Коэффициент демпфирования колебаний и границы фильтра

В методе неравномерного сглаживания важную роль играют два коэффициента: коэффициент демпфирования колебаний у и коэффициент ?, задающий границы фильтра. Очевидно, что методов их задания можно предложить очень много и в зависимости от используемого метода точность прогнозов будет меняться. В этом параграфе мы обсудим самые простые из них.

Методы задания границ фильтра

Для начала мы предлагаем выделить следующие методы задания ?:

• 1.? можно задать на основе экспертного мнения. Данный вариант не очень хорош, так как обоснован лишь мнением исследователя относительно того, что отсеивать, а к чему адаптироваться. В некоторых случаях, если исследователь хочет включить в интервал какие-то конкретные значения, он может внести правки в значение ?, по полагаться целиком и полностью на экспертное мнение ие стоит.
• 2.? можно задать на основе статистик по остаткам регрессионной модели, построенной по тому же ряду данных.

Здесь возможны различные варианты реализации. Например, можно построить регрессию по всему ряду данных и получить распределение остатков, которое затем потребует изучения. Кроме того, учитывая эволюционность ряда, можно построить регрессию по какой-нибудь первой его части и опять же изучить распределение остатков. Второй вариант, однако, менее предпочтителен из-за слабой формализуемости — в нем остается неясным число наблюдений, требуемое для включения при построении регрессии.

Здесь и далее мы будем основывать вычисления на первоначальной оценке модели МПК по всему ряду данных.

Среди статистик, которые можно использовать для фильтра, выделим следующие:

а) средняя абсолютная ошибка:

(11.38).

где ?t — ошибка на наблюдении t в модели регрессии, оцененной МНК по всему ряду.

Ранее мы уже использовали этот показатель для задания ?. Средняя абсолютная ошибка в регрессии обычно меньше СКО ошибок, что приводит к более частой адаптации модели. В некоторых случаях это хорошо, так как позволяет более часто учесть возможные изменения в связях;

б) среднеквадратическое отклонение ошибки:

Установление такой меры фактически означает задание таких интервалов, в которых в случае с нормально распределенной случайной величиной лежало бы не более 68,2% всех ошибок модели. Если распределение несимметрично, процент включенных наблюдений может быть меньше, что будет приводить к более частой адаптации модели.

С использованием СКО можно предложить и другой вариант задания границ;

в) границы на основе t-статистики:

В таком случае исследователь будет определять процент ошибок (считающихся случайными), который надо включить в интервал. Это позволяет более гибко варьировать ширину интервала. Эмпирическое правило здесь заключается в следующем. Если исследователь предполагает, что в ряде данных не происходит сильных изменений в связях, то можно установить более широкий интервал (например, с? = 0,1). Если же есть основания предполагать, что зависимости между результатом и факторами могут меняться более хаотично, то стоит установить более узкий интервал (например, с? = 0,25). Правда, при малых значениях остаточной вероятности полученный интервал будет включать все ошибки и модель не будет адаптироваться. При этом метод (11.40) будет иметь смысл лишь при нормальном распределении оцененных ошибок. Кроме того, на СКО будут оказывать значительное влияние «выбросы» в остатках (в нашем слу.

(11.39).

(11.40).

чае это будут отклонения, выходящие за определенные нами рамки, но тем не менее имеющие случайный характер). Если в распределении имеются «выбросы», то в качестве робастной оценки СКО можно использовать медианное абсолютное отклонение — MeAD;

г) медианное абсолютное отклонение:

(11−41).

где

Значение MeAD меньше СКО и обычно ниже МАЕ, поэтому при задании границ с использованием (11.41) модель будет адаптироваться к ошибкам чаще, чем при других статистиках.

Как мы помним из параграфа 5.1, в случае с нормальным распределением остатков выполняется равенство.

(11.42).

В таком случае, используя (11.42), можно прийти к робастной оценке СКО и использовать ее далее в формуле (11.40).

Впрочем, в случае ненормально распределенных остатков эта оценка может быть заниженной по сравнению с оценкой СКО (11.39);

д) доля от максимальной абсолютной ошибки:

(11.43).

где? — коэффициент фильтрации — устанавливаемая прогнозистом величина, по смыслу близкая к постоянной сглаживания в модели Брауна. В случае, если? = 0, в границы войдут все ошибки и модель адаптироваться не будет. Если? = 1, в границы не войдет ни одна ошибка, а значит, модель будет адаптироваться ко всем ошибкам подряд. Выбор? осуществляется самим исследователем, что усложняет оценку интервала, но при этом данный вариант задания границ никак не завязан на симметричность распределения остатков.

Конечно же, существует множество других статистик, с помощью которых можно задавать границы фильтра. Мы не ставим перед собой задачу описать их все, а лишь рассказываем о самых простых и эффективных. Заметим, что в случае наличия систематических ошибок при оценке исходного ряда данных остатки модели будут излишне завышенными, а значит, и любые статистики, рассчитанные по ним, будут велики. Это, в конце концов, будет приводить к тому, что модель будет адаптироваться значительно реже, чем следовало бы с учетом этих систематических ошибок. Поэтому можно предложить и другой метод задания границ фильтра.

3.? можно подобрать автоматически.

В данном случае в качестве критерия выбора можно использовать, например, минимум RSS, а подбирать границы можно, либо непосредственно изменяя ?, либо изменяя? в формуле (11.43). Последнее удобнее, так как легче воспринимается, поэтому далее при автоматическом подборе границ фильтра мы будем обращаться к величине коэффициента фильтрации.

Очевидно, что при подборе нужно ставить ограничение на ?, которая должна быть неотрицательна, что достигается за счет? < 1. Учитывая, что при? = 0 адаптации уже не происходит, можно ограничить этот коэффициент пределами от 0 до 1.

При использовании такого метода задания границ фильтра мы, однако, можем столкнуться с проблемой большого числа локальных минимумов, из-за которых будет невозможно найти оптимальное значение коэффициента фильтрации ?.

Рассмотрим различные методы задания границ фильтра на примере модели линейного тренда, построенной по данным ряда № 25 из базы рядов М3 — Competition. Последние шесть значений из ряда данных мы возьмем для проверки точности модели и исключим при построении прогнозов.

По этому ряду были построены модели, в которых коэффициент демпфирования колебаний задавайся по формуле (11.16).

В результате расчетов были получены значения, сведенные в табл. 11.5.

Таблица 11.5

Результаты адаптации модели линейного тренда методом неравномерного сглаживания при разных значениях границ фильтра

По данным таблицы видно, что для этого ряда наиболее точным получается прогноз при использовании как можно более узких границ (что было достигнуто за счет установления границ с? = 1 в шестом методе). Что характерно, за счет того, что в данном случае на периоде ретропрогноза тенденции, наметившиеся ранее, сохранились, видна закономерность: чем ниже sMAPE по ряду, тем меньше sMAPE по прогнозу.

Графически аппроксимация ряда данных разными методами и прогнозы представлены на рис. 11.6. Графики пронумерованы в соответствии с номерами методов в табл. 11.5.

По рисунку видно, что чем у? же оказываются границы, тем сильнее модель адаптируется к последнему скачку, произошедшему в 1988 г. Более того, если попытаться подобрать такое значение? без ограничений, которое гарантировало бы минимум ошибки аппроксимации ряда, это значение оказывается равным 1,23. С точки зрения задания ширины интервала, это нс имеет никакого смысла, так как? оказывается в таком случае отрицательной. Однако вызвано это тем, что мы задавали коэффициент демпфирования колебаний по формуле (11.16). В результате этого? < 0 приводит к более сильной адаптации модели, чего ей в случае с данным рядом как раз и не хватает.

Итак, для каждого ряда данных должна быть выбрана своя оптимальная ширина фильтра. В каких-то случаях эту ширину можно задать одной из статистик, но в общем случае она требует отдельного подбора со стороны прогнозиста.

Рис. 11.6. Адаптация модели линейного тренда по ряду № 25 и прогнозы по ней с использованием разных методов задания границ.