Количественная оценка степени финансового риска

Воспользуемся следующим свойством нечетких множеств. Пусть А — некоторое нечеткое подмножество в X, и - характеризующая его функция принадлежности. Тогда дополнением к А является нечеткое подмножество (не A) с функцией принадлежности, задаваемой как . В отличие от обычных четких подмножеств пересечение А и uА не пусто, т. е. , где В — непустое нечеткое подмножество. Ясно, что чем ближе А к , тем больше мощность множества В и тем сильнее А и отличаются от четких множеств.

Пользуясь этим обстоятельством, Р. Егер (США) предложил семейство мер четкости нечетких подмножеств (при р =1,2, …, ?) и соответствующих мер нечеткости.

(2.14).

(2.15).

Данное определение соответствует естественным, интуитивно понимаемым требованиям к мере нечеткости. Если А — нечеткое подмножество на X и его функция принадлежности, то должны выполняться следующие требования:

dd (A) = 0, если А — нечеткое подмножество;

dd (A) достигает максимума при для ;

dd (A 1) > dd (A), если

В простейшем и наиболее полезном случае р = 1 вышеприведенное выражение трансформируется к виду.

(2.16).

Из последнего выражения видно, что мера нечеткости изменяется от 0 при р (А) = 1 (абсолютно четкое подмножество) до 1 при (максимальная степень неопределенности, нечеткости).

Применительно к рассматриваемой задаче рассчитываемую меру четкости получаемого нечеткого интервала.

NPV можно лингвистически интерпретировать как степень риска или степень неуверенности прогноза получения чистой текущей стоимости в интервале [NPV1, ??V4], Действительно, чем более четкий, более «прямоугольный» интервал получаем, тем больше степень неопределенности, а значит, и риск. На первый взгляд это утверждение кажется парадоксальным, однако любой четкий интервал, не содержащий какой-либо дополнительной информации об относительной предпочтительности лежащих внутри него значений, содержит меньше полезной информации, чем построенный на его основе нечеткий интервал. В последнем случае дополнительная информация, снижающая неопределенность, обусловлена наличием функции принадлежности интервалу.

В итоге предлагаемый подход к оценке чистой текущей стоимости естественным образом порождает два критерия оценки: собственно нечеткий интервал NPV и степень неуверенности его прогноза (степень риска).

Получаемое в результате нечетко-интервальное значение NPV несет значительно больше полезной для практики информации, чем обычные четкие оценки, однако его необходимо дополнительно интерпретировать, так как существующие нормы отчетности требуют указывать конкретные числа, а не нечеткие интервалы. Кроме того, для инвестора вполне естественным является желание получить конкретное значение NPV, на которое можно ориентироваться при составлении, например, бизнес-плана, определенную оценку риска, а также конкретные значения Р, и KVt, принятые с учетом существующей неопределенности исходных данных.

Решение задачи оптимизации потоков платежей

При решении задачи оптимизации исходные нечеткие интервалы Pt и KVt рассматриваются как ограничения па управляемые входные параметры, которые можно изменять, a dt - как неуправляемый параметр, характеризующий неопределенность внешней по отношению к рассматриваемому проекту среды.

По полученному в результате подстановки исходных нечетких интервалов Рt и KVt в формулу для расчета чистой текущей стоимости нечеткому интервалу NPV строится частный критерий, отражающий требования к доходности проекта с учетом реальных ограничений. Для математической формализации частных критериев используется интерпретация функций принадлежности нечетких интервалов как функций желательности, изменяющихся от 0 в области допустимых значений до 1 в области наиболее предпочтительных значений. Способ построения функции желательности NPV достаточно очевиден: функцию желательности ?NPV можно рассматривать лишь на интервале возможных значений NPV {NPV1 — NPV4}, и, естественно, чем больше значение NPV, тем выше степень желательности (рис. 2.24).

Рис. 2.24. Функция желательности NPV, построенная по итоговому интервалу NPV

Исходные нечеткие интервалы Р, и KV, также рассматриваются как функции желательности? p?, ?p2,…, ?KV1, ?KV2, …, характеризующие переменные (исходные интервалы уже построены таким образом, что при их интерпретации как функций желательности более предпочтительными оказываются те значения из интервалов Рt и KVt, реализация которых более возможна). В рассматриваемом примере наиболее «желательными» считаются срединные значения входных нечетких интервалов Pt и KVt, соответствующие второму и третьему вариантам инвестиций. Функции принадлежности для данных значений входных переменных берутся равными единице. Для значений нечеткого интервала KVt функция желательности µ(.KVt) представлена на рис. 2.25 (функция желательности для нечеткого интервала Рt - ?(?t) — схематически изображена на рис. 2.22).

При этом следует отметить, что значение функции принадлежности , представленной на графике, характеризует желательность одного из четырех вариантов осуществления вложений, а не конкретной величины расходов в определенный период инвестирования.

Поскольку функции желательности связаны с возможностью реализации тех или иных значений управляющих параметров, постольку отвечающие им частные критерии являются критериями, неявно характеризующими финансовый риск проекта.

Рис. 2.25. Нечетко-интервальная форма исходных данных:

µ(KVt) — функция принадлежности нечеткому интервалу На основе всех функций желательности строится максимизируемая функция или глобальный критерий

(2.17).

где ?1 и ?2 — задаваемые инвестором ранги, характеризующие относительную значимость для клиента доходов и рисков;  — значение функции желательности NPV в точке

Задача сводится к отыскиванию набора неинтервальных (четких) значений P1, Р2, … KV1, KV2, …, изменяющихся в пределах, ограниченных соответствующими нечеткими интервалами, которые бы максимизировали глобальный критерий. Положение осложняется тем, что дисконт полагается неуправляемым параметром, равномерно распределенным в заданном интервале.

Поэтому процедура решения задачи осуществляется так. Из диапазона изменений дисконта случайным образом выбирается значение, при котором с помощью метода случайного направленного поиска находится оптимальное решение, соответствующее наилучшему компромиссу между неопределенностью исходных данных и стремлением к получению максимальной прибыли. Соответствующие оптимуму значения и являются оптимальными при данном значении дисконта с точки зрения этого компромисса. Далее, из интервала дисконта выбирается следующее случайное его значение, и вновь решается задача оптимизации. Процедура выполняется до тех пор, пока не набирается статистически репрезентативная выборка оптимальных решений для различных значений, но дисконту.

Итоговые оптимальные значения и находятся как средневзвешенная оценка с учетом степени возможности реализации различных значений dt, задаваемой исходным нечетким интервалом di, с функцией принадлежности :

(2.18).

где i = l, …, т; т — количество значений дисконта, использовавшихся при решении задачи; dt - собственно эти значения.

Можно также учесть значение глобального критерия в точке оптимума:

(2.19).

Это даст возможность учесть, помимо надежности значений di, удачность упоминавшегося выше компромисса для каждого из выбранных значений дисконта.

Исходные данные рассматриваемого примера целесообразно представить в табличной форме (табл.2.35).

В данной таблице представлены значения и через которые задаются исходные нечеткие интервалы и которые являются оптимальными при данном значении дисконта с точки зрения компромисса между доходностью и риском (т.е. представленные значения — результат описанной ранее процедуры выбора оптимальных решений).

Таблица 2.35

Исходные данные для расчета

	Вариант 1.	Вариант 2.	Вариант 3.	Вариант 4.
	8%.	13%.	22%.	35%.
	0,2.	0,65.	0,9.	0,45.
	2,00.	2,80.	3,50.	4,00.
	0,00.	0,88.	1,50.	2,00.
	0,50.	7,50.	8,00.	8,50.
	5,50.	6,50.	7,00.	7,50.
	7,9.	6,8.	4,5.	2,2.
		0,7.	0,4.

Ставка дисконта и соответствующие ей функции принадлежности являются ограничениями, описывающими неопределенность и риски внешней среды. Значения и , определяют внутренние ограничения системы. Следовательно, значения чистой текущей стоимости и ее функции желательности выражают цели инвестора, т. е. естественно, что стремление к максимальной доходности (NPV) и определяет максимальное значение функции принадлежности ?(7,9) = 1.

По формуле (2.19) итоговые значения и определяются следующим образом.

• 1. Значения умножаются на соответствующее значение функции принадлежности .
• 2. Найденные взвешенные значения суммируются, в результате определяются значения учитывающие риск и неопределенность внешней среды — изменчивости d.
• 3. Определяются оптимальные значения и делением рассчитанных на предыдущем этапе , на .

Результаты вышеописанных расчетов представлены в табл. 2.36.

Таблица 2.36

Результаты расчетов оптимальных значений и

	Вариант 1.	Вариант 2.	Вариант 3.	Вариант 4.
d	8%.	13%.	22%.	35%.	;	;
?d (di).	0,2.	0,65.	0,9.	0,45.	2,2.	;
	0,40.	1,82.	3,15.	1,80.	7,17.	3,26.
	0,00.	0,57.	1,35.	0,90.	2,822.	1,28.
	1,30.	4,88.	7,20.	3,83.	17,2.	7,82.
	1,10.	4,23.	6,30.	3,38.		6,82.

При определении оптимальных значений и выполняется следующая последовательность действий.

1. Определяется значение глобального критерия для каждого варианта. Так, для первого варианта формула глобального критерия примет следующий вид:

Нечетко-интервальное значение максимизирующего критерия для рассматриваемого примера равно: (все ранги для простоты брались равными 1).

2. Рассчитываются значения весов для

3. Значения умножаются на соответствующие коэффициенты и делятся на сумму весов.

Результаты расчетов приведены в табл. 2.37.

Таким образом, результатом решения задачи оптимизации являются значения и на которые можно будет ориентироваться при реализации инвестиционного проекта. Для приведенного примера эти значения будут следующими (табл. 2.38).

Таблица 2.37

Промежуточные результаты расчетов

	Вариант.	Вариант.	Вариант.	Вариант.
qi.	0,2.	0,65.	0,9.		1,75.	;
	0,4.	1,82.	3,15.		5,37.	3,07.
		0.572.	1,35.		1,922.	1,10.
	1,3.	4,875.	7,2.		13,375.	7,64.
	1,1.	4,225.	6,3.		11,625.	6,64.

Таблица 2.38

Результаты решения задачи оптимизации

Мы можем также определить оптимальное нечеткоинтервальное значение NPV, поставив оценки и нечеткоинтервальный d в формулу (2.13) расчета чистой текущей стоимости:

NPV1 = {2,85; 4,7; 6,45; 7,67};

NPV2 = {3,01; 4,82; 6,55; 7,74}.

Далее находим средневзвешенное значение NPV с использованием в качестве весов значений µNVPi, заданных в исходной таблице, по формуле.

(2.20).

Для данного примера получим: по формуле (2.18) значение NPV = 6,6976, по формуле (2.19) — 6,7877. Поскольку вариант использования формулы (2.19) учитывает как внутренние риски проекта, так и внешние, характеризуемые изменчивостью ставки дисконтирования d, оценщику следует рекомендовать его инвестору как оптимальный.

Итак, на рис. 2.26 представлен интервал, рассчитанный для оптимальных значений потоков платежей, в сопоставлении с исходным интервалом, полученным прямым расчетом по исходным нечетким интервалам Pt и KVt, без использования оптимизации.

Видно, что оптимизация позволила достигнуть поставленных целей: налицо существенный рост прогнозируемых значений NPV и значительное сужение интервала, что свидетельствует о снижении финансового риска.

Рис. 2.26. Сравнение базового нечеткого интервала NPV с оптимальным интервалом.

Таким образом, инвестор получает оптимальные неинтервальные значения потоков платежей на всех этапах проекта:

а также вполне определенное NPV0 = 6,7877, причем все эти значения учитывают как неопределенность, вносимую экспертами при прогнозе денежных потоков, так и неопределенность внешней по отношению к задаче ставки дисконта и представляют собой своего рода компромисс между стремлением к максимизации прибыли, с одной стороны, и уменьшением существующих неопределенностей — с другой.

Полученные четкие оптимальные значения и могут служить ориентирами, к которым нужно стремиться как на стадии планирования проекта, так и при его реализации.

Использование метода нечетких множеств дает ряд преимуществ, так как позволяет:

• • включать в анализ качественные переменные;
• • оперировать нечеткими входными данными;
• • оперировать лингвистическими критериями;
• • быстро моделировать сложные динамические системы и сравнивать их с заданной степенью точности;
• • преодолевать недостатки и ограничения существующих методов оценки проектных рисков.

Недостатки метода:

• • существует субъективность в выборе функций принадлежности и формировании правил нечеткого ввода;
• • отсутствие информированности о методе, а также незначительное внимание к применению метода профессиональными финансовыми учреждениями;
• • необходимость специального программного обеспечения, а также специалистов, умеющих с ним работать.

Несмотря на недостатки и ограничения теории, метод нечетких множеств получил признание как перспективный и дающий точные результаты рядом крупнейших международных компаний (Motorola, General Electric, Otis Elevator, Pacific Gas & Electric, Ford). Для России, а также развивающихся рынков, использование метода нечеткой логики особенно перспективно. Анализ рисков на основе статистических методов для большей части недавно образовавшихся компаний неприменим, так как нет накопленной статистической информации для получения объективных оценок.

Таким образом, метод нечетких множеств не исключает применения статистических методов, он используется, когда другие подходы к оценке риска неприменимы.

Характерные приложения теории нечетких множеств к финансовому менеджменту следующие.

• 1. Анализ риска банкротства предприятия.
• 2. Оценка риска инвестиционного проекта.
• 3. Построение оптимального портфеля ценных бумаг и бизнесов.
• 4. Оценка справедливой стоимости объектов (в том числе объектов недвижимости).
• 5. Оценка инвестиционной привлекательности акций и облигаций.
• 6. Анализ необходимости и обоснованности I?-решений.