Получаем равносильную систему с равными коэффициентами с разными знаками перед переменной: (6)) Добавляя одно уравнение от второго по частям, получаем уравнение с одной переменной, которое решаем. (7) (8)3) подставляя полученное значение в одно из уравнений системы (5), получаем уравнение с одной переменной, которое решаем, таким образом находя решение системы. Пример 1.
2.5. Пусть задано систему уравнений: Решение. При добавлении по частям первого уравнения ко второму получаем равносильны левую и правую часть: откуда Ответ: (5, 2) Так решают системы, в которых коэффициенты при какой-либо переменной — противоположные числа. А к такому виду можно свести любую систему линейных уравнений с двумя переменными. Пример 1.
2.6 Пусть задано систему уравнений: Решение. Домножим все члены 1 уравнение на 2, а все члены второго уравнения на 3, получим равносильную систему уравнений: Добавляя по частям первое уравнение ко второму получим: Соответственно: Ответ. (15; -2) .3 Квадратные уравнения Квадратным называют уравнения второй степени с одной переменной вида, где
— переменная, а
— данные числа, причем [3]. числа
— коэффициенты квадратного уравнения:
— первый коэффициент,
— второй,
— свободный член. Согласно определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может равняться нулю. Если хоть один коэффициент или равна нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполные квадратные уравнения бывают трех видов [3]: 1) 2) 3)) Уравнения вида равносильно уравнению и поэтому оно всегда имеет только один корень .) Уравнения вида равносильно уравнению и всегда имеет два корня .Пример 1.
3.1 Решите уравнение .Решение. вынесем переменную за скобки: .Итак, или, откуда .Ответ.) Уравнения вида равносильно уравнению. если, Оно имеет два решения, если
— ни одного решения. Если знаки коэффициентов и различны, то число положительное и Решение имеет два корня, если знаки коэффициентов и одинаковы, то число отрицательное и уравнение не имеет корней. Пример 1.
3.2 Решите уравнение .Решение. Преобразуем данное уравнение к виду. тогда
— это квадратный корень из. Квадратных корней из числа два: и .Ответ.. Формула корней квадратного уравнения.
Пример 1.
3.3 Решим например уравнение. Если выражению добавить и вычесть 9, то достанем квадрат двучлена и дополнительное число 9: эквивалентно Итак,, Откуда два корня .ответ: Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена. Решим подобным способом уравнения .Умножив обе части уравнения на (по определению), Получим: выражение называют дискриминантом данного квадратного уравнения и обозначают буквой .если, То данное уравнение не имеет корней, не существует такого действительного значения, При котором бы значение выражения было бы отрицательным.
если, то, откуда
— единственный корень уравнения.
если, То данное квадратное уравнение равносильно уравнению: откуда два решения:, или, В этом случае данное уравнение имеет да корни, которые отличаются только знаками перед корнем из дискриминанта. Коротко решение формулы корней квадратного уравнения записывают:, где.
Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение. Теорема Виета [3]Квадратное уравнение называют сводным, если его первый коэффициент равен единице. Теорема Виета. Если сведено квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна втором коэффициента уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.Доказательство. если уравнение имеет корни, То их можно находить по формулам: и (1)Добавим и перемножим эти корни: Итак, Что и требовалось доказать.Примечание. если, то уравнение имеет два одинаковых корня .Два математических выражения, соединенные знаком «больше">, «меньше» < «не больше» или «не менее», называются неавенствами[22]. запись обозначает, что-либо или .Неравенства бывают многочисленные и буквенные. Если в неравенство входят переменные, то неравенство называется с переменными. Если неравенство выполняется при всех значениях переменных, то оно называется тождественным неравенством. Неравенство называется алгебраической, если с переменными выполняются алгебраические действия. Прочие неровности называются неалгебраические или трансцендентными. Свойства числовых неравенств [22]. Если: <b и b <с, то, а <с;а <b и с — произвольное число, то, а + с <b + с;а <b и с> 0, то ас <bс;а <b и с <0, то ас> bс;а <b и c <d, то, а + с <b + d;а <b, c <d и а, b, с, d — числа положительные, то ас <bd. Неравенства вида, а <х <b, а ≤ х <b, а <х ≤ b, а ≤ х ≤ b называются двойными неровностями. Их удобно использовать для оценки значений величин и приближенных вычислений. Ведь если, а <х <b и с <в <d, то, а + с <х + у <b + d, a — d <х — <b — с, ас <ху <bd, a: d <х: в <b: c. Две последние двойные неравенства правильные при условии, если числа, а и с — положительные. Решить неравенство означает найти все ее решения или показать, что их нет. Множества решений зачастую образуют промежутки [22]. Неровности с переменными имеют многие свойства, аналогичных свойств уравнений [22]:. Если из одной части неравенства перенесем в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному. Если обе части неравенства умножим или поделим на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному. Если обе части неравенства умножим или поделим на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному. Если я и b — данные числа, а х — неизвестная переменная, то каждая из неравенств ах <b, ах> b, ах ≤ b, ах ≥ b (2.
1.1) называется линейной неравенством первой степени с одной переменной х (неизвестным) .Если, а = 0, то каждая из неравенств (2.
1.1) или не имеет решений, или множеством ее решений является множество всех действительных чисел. Пример 2.
1.1. решим неравенство. (2.
1.2) Решение. Переносим однородные члены неравенства с переменной в левой части неравенства с изменением знака, а числа — упражнение часть неравенства с изменением знака. При таком перенесены знак неравенства не меняется:, Проведя группировки, получаем ответ: .ответ: .Пример 2.
1.2. Решите неравенство (2 — х) ≤ 3х + 44 (2.
1.3) Решение. Раскрываем скобки в левой части:
— 7х ≤ 3х + 44, 1. Переносим однородные члены неравенства с переменной в левой части неравенства с изменением знака, а числа — упражнение часть неравенства с изменением знака. При таком перенесены знак неравенства не меняется: х — 3х ≤ -14 + 44, Проведя группировки, получаем: -10x ≤ 30Делим левую и правую часть неравенства на 10, соответственно изменяя знак неравенства на противоположный, получаем ответ: х ≥ -3.Ответ. х ≥ -3.Пример 2.
1.2 Решите неравенство (2.
1.4) Решение. Умножим обе части неравенства на число 6 (НОК). Раскрывая скобки в левой части и группируя переменные и свободные члены в разных частях неравенства без изменения знака получаем. Делим левую и правую часть неравенства на 12, соответственно изменяя знак неравенства на противоположный, получаем ответ: ответ: Пример 2.
1.3. Решите неравенство с модулем (2.
1.5) Решение. Неравенство с модулем равносильна совокупности (не система!) Неровностей. Совокупность неровностей отличается от системы неравенств тем, что каждая неровность совокупности выполняется отдельно друг от друга (возможно на разных промежутках числовой оси). или отсюда Ответ: Неравенство имеет 2 промежутка, на которых выполняются условия неравенства модуля и. На промежутке числовой оси решение отсутствует.
2.3. Проведение и результаты педагогического эксперимента Педагогический эксперимент проводился в течение 2017;2018 гг. и включал в себя констатирующий, поисковый и обучающий этапы. На констатирующем и поисковом этапах выполнялся анализ психолого-педагогической и методической литературы, который помог определить возможности использования элективных курсов в предпрофильной подготовке учащихся и т. д. На основе выделенных теоретических основ разработаны методические рекомендации по конструированию и внедрению элективных курсов по математике с целью предпрофильной подготовки учащихся в 9 классах. Экспериментальная проверка доступности и эффективности разработанной методике осуществлялась в ходе обучающего эксперимента на базе … В эксперименте принимал участие 9 «В» класс. Всего 24 человека. На первом этапе обучающего эксперимента был проведен анализ успеваемости по математике в 9 классе. Результаты были следующими:
Рис.
1. Констатирующий этап исследования. Во время педагогической практики были проведены обобщающе-повторительные занятия, самостоятельные работы, контрольные работы, математические диктанты, на которых учащиеся занимались подготовкой к единому государственному экзамену. После самостоятельных работ проводился анализ полученных результатов (в начале следующего урока). При выполнении самостоятельных ученики не справлялись с некоторыми заданиями. Например, в заданиях: в которых требуется построить график функции, содержащих модуль, решение задач с параметром и модулем из ЕГЭ прошлых лет; Особенно часто учащиеся допускали ошибки при решении задач с параметром и иррациональных неравенств. После разбора ошибок, как правило, предлагался решение этих задач и примерные такие задачи, с которым учащиеся справлялись лучше, так как поняли, почему и где они допустили ошибки. После реализации всех занятий в рамках элективного курса нами была разработана контрольная работа, которая отражала бы знания детей по данной теме. В контрольной работе принимали участие также и ученики контрольной группы, поэтому материал контрольной был ориентирован на основную программу по математике и планируемые результаты, достигаемые по ней. Система оценивания контрольной работы: Первому заданию ставится 1 балл, а для второго задания — по 2 балла, а для третьего — 4 балла. Оценка «5» — выше 8 баллов, «4» — выше 6 баллов, «3» — выше 4 баллов, «2» -выше 1 балла. Диагностические материалы, применяемые в исследовании приведены в Прил.
1.:Таблица 3. Результаты проверочных работ 9-го класса среднейшколы.№СР1СР2СР3СР4Итоговаяконтрольнаяработа1−34 442−34 443−3-3 334 355 555−34 446−34−437−3 454 845 555 933−44 310 333 431 145 346 105 344−5Как видно из таблицы, от самостоятельной к самостоятельной результативность у испытуемых росла. Так, если во второй самостоятельной работе оценку «удовлетворительно» получили 75% испытуемых, то к концу элективного курса этот показатель упал до нуля, а оценки, получаемые детьми, в основном представляют собой 4 и 5, что указывает на достаточный и хороший уровни усвоения материала.Рис.
2. Результаты контрольной работы на контрольном этапе.
Контрольную работу дети экспериментальной группы сделали почти все на положительные оценки. Нами был осуществлен сравнительный анализ по контрольной работе таким способом: к исполнению дана контрольная работа тем, кто ходил на элективный курс и тем, кто не ходил. Из диаграммы видно, что те, кто ходил на элективный курс, сделали контрольную работу без «2», а те, кто не ходил наэлективный курс, сделали не настолько хорошо. А те ученики, которые ходил на мой элективный курс, достигли «хорошего» уровня знаний. И я считаю, что цель моей дипломной работы достигнута. Из полученных результатов контрольной работы мы видим, что качество знаний повысилось в октябре, так как большинство учеников контрольную работу написали лучше, что подтверждает гипотезу. Данное исследование показывает, что применяемый элективный курс способствовал формированию у учащихся четкого понимания роли параметра, алгоритмов решений некоторых задач с параметром и модулем. Оптимальное сочетание различных форм организации эффективно способствует всестороннему развитию учащихся.
Заключение
.
Предпрофильная подготовка учащихся — это условное обозначение реализуемого учителем комплекса учебных мероприятий, призванных помочь ученику 9 класса определить ведущую направленность дальнейшего обучения в старшей школе. Ранняя юность — это время дальнейшего укрепления воли, развития таких черт волевой активности, как целеустремленность, настойчивость, инициативность. В этом возрасте укрепляется выдержка и самообладание, усиливается контроль за движением и жестами, из-за чего старшеклассники и внешне становятся более подтянутыми, чем подростки.
Введение
элективного курса «Решение уравнений и неравенств» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи и фа ют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников. Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами. Программа построена в соответствии с тем, входящих в основную программу по математике, обеспечивает глубокое усвоение курса алгебры. Специфика задач с параметрами заключается в том, что они охватывают все темы алгебры, поэтому является уникальным средством для систематизации и обобщения знаний учащихся. Высокий уровень абстрагирования и алгоритмизации, содержащих задачи с параметрами, развивает навыки применять эвристические, исследовательские приемы работы, умение устанавливать причинно-следственные связи, культуру мышления, инициативу, творчество, а также обеспечивает интеллектуальное развитие личности. Список использованной литературы.
АбдулаевЭ.Н.Элективныекурсы:
нормативно-правовоерегулированиеилитература.-[Электронныйресурс]-URL:
http://pish.ru/articles/articles2009/201/Баранников.
А.В.Элективныекурсывпрофильномобразовании//Первоесентября, 2004.-№ 2.-с.1−2.Горбачев.
В.И.Методырешенияуравненийинеравенствспараметрами, Брянск, 1999.
Горнштейн.
П.И., Полонский.
В.Б., Якир
М.С.Задачиспараметрами.
М.:ИЛЕКСА, 2005.
Горнштейн.
П.И.Задачиспараметрами.М.:Гимназия, 2002.
Григорян.
М.Э., Болдыревский.
П.Б., Залесский.
М.Л., Троицкий.
Р.В.Теорияиметодикаобученияшкольниковрешениюуравнений//Международныйжурналэкспериментальногообразования.-2017.-№ 8.-С.28−33;URL:
http://www.expeducation.ru/ru/article/view?id=11738(датаобращения:
15.04. 2018).Гужавина.
Н.А.Положениеопрограммеэлективныхкурсов//Управлениесовременнойшколой.Завуч, 2008.-№ 3.-с.53−56.Гультяева.
Л.И.Разработкаипроведениеэлективныхкурсовдляпредпрофильногоипрофильногообучения//Информатика, 2007.-№ 3.Гунашева.
М.Г., Мехтиев.
М.Г., Эскандаров.
А.А.Уравненияинеравенстваспараметрами.Махачкала, 2010.
Гунашева.
МуслиматГунашевна.
ОбучениеучащихсярешениюуравненийинеравенствспараметрамиприподготовкекЕГЭ//Известия.
ДГПУ.Психолого-педагогическиенауки.
2011.№ 1.URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/obuchenie-uchaschihsya-resheniyu-uravneniy-i-neravenstv-s-parametrami-pri-podgotovke-k-ege (датаобращения:
15.04. 2018).Егорова.
А.М.Профильноеобучениеиэлективныекурсывсреднейшколе[Текст]//Теорияипрактикаобразованиявсовременноммире:
материалы.
Междунар.
науч.конф.(г.Санкт-Петербург, февраль2012г.).—СПб.:Реноме, 2012.—С.173−179.Ермакова.
Д.Теченияи"подводныекамни"вмореэлективныхкурсов//Народноеобразование.-2007.-№ 1.-С.155−162.Ермаков.
Д.С., Петрова.
Г. Д.Созданиеэлективныхучебныхкурсовдляпрофильногообучения//Школьныетехнологии.-2003.-№ 6.Ермаков.
Д.С., Петрова.
Г. Д.Созданиеэлективныхучебныхкурсовдляпрофильногообучения//Школьныетехнологии, 2003.-№ 6.-с.23−29.Ермаков.
Д.С., Рыбкина.
Т.И.Элективныекурсы:
требованиякразработкеиоценкарезультатовобучения//Профильнаяшкола, 2004.-№ 3.-с.6−11.Зубрилин.
А.А.Паркина.
И.С.Технологияразработкиэлективныхкурсов.Каспржак.
А.Г.Проблемавыбора:
элективныекурсывшколе.-М.:Новаяшкола, 2004.-160с.Каспржак.
А.Г.Элективныекурсы-ответназапросыученикаиучителя, семьиигосударства//Директоршколы, 2006.-№ 1.-с.3−9.Каспржак.
А.Г.Элективныекурсы:
типологияизадачи//Директоршколы, 2006.-№ 3.-с.53−57.Кинзибаева.
И.Г.Элективныекурсы-требованиякразработке//Мастер-класс:
приложениекж."Методист".-2006.-№ 7.-С.10−21.Кинзибаева.
И.Г.Элективныекурсы-требованиякразработке//Мастер-класс:
приложениекж."Методист".-2006.-№ 8.-С.2−7.Колесникова.
С.И.Интенсивныйкурсподготовкик.
ЕГЭпоматематике.М., 2005.
Колягин, Ю. М. Задачивобученииматематике.Ч.
1.Математическиезадачикаксредствообученияиразвитияучащихся[Текст]/Ю.М.Колягин.-М.:Просвещение, 1977.-108с.Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования [Текст]. — М., 2002.
Концепциямодернизациироссийскогообразованиянапериоддо2010года//Вестникобразования, 2002.-№ 6.-с.10−42.Крамор
В.С.Математика.Типовыепримерынавступительныхэкзаменах.
М.:Аркти, 2000.
Крупич, В.И.Теоретическиеосновыобучениярешениюшкольныхматематическихзадач[Текст]/В.И.Крупич.-М.:Прометей, 1995.-166с.Лернер
П.С.Рольэлективныхкурсоввпрофильномобучении/П.С.Лернер//Профильнаяшкола.-2004.-№ 3.Литвинова.
И.Н.Решениезадачспараметрамикаксредствоформированияисследовательскихуменийучащихся//Научно-методическийэлектронныйжурнал"Концепт".-2015.-Т.
6.-С.11−15.-URL:
http://e-koncept.ru/2015/65 203.htm.Математика."Первоесентября".№ 4,22,23−2002г;№ 12,38−2001гМатематика.Задачи.
М.И.Сканави.
Минск;
В.М.Скакун, 1998 г. Математикадляпоступающихввузы//Сост.А. А. Тырымов.-Волгоград:
Учитель, 2000.
Мехтиев.
М.Г., Назаров.
А.Д.Уравнения, неравенстваизадачиспараметрами. Махачкала, 2000.
Мирошин.
В.В.Решениезадачспараметрами.Теорияипрактика/В.В.Мирошин.
М.:Издательство"Экзамен", 2009.-286с.Молчанов.
С.Г., Симонян.
Р.Я.Предпрофильноеипрофильноеобразование (терминологическийсловарь)/С.Г.Молчанов, Р.Я.Симонян/Учебноепособие.-Челябинск:
ИДППО, 2005.-44с.Мочалов.
В.В., Сильвестров.
В.В.Уравненияинеравенстваспараметрами.Чебоксары.Издательство.
ЧГУ, 1997.
Нырко.
В.А., Табуева.
В.А.Задачиспараметрами.
Екатеринбург;
УГТУ, 2001.
Орлов.
В.А.Типологияэлективныхкурсовиихрольворганизациипрофильногообучения//.
http://www.college.ru.Петунин.
О.В., Трифонова.
Л.В.Элективныекурсынаэтапепредпрофильнойподготовки//Школьныетехнологии.-2006.-№ 1.-С.88−90.Потапов.
М.К., Олехник.
С.Н., Нестеренко.
Ю.В.Уравненияиреравенстваспараметрами.Издат.
МГУ, 1992гПрофильноеобучение:
Нормативныеправовыедокументы.-М.:ТЦСфера, 2006.-96с.Пудовкина.
ЮлияНиколаевна, Родионов.
МихаилАлексеевич.
Особенностиорганизациипредпрофильнойподготовкишкольниковнаосноверациональногосочетаниябазовыхиэлективныхматематическихкурсов//Вестник.
Северного (Арктического).
федеральногоуниверситета.Серия:
Гуманитарныеисоциальныенауки.
2011.№ 1.URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/osobennosti-organizatsii-predprofilnoy-podgotovki-shkolnikov-na-osnove-ratsionalnogo-sochetaniya-bazovyh-i-elektivnyh (датаобращения:
15.04. 2018).Родионов.
М.А., Пудовкина.
Ю.Н.Модельпредпрофильнойподготовкишкольниковнаосновесочетаниябазовыхиэлективныхкурсов//Известия.
ПГУим.В. Г. Белинского.
2011.№ 26.URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/model-predprofilnoy-podgotovki-shkolnikov-na-osnove-sochetaniya-bazovyh-i-elektivnyh-kursov (датаобращения:
15.04. 2018).Рыжик.
В.И.Кризиссреднегоматематическогообразованияглазамиучителя//Математикавшколе, 2014,№ 1-с.3−9.Савицкая.
Н.Элективныекурсывпрофильномобучении//Народноеобразование, 2004.-№ 6.-с.275−277.Сафонов.
Г.Элективныекурсывпрофильныхклассах//Народноеобразование, 2005.-№ 6.-с.213−219.Соловьёва.
ОксанаВикторовна.
Проблемыиперспективыпредпрофильнойподготовкиучащихсяосновнойшколыпоматематике//Ярославскийпедагогическийвестник.
2012.№ 3.URL:
https://cyberleninka.ru/article/n/problemy-i-perspektivy-predprofilnoy-podgotovki-uchaschihsya-osnovnoy-shkoly-po-matematike (датаобращения:
15.04. 2018).Теоретическиеосновыобученияматематикевсреднейшколе:
Учебноепособие/Т.А.Иванова, Е. Н. Перевощикова, Т. П. Григорьева, Л. И. Кузнецова;
Под.ред.
проф.Т. А. Ивановой.-Н.Новгород:
НГПУ, 2012.-320с.Фалилеева.
М.В.Первыешагиврешенииуравненийинеравенствспа-раметром:
Учебноепособие/М.В.Фалилеева.-Казань:
Казан.
ун-т, 2014.-111сЩербо.
И.Реализацияпрофильногообучениявшколе//Директоршколы, 2005.-№ 4.-с.47−56.Ястребинецкий.
Г. А.Задачиспараметрами.-М.Просвещение, 1988гЯстребинецкий.
Г. Н.Уравненияинеравенства, содержащиепараметры.М.:Просвещение, 1986.
Ященко.
В.И., Семенов.
А.В., Высоцкий.
И.Р.Методическиерекомендациипонекоторымаспектамсовершенствованияпреподаванияматематики.-М.:ФИПИ, 2014.-34с.Приложения.
Приложение 1Линейные уравнения Самостоятельная работа. Вариант 1. Решить уравнения: а) вх + 2 = - 1; б) (а — 1) х = а — 2; в) (а2 — 1) х — а2 + 2а — 1 = 0. Вариант 2. Решить уравнения: а) — 8 = вх + 1; б) (а + 1) х = а — 1; в) (9а2 — 4) х — 9а2 + 12а — 4 = 0. Линейные неравенства с параметром.
Самостоятельная работа. Вариант 1. Решить неравенства: а) (а — 1) х≤ а2 — 1; б) 3х-а > ах — 2. Вариант 2. Решить неравенства: а) (а — 1) х- 2а +3 ≥ 0; б) ах-2в< вх+2а.Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета. Самостоятельная работа. Вариант 1.
Решить уравнение ах2 — (а+3)х + 3 = 0. Вариант 2. Решить уравнение а2 +(а+1)х + 2а-4 = 0. Самостоятельная работа. Вариант 1.Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (2а — 1) х2 +2х — 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень. Вариант 2.. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 — а) х2 +4х — 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень. Контрольная работа.Вариант 1. 1. Решить уравнение (а2 +4а)х = 2а + 8. 2.
Решить неравенство (в + 1) х ≥ (в2 — 1). 3. При каких значениях параметра, а уравнение х2 — (2а +1)х + а2 + а — 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков? Вариант 2. 1. Решить уравнение (а2 — 2а) х = 3а. 2.
Решить неравенство (а + 2) х ≤ а2 — 4. 3. При каких значениях параметра в уравнение х2 — (2в — 1) х + в2 — т — 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?
