторных заданий органически вписывается в подготовительный этап знакомства детей с текстовой задачей, формируя у них умение представить ситуацию, заданную вербально, и переводить словесную модель в предметно-действенную [47].
При изучении темы «Признаки предметов» используются задания:
1. Красками трех цветов: голубой, желтой и красной раскрась мячики так, чтобы они отличались друг от друга.
2. Сережа поставил на полку три игрушки: кота, зайца, рыбку. В каком порядке он мог их поставить?
Основная цель темы «Сложение» — разъяснить смысл действия сложения и познакомить школьников с той терминологией, которая употребляется в математике при сложении (выражение, сумма, слагаемые, значение суммы, равенство). Основа этого разъяснения — взаимосвязь сложения натуральных чисел с операцией объединения попарно непересекающихся конечных множеств, которая легко интерпретируется на действиях с предметами [50].
Задание:
> У Коли среди игрушек 5 грузовых и 4 легковые машины. Для игры ему нужно взять 1 машину. Сколько вариантов выбора одной машины есть у Коли?
Выбрать одну грузовую машину мальчик может пятью способами, а легковую — четырьмя. Значит, выбрать либо грузовую, либо легковую машину можно 4+5=9 способами.
Выполнению таких заданий предшествует подготовительная работа по выбору одного предмета из определенной совокупности. Приведем примеры подобных заданий:
> У Даши на книжной полке стоят сборники стихов ее любимых поэтов: А. Л. Барто, А. С. Пушкина, С. Я. Маршака, К. И. Чуковского, Е. Благининой. Сколько вариантов выбора одной книги есть у Даши?
Вывод: если есть наборы из 5 предметов, то выбрать один можно пятью способами.
> Никита на даче выращивал розы. К приезду мамы у него распустились 3 бутона: белый, розовый и красный. Сколько выборов одного цветка для мамы есть у Никиты?
Так как к приезду мамы расцвели только 3 цветка, то выбор он должен сделать из трех цветков. Значит, у него есть 3 варианта выбора.
В процессе усвоения конкретного смысла действия сложения используются следующие задачи:
> В конкурсе кошек принимали участие 7 сиамских и 2 персидские кошечки.
Сколько способов выбора одной кошечки на 1 место есть у жюри?
> В отделе «Ткани» 5 расцветок шелка и 3 расцветки сатина. Сколько способов выбора ткани на платье дочери есть у мамы?
В соответствии с рассматриваемой концепцией курса основным способом усвоения состава однозначных чисел является соотношение предметных действий с математической записью [37].
Задания, в процессе выполнения которых ученики усваивают состав каждого однозначного числа, органически дополнялись заданиями комбинаторного характера. Например:
> Бабушка испекла 7 пирожков с капустой и земляникой. Каких пирожков и сколько испекла бабушка?
Учащиеся составляют возможные варианты:
7=1+6 7=2+5 7=3+4 7=5+2 7=4+3 7=6+1.
При изучении нумерации двухзначных чисел деятельность учащихся направляется на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления и на соотношение разрядных единиц. Например:
Из цифр 1, 2, 3 составь различные двузначные числа, записав все возможные варианты.
Цель работы — освоение младшими школьниками метода системного перебора.
Таким образом, в программное содержание первого года обучения математике включены комбинаторные задания с небольшим количеством элементов, число выбора вариантов сознательно ограничивалось, перебор возможных вариантов в основном проводился хаотически. Основными методическими приемами были: метод раскрашивания; манипуляции с предметами и их моделями; драматизация; использование символических записей [45].
Во втором классе, согласно программному содержанию, учащиеся знакомятся с понятием «текстовая задача». В процессе работы у учащихся формируются основные мыслительные операции — анализ, синтез, сравнение, умение описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и математических символов, умение чертить, складывать и вычитать отрезки, умение переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели [34].
При работе над задачей дети приобретают опыт в семантическом и математическом анализе различных текстовых конструкций, у них формируются умения представлять их в виде схематических и символических моделей, они усваивают структуру задачи и овладевают формами записи ее решения.
Предметом такого же анализа становятся комбинаторные задания. Учащиеся знакомятся с новым способом решения комбинаторных задач и с формой их записи (таблицей).
Знакомство с таблицей как формой записи комбинаторных задач осуществляется через упражнения:
определи, кто на какой улице живет.
Таня Саша Коля Вишневая — - + Лесная + - - Осенняя — + ;
запиши в нужные клетки таблицы числа 57, 75, 44, 74. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?
4 5 7 9 4 5 7 9.
Составление таблиц в процессе решения задач помогает избежать повторения одной и той же комбинации; составить все возможные комбинации и исключить не удовлетворяющие условию [38].
Таким образом, в процессе знакомства с текстовыми задачами второклассники решают комбинаторные задачи, связанные с сочетаниями и размещениями.
При изучении нумерации трехзначных чисел деятельность учащихся направлена на осознание позиционного принципа десятичной системы счисления. Комбинаторные задачи на размещения органически включаются в данный раздел развивающего курса математики начальной школы, так как при составлении таких комбинаций учитывается порядок в записи ее элементов.
Например: Из цифр 1, 2, 3 составь все возможные трехзначные числа так, чтобы цифры в записи числа не повторялись.
В теме «Умножение» большое внимание уделяется разъяснению предметного смысла действия умножения, усвоению детьми его определения как сложения одинаковых слагаемых и осознанию ими новой математической записи.
Для этой цели в учебнике представлены упражнения:
на выделение признаков сходства и различия данных выражений;
на соотнесение рисунка и числового выражения;
на запись числового выражения по данному рисунку;
на выбор числового выражения, соответствующего рисунку;
на замену произведения суммой;
на сравнение числовых выражений.
Изучение нового арифметического действия связано с серией комбинаторных задач, в процессе решения которых также составляются таблицы.
Умение проводить системный перебор с помощью таблицы создает условия для решения комбинаторных задач — правило произведения. Это правило не дается в начальной школе. Весь процесс применения правила строится с опорой на рассуждение ученика. Ученик проговаривает свои действия, что позволяет решать комбинаторные задачи там, где применить таблицу невозможно. Например:
Сколько трехзначных чисел можно составить из трех цифр? Цифры в числе повторяются.
Ученик рассуждает: цифру сотен можно выбрать тремя способами; цифру десятков — двумя; цифру единиц — одним способом. Всего чисел: 3x2x1=6.
Сколько трехзначных чисел можно составить из трех цифр; цифры в числе повторяются.
Рассуждение: цифру сотен можно выбрать тремя способами; цифру десятков — тремя способами; цифру единиц — тремя способами. Всего чисел: 3x3x3=27.
Таким образом, в программное содержание второго года обучения математике включены комбинаторные задачи на перестановки, размещения, сочетания с небольшим числом элементов. Выбор возможных вариантов проводился методом системного перебора и с использованием правила произведения, которое не давалось в явном виде, а использовалось второклассниками проговариванием своих действий в процессе решения комбинаторных задач.
Основные вопросы 3 и 4 года обучения математике в начальных классах — нумерация многозначных чисел и текстовые задачи на четыре арифметических действия.
Нумерация многозначных чисел в курсе 3 класса представлена темами «Четырехзначные числа» и «Пятизначные числа». Основными способами усвоения десятичной позиционной системы счисления являются: анализ многозначных чисел с точки зрения разрядного состава, выявление признаков сходства и различия в конкретных числах, построение рядов чисел в соответствии с определенными правилами.
Комбинаторные задачи, органически включенные в содержание данного раздела, помогают в реализации основных задач на данном этапе обучения младших школьников. Умение проводить системный перебор с помощью таблиц и правила произведения находит применение и при решении задач в 3 — 4 классах. Наряду с этим, ученики знакомятся с новыми способами проведения системного перебора — «граф-дерево» и линейным графом [35; 36].
Знакомство с «деревом» решений происходит на примере задачи: Посчитай, сколько возможных вариантов спуститься с крыши есть у Карлсона?
Рассматривая все возможные варианты, учащиеся самостоятельно приходят к выводу, что достаточно посчитать «конечные» точки. Их число совпадает с количеством возможных спусков.
Особенность комбинаторных задач в том, что они имеют не одно, а множество решений, и при их выполнении необходимо осуществить перебор в рациональной последовательности. Например:
Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 55 522 (цифру 5 можно повторять три раза, 2 — два раза)?
Для решения этой комбинаторной задачи можно воспользоваться построением «дерева». Выписывается сначала одна цифра, с которой можно начать запись числа. Дальнейший алгоритм действий сводится к записи цифр, которые можно поставить после каждой цифры, пока не получим пятизначное число. Следуя данному алгоритму, необходимо комбинировать и подсчитывать, сколько раз повторились цифры 5 и 2 [40].
Получились «веточки» с различными числами: 55 522, 55 252, 55 225, 52 525, 52 255.
Затем выписывается цифра 2.
Записываем числа, двигаясь по «веточкам»: 22 555, 25 525, 25 552, 25 255.
Ответ: можно записать 10 чисел.
Использование «дерева» решений помогает ученикам и в решении таких задач:
> Сколько букетов можно составить, если брать по одному цветку из каждой вазы: 1 ваза — шафран, пион; 2 ваза — лилия, нарцисс, тюльпан;
3 ваза — гвоздика, фиалка, незабудка?
На примере решения комбинаторных задач младшие школьники знакомятся с графами как способом их решения.
Таким образом, в программное содержание 3 и 4 классов обучения были включены комбинаторные задачи, связанные с перестановками, размещениями и сочетаниями элементов с большим числом элементов, чем во 2 классе. Выбор возможных вариантов осуществляется методом системного перебора с помощью таблиц, графов, дерева возможных вариантов и с использованием правила суммы и правила произведения [63].
Программа рассчитана: 1 кл. на 120 ч, 2 ˗ 4 кл. на 136 ч в каждом классе.
В учебнике и тетрадях размещены разнообразные развивающие упражнения, задания, построенные на изучаемом в данный момент или уже изученном математическом материале и представленные в нестандартной, но интересной и доступной для детей форме. Задания направлены на более глубокое осознание взаимосвязей между изученными приемами, арифметическими действиями, величинами, на проведение наблюдений, сравнений, на построение логических рассуждений и выводов. Многие из них требуют сообразительности и умения наметить план выполнения того или иного задания.
Задания и упражнения достаточно разнообразны: это арифметические ребусы, охватывающие все четыре арифметических действия, «магические квадраты», «цепочки примеров», «цепочки уравнений», задачи логического характера и задачи на смекалку, игры математического содержания, задания на развитие геометрической зоркости и воображения, головоломки, упражнения, формирующие графические и измерительные навыки, умение пользоваться чертежными инструментами.
2.3 Методические рекомендации по решению комбинаторных задач в начальных классах
Отмечая роль и значение комбинаторных задач в общей системе обучения, Т. Г. Зайцев пишет: «Через решение задач осуществляется необходимая связь теоретических знаний с практикой, умение решать задачи определяет степень обученности, общей подготовленности детей. В них заложены большие возможности для повышения общего и математического образования школьников: развитие смекалки, начал исследовательской работы, логического мышления» [29].
Решение задач вообще и комбинаторных в частности — процесс творческий, требующий продуктивного подхода, проникновения в скрытые в каждой задаче связи и зависимости, которые зачастую могут быть необычными, нестандартными, а иногда и уникальными [17].
Научить учащихся решать задачи (в т.ч. комбинаторные) можно только в том случае, если у учащихся будет желание их решать, т. е. если задачи будут содержательными и интересными с точки зрения ученика. Поэтому учитель должен вызвать у учеников интерес к решению той или иной задачи. Необходимо тщательно отбирать интересные задачи и делать их привлекательными для учащихся. Наибольший интерес у детей вызывают задачи, взятые из окружающей жизни, задачи, связанные со знакомыми вещами. Важно показать детям, что от решения математической задачи можно получить такое же удовольствие, как от разгаданного кроссворда или ребуса. Задачи не должны быть слишком легкими, но и не слишком трудными, т.к. ученики, не решив задачу или не разобравшись в решении, предложенном учителем, могут потерять веру в свои силы. В этом случае очень важно соблюсти меру помощи. Учитель не должен знакомить учеников с уже готовым решением.
Венгерский математик и педагог Джордж (Дьёрдь) Пойа считал, что если учитель математики «заполнит отведенное ему учебное время натаскиванием учащихся в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие и упустит свои возможности».
Пойа называл математику школой мышления и говорил, что хороший учитель должен помочь ученику развить вкус к самостоятельным логическим рассуждениям. По мнению Дж. Пойа: «Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путём неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею».
Некоторые комбинаторные задачи можно решить только путем рассуждения и построения логической цепочки:
В сумке лежат одинаковые по форме конфеты двух сортов: 9 конфет первого сорта и 6 конфет второго сорта. Не глядя, я вынул из сумки 8 конфет. Достану ли я хотя бы 1 конфету второго сорта? Достану ли я хотя бы одну конфету первого сорта? Каково наименьшее число конфет надо вынуть, чтобы среди них была бы хоть одна конфета первого сорта?
Решение-рассуждение:
Конфет второго сорта может и не быть, так как можно вынуть все 8 конфет первого сорта;
Среди вынутых 8 конфет должно быть не менее 2 конфет первого сорта, так как если даже будут вынуты все конфеты второго сорта, то все равно их только 6;
Чтобы вынуть хотя бы 1 конфету первого сорта, надо взять не менее 7 конфет, т. е. на 1 конфету больше, чем имеется конфет второго сорта. [44].
Графический способ, использование чертежей, схем, рисунков очень часто применяется при решении многих комбинаторных задач.
Основная функция комбинаторных задач в младших классах — создать условия для формирования у учащихся приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, абстрагирование), для развития произвольного внимания и образного мышления и для усвоения тех вопросов, которые входят в содержание программы. Комбинаторные задачи, предлагаемые первоклассникам, решаются способом перебора сначала хаотичного, а затем системного. Эти способы не требуют введения в программное содержание начального курса математики новых понятий, то есть не перегружают младших школьников дополнительной информацией. Не следует разъяснять детям сам термин «комбинаторные задачи». Представление о содержании этого понятия сложится у них в процессе обучения. На первом уроке педагог может ограничиться только вопросами: «Кто может что-нибудь рассказать о таких задачах?», «Кто может привести пример таких комбинаторных задач?».
В первом классе при изучении темы «Признаки предметов», «Число и цифра», «Состав числа» можно предложить следующие задания: [33].
1. Раскрась пирамидки, используя желтый, зеленый и голубой карандаши, так, чтобы рисунки отличались друг от друга и на каждой пирамидке не было рядом колечек одинакового цвета. Сколько пирамидок ты смог так раскрасить?
2. На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая. Покажи, как можно раскрасить флажки, чтобы они отличались друг от друга. Сколько флажков ты раскрасил?
3. Для гербария Маша собрала опавшие листья клена: желтый, зеленый и красный. Покажи, в каком порядке она сможет расположить эти листья в альбоме. Сколько различных вариантов у тебя получилось?
4. Представь, что у тебя 4 кружки разного цвета. а) Раскрась эти кружки. б) Ты решил подарить другу две кружки. Покажи на рисунке, какие кружки ты можешь выбрать. Сколько вариантов у тебя получилось?
в) А если ты захочешь подарить другу три кружки? Сколько вариантов у тебя получилось?
5. У Димы 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых.
а) Дима съел 2 яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?
б) Дима съел 3 яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?
в) Дима съел 4 яблока. Какого цвета могли быть эти яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?
Сделай к задаче схематический рисунок: обозначь каждое яблоко кружочком.
Пример графической задачи и ее решение приведено в Приложении 1, 2.
Вывод по 2 главе
Умение составлять комбинации по определенным признакам, классифицировать их лежит в основе разнообразнейших сфер человеческой деятельности. Поэтому вариативность — качество необходимое людям разных специальностей: учителю, составляющему расписание, конструктору программу, биологу ит.д. Вариативность играет важную роль в творчестве.
Кроме очевидной связи комбинаторных задач с практикой или с реальностью наблюдаются положительные эмоции у детей, интерес, волнение, радость, удивление. Все это облегчает для ребенка волевое усилие, необходимое для решения стоящей перед ним задачи, стимулирует его деятельность.
Таким образом, решение комбинаторных задач положительно влияет на формирование приемов умственной деятельности, расширяются представления о задаче.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Методисты (Е. Е. Белокурова, Л. О. Бычкова, К.
Р. Велсксер, Б. В. Гнеденко, А. Н. Коломогорова, В.
Д. Маневич, В. Л. Матросов, А.
Плоцки, В. Д. Селютин, Демидова Т. Е., Козлова С. А., Рубин А. Г., Тонких А. П. А. И. Ширяев, И. М. Яглом, и др.) считают, что включение задач с элементами теории вероятностей и комбинаторики в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. В силу особенностей учащихся младшего школьного возраста, для которого характерно любопытство, пытливость ума, интерес к новому, мышление, свободное от стереотипов, используя различные задания, содержащие элемент новизны, учитывающие жизненный детский опыт, можно развить мышление вероятностного характера, что будет полезно при дальнейшем обучении, при освоении специальности и в жизненных ситуациях.
При решении таких задач у учащихся происходит не только усвоение математических знаний, но и формирование умений анализировать, сравнивать, делать соответствующие выводы, классифицировать, обобщать.
В Государственном образовательном стандарте говорится о введении элементов комбинаторики и теории вероятностей в курс математического образования в средней школе. Поэтому как нельзя более актуальным становится вопрос о ведении пропедевтической работы в этом направлении в начальной школе.
Анализ методической и психолого-педагогической литературы показал, что при изучении математики в начальной школе имеются все возможности для предварительного знакомства учащихся с задачами стохастического характера и методами их решения на соответствующем уровне, тем более, что работа над такими заданиями несет в себе целый комплекс развивающих элементов. Внедрение элементов комбинаторики и теории вероятностей в курс математики начальной школы на уровне формулировок и иллюстраций, формирование навыков решения задач простейшего уровня даст возможность школьникам в старших классах закрепить уже знакомый детям из начальной школы материал и повысить усвоение нового.
Работа над комбинаторными задачами на ступени начального общего образования развивает:
образное и логическое мышление, воображение;
умения составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
умения решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов, а также с использованием правил;
решать задачи с элементами теории вероятостей практическим путем при проведении эксперимента;
умения использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;
воспитывает интерес к математике, стремление использовать математические знания в повседневной жизни.
Поскольку многие задачи с элементами теории вероятностей доступны детям младшего школьного возраста, интересны им и тесно связаны с программой по математике, то их необходимо включать в учебники. Использование разнообразных задач с элементами теории вероятностей и комбинаторики в курсе математики начальной школы позволяет развивать логическое и вообще математическое мышление; способности к решению нестандартных задач; интерес к математике как науке; уточнять математические понятия; знакомить учащихся с новыми понятиями, создавая хорошую базу знаний для обучения в среднем и старшем звене школы.
Систематическое решение задач комбинаторного характера способствует целенаправленному формированию у учащихся основных компонентов теоретического мышления. По мнению методистов и психологов, внедрение систематизированных знаний, связанных с решением задач и заданий стохастического характера один из путей для достижения цели развития мыслительных операций у младших школьников. Правильный подбор материала способствует развитию интереса как к комбинаторным задачам, так и к общему курсу математики в школе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абрамян, Н. Т. Краткий курс психологов в вопросах и ответах. / Н. Т. Абрамян.
Владимир: Владос, 2005. — 86 с.
Абульханова-Славская К. А. Деятельность и психология личности / К.А. Абульханова-Славская. — М.: Наука, 1980. — С. 146−150.
Айсмонтас Б. Б. Педагогическая психология: Учебное пособие для студентов. М.: МГППУ, 2004.
Альтузауз, Д., Дум Э. Цвет — форма-количество. /Д.Альтауз. — М: Просвещение, — 1984.-95 с.
Аминов Н. А. Диагностика педагогических способностей. — М., 1998.
Ананьев Б. Г. Познавательные потребности и интересы / Б. Г. Ананьев / Ученые записки Ленинградского университета. — Л., 1959. С. 19−32.
Архипов О. П. Создание условий для проявления успеха как средства формирования положительного отношения к деятельности / О. П. Архипов. — Красноярск, 1957. — 184 с.
Беляев М. Ф. Основные положения психологии интереса // Ученые записки Иркутского педагогического института. -Вып. V. — 1940.
Блох А. Я. Изучение дискретной математики в школе // Математика в шк. — 1977. — № 6. — С.
64 — 68. 2. Виленкин Н. Я.
Комбинаторика. — М.: Наука, 1969.
— 328 с. 3. Виленкин Н.
Я. Популярная комбинаторика. — М.
: Наука, 1975. — 208 с.
Блох А.Ш., Юркевич А. В. Первые темпы теории вероятностей. Учебно-методическое пособие. М., 1978.
Божович Л. И. Избранные психологические труды. М, 1995.
Боровков А. А. Теория вероятности. Москва, 1991.
Бунилович Е., Булычев В. Вероятность и статистика. 5? 9 кл., гл. 8. Комбинаторика и вероятность. М.: Дрофа. 2002.
Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория вероятности. М.:Наука, 1986.
Виленкин Н. Я. Математика, Алгебра 9 класс. Москва, «Просвещение», 1996.
Виленкин Н. Я. Популярная комбинаторика. М., Наука, 1975.
Виленкин Н.Я., Пышкало А. М., Рождественская В. Б., Стойлова Л. П. Математика. Учебное пособие для студентов пед. Институтов. М., «Просвещение», 1977.
Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. М., Просвещение, 1979.
Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 2004.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. М., 1988.
Гнеденко Б. Г. Очерк по истории теории вероятностей. Эдиториал УРСС, 2001.
Давайте поиграем: Математические игры для детей 5−6 лет./Под редакцией А. А. Столяра.- М: Просвещение, 1991. — 80 с.
Дейкина А. Ю. Медиаобразование и развитие познавательного интереса дошкольника. Бийск: Изд-во НИЦ Бийск. педагог, гос. ун-та им. В. М. Шукшина, 2002.
Демидова Т.Е., Козлова С. А., Тонких А. П. Элементы стохастики в начальной школе. //Начальная школа. -2005,№ 5.
Демидович Б.П., Кудрявцев В. А. Краткий курс высшей математики. Учебное пособие для вузов. Москва. 2001.
Добрынин М. Ф. Интерес и внимание / М. Ф. Добрынин. — М., 1941.-240 с.
Дональсон, М. Мыслительная деятельность детей. /.М.Дональсон.- М: Просвещение, 1985. — 125 с.
Ежов И.И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. Москва. Наука. 1977.
Ерофеева, Т. Немного о математике и не только о ней. / Т.Ерофеева. // Дошкольное воспитание. -2001. -№ 10, -10.
Зак, А. З. Развитие интеллектуальных способностей у детей / А. З. Зак. — М: Мозаика-Синтез, 1996. — 57 с.
Зинченко В. П. Продуктивное восприятие / В. П. Зинченко // Вопросы психологии. — 1971. — № 6. — С.27−34.
Иванов В. Г. Особенности интересов учащихся-подростков / В. Г. Иванов // Проблемы возрастной педагогики. — М., 1960. — С.95−128.
Истомина Н. Б. Математика. Учебник для 1 класса. В двух частях. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2011 и послед.
Истомина Н. Б. Математика. Учебник для 2 класса. В двух частях. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2011 и послед.
Истомина Н. Б. Математика. Учебник для 3 класса. В двух частях. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2012 и послед.
Истомина Н. Б. Математика. Учебник для 4 класса. В двух частях. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2012 и послед.
Истомина Н. Б. Методика обучения математике в начальной школе. (Развивающее обучение). Пособие для студентов педагогических факультетов. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2009.
Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебнику для 2 класса. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. -.
2011 и послед. (электронная версия на сайте издательства) Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебнику для 3 класса. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. -.
2012 и послед. (электронная версия на сайте издательства) Истомина Н. Б. Методические рекомендации к учебнику для 4 класса. — Смоленск: Ассоциация ХХI век.
— 2012 и послед. (электронная версия на сайте издательства) Истомина Н.
Б. Учимся решать задачи. Тетрадь с печатной основой. 1 класс. — М.: Линка-Пресс. — 2009.
Истомина Н. Б. Учимся решать задачи. Тетрадь с печатной основой. 2 класс. — М.: Линка-Пресс. — 2009.
Истомина Н. Б. Учимся решать задачи. Тетрадь с печатной основой. 3 класс. — М.: Линка-Пресс. — 2009.
Истомина Н. Б. Учимся решать задачи. Тетрадь с печатной основой. 4 класс. — М.: Линка-Пресс. — 2009.
Истомина Н. Б., Заяц Ю. С. Практикум по методике обучения математике в начальной школе. (Развивающее обучение). Пособие для студентов педагогических факультетов.
— Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2009.
Истомина Н. Б., Редько З. Б. Методические рекомендации к учебнику для 1 класса. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. -.
2011 и послед. (электронная версия на сайте издательства) Истомина Н. Б., Редько З. Б.
Тетради по математике № 1 и № 2. 2 класс. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2011 и послед.
Истомина Н. Б., Редько З. Б. Тетради по математике № 1 и № 2. 4 класс. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2012 и послед.
Истомина Н. Б., Редько З. Б. Тетради по математике № 1 и № 2. 1 класс. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2011 и послед.
Истомина Н. Б., Редько З. Б. Тетради по математике № 1 и № 2. 3 класс. — Смоленск: Ассоциация ХХI век. — 2012 и послед.
Каган М. С. Человеческая деятельность / М. С. Каган. — М.: Просвещение, 1974. — 286 с.
Ковалев А. Г. Личность и ее направленность / А. Г. Ковалев. -М. 1966.-С.
87.
Колмогоров А. М. Современная математика и математика в современной школе // Математика в шк. — 1971. — № 6. — С. 2 — 3.
Коломинский Я.Л., Панько Е. А, Учителю о психологии детей шестилетнего возраста: Книга для учителя. / Я. Л. Коломинский, Е. А. Панько. — М: Просвещение, — 1988.-190 с.
Кондаков, Н. И. Формирование знаний и умений. / Н. И. Кондаков. — М, — Просвещение, 1984. — 130 с.
Корнилов К. Н. Учение о реакциях человека / К. Н. Корнилов. -М.-Л. :ГИЗ, 1923.-306 с.
Коршунов Д.Л., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятности. Новосибирск, 1997.
Кочетков Е.С., Смерчинская С. О. Теория вероятности в задачах и упражнениях. Москва, Форум — Инфра-М, 2005.
Левитов Н.Д. О психологических состояниях человека / Н. Д. Левитов. — М., 1964. — 248 с.
Леонтьев А. Н. Деятельность. Сознание. Личность / А. Н. Леонтьев. — М.: Политиздат, 1977. — 304 с.
Математика для школы. Игры — головоломки. Составили З. А. Михайлова, РЛ Непомнящая.
СПб. «Детство — Пресс», 2002. — 191 с.
Математика от 3 до 7: Учебное математическое пособие для воспитателей ДОУ. Составили З. А. Михайлова, Э. Н. Иоффе.
СПб: Акцидент, 1996. 150с.
Математика: программа 1−4 классы. Поурочно-тематическое планирование: 1−4 классы / Н. Б. Истомина. — Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2013. — 160 с.
Математическая энциклопедия: В 5 Т. / Под ред. И.
М. Виноградова. — М. :
Сов. энциклоп., 1979. — Т. 2.
— 2000 с.
Менчинская Н. А. Психологические проблемы активности личности в обучении / Н. А. Менчинская. — М.: Просвещение, 1971. -С. 124.
Методические советы к программе. — Детство. СПб «Детство — Пресс», 2001. — 301 с.
Михайлова 3.А. Игровое занимательное задание для дошкольников. / З. А. Михайлова. — М: 1990. — 146 с.
Мясищев В. Н. Основные проблемы и современное состояние психологии отношений человека / В. Н. Мясищев // Психологическая наука в СССР. — М.: Изд-во АПН РСФСР, 1960. — 4.
2. — С.
87.
Носова, Е.А., Непомнящая, Р. Л. Логика и математика для дошкольного возраста. / Е. А. Михайлова, Р. Л. Непомнящая. — СПб, 2004. 83 с.
Общая психология: Учебное пособие для студентов педагогических институтов./ Под ред. В. Богословского, А. А. Степанова и другие. 3-е издание. — М: Просвещение, 1981. 383с.
Рубинштейн С. Л. Основы общей психологии: В 2 Т. / М.: Педагогика, 1989. -Т. 1. -488 с.
Рыков Н.А. К вопросу об образовании умений / Н. А. Рыков // Советская педагогика. — 1953. -№ 10. -С.29−39.
Смоленцева, А. А. Сюжетно — дидактические игры с математическим содержанием. / А. А. Смоленцева. — М: Просвещение, 1993. 54 с.
Соболевский, Р. Ф. Логика и математические игры. / Р. Ф. Соболевский. — Минск, 1977. 158 с.
Солнышко С. В. Использование комбинаторных задач при обучении первокласноков математике // Начальная школа плюс-минус До и После.
— 1996;№ 2.
Спенсер, Г, Гербарж, И. Эббингауз, Г. и другие. Мышление. / Г. Спенсер, И. Гербарж, Г. Эббингауз.
М: Просвещение, 1989. 54 с.
Стойлова Л. П. Математика: комбинаторные задачи и их решения. М: Академия, 2002.
Сухомлинский В. А. О воспитании. — М., 1985.
Тихомирова, Л. Ф. Логика. Дети 5−7 лет / Л. Ф. Тихомирова. — Ярославль, 2001. С. 34 с.
Тонких А. П. Математика. Москва, 2002.
Тренируйте ум детей: Альбом. — Киев.-1983.-72с.
Уроки математики: Методические рекомендации к учебнику для 1 класса: Пособие для учителей / Н. Б. Истомина, Е. С.
Немкина, С. В. Попова, З. Б. Редько — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2013. — 244 с.
Уроки математики: Методические рекомендации к учебнику для 2 класса общеобразовательных организаций / Н. Б. Истомина, З. Б. Редько, Е.
С. Немкина, Н. Б. Тихонова. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2014.
— 268 с.
Ушинский К. Д. Человек как предмет воспитания: Опыт педагогической антропологии: В 2 т./ К. Д. Ушинский. — М., 1950.
Федеральный государственный образовательный стандарт второго поколения: информационно — методический справочник педагога / Л. М. Беловицкая, М. В. Бойкина, Н. В. Григорян и др.; Под общ. ред. С. В. Алексеева; С. А. Усковой. — СПб.: СПб АППО, 2010. 112 с.
Федеральный компонент государственных образовательных стандартов общего, основного общего и среднего (полного) общего образования. Приложение к приказу Минобразования России, № 1089 от 5 марта 2004.
Харрисон С. Счастливый ребенок. М.: ООО Издательский дом «София». 2005.
Швырев В. С. Научное познание как деятельность / В.С. Швы-рев. — М.: Просвещение, 1984. — 228с.
Щукина Г. И.
Введение
/ Г. И. Щукина // Актуальные вопросы формирования интересов в обучении. — М.: Просвещение, 1984. — С.6−13.
Юдин Э. Г. Понятие деятельности как методологическая проблема / Э. Г. Юдин // Труды ВНИИТЭ. — Сер. «Эргономика». — М., 1976. 15 с.
Ядренко М. Й. Дискретная математика. — К.: Вид-во «Експрес», 2003. — 200 с.
ПРИЛОЖЕНИЯ.
Приложение № 1.
Задача с графическим материалом Представь, что у тебя 4 разноцветных воздушных шарика.
а) Раскрась эти шарики.
б) Тебе предложили выбрать 2 шарика различной формы. Сколько возможных вариантов выбора?
Раскрась их.
Процесс выполнения этого задания целесообразно разбить на два этапа.
Приложение 2.
Решение задачи с графическим материалом.
I этап. Пользуясь способом перебора, дети вставляют в «окошко» число возможных вариантов. (Лучше это сделать простым карандашом, т.к. некоторые могут не учесть условие, что два шарика должны быть различной формы).
Ответ: 5 вариантов выбора.
На II этапе школьники анализируют рисунки пар шаров, зачеркивают простым карандашом лишние пары шариков и закрашивают те из них, которые соответствуют условию (возможно, что дети, допустившие ошибку на первом этапе, обнаружат ее, закрашивая шары разной формы). Важно также обратить внимание на то, что при выборе двух шаров не имеет значения, какой из них находится справа, а какой слева.
7. Расположи в клеточках буквы К, Т, О по-разному.
Обведи те варианты, где получились слова, имеющие смысл. С полученными словами составь предложения.
К.
