Математический структурализм. 
Философия науки

В 1948 г. вышла программная статья «Архитектура математики», подписанная именем Н. Бурбаки. За этим псевдонимом скрывалась группа молодых французских математиков, выпускников парижской Ecole Normale.

Superieure, — А. Картан, К. Шевалле, Ж. Дельсарт, Ж. Дьёдонне, А. Вейль и др. Группа возникла еще в 1935 г. Ее участники были недовольны преподаванием математики во Франции, которое не соответствовало современному представлению об этой науке, сформированному Д. Гильбертом и его учениками, и в особенности связанному с алгебраической школой Геттингена (Э. Нетер и ее ученики Э. Артин и Б. Л. ван дер Варден). Названные французские математики объединились для осуществления амбициозного замысла — создания современного аналога «Начал» Евклида — многотомного трактата «Начала математики». Этот трактат должен был строиться на основе аксиоматической теории множеств и на максимальном уровне абстракции представлять основные разделы чистой математики в их взаимосвязи.

Краткое введение к первой книге трактата не оставляет сомнений, что ее авторы — наследники формализма Гильберта в понимании математики [5, с. 23−30]. Однако в отличие от Гильберта группа Бурбаки не ставила себе целью обоснование математики. Их уже не смущали парадоксы наивной теории множеств, ведь в аксиоматической теории множеств они преодолены. Не смущало их и то, что не удается убедительным образом доказать непротиворечивость аксиоматической теории множеств. Если в ней обнаружатся новые парадоксы — они также будут устранены в свой черед на пути дальнейшего уточнения ее формализма. «Итак, — заключали они, — мы верим, что математике суждено выжить и что никогда не произойдет крушения главных частей этого величественного здания вследствие внезапного выявления противоречия; но мы не утверждаем, что это мнение основано на чем-либо, кроме опыта. Этого мало, скажут некоторые. Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в грядущее спокойно» [5, с. 30].

Бурбаки — сторонники формализованной математики, но без фундаментализма. Свой формализм они с готовностью ограничивают «здравым смыслом математика». Они чувствительны к истории (не случайно многие тома трактата содержат исторические очерки [4]) и не претендуют «давать законы на вечные времена». Они имеют, правда, претензию на «полную строгость», но ее не следует понимать в абсолютном смысле. Как разъясняют авторы: «Благодаря тому, что мы постоянно стараемся держаться настолько близко к формализованному тексту, насколько это представляется возможным без невыносимых длиннот, проверка в принципе легка; ошибки (неизбежные при подобном предприятии) можно обнаружить без больших затрат времени, и риск, что они сделают недействительными главу или целую Книгу Трактата, остается весьма незначительным» [5, с. 28].

Аксиоматический метод для них не столько связан с обоснованием математики, сколько служит важнейшим инструментом математического творчества и, одновременно, средством порождения и поддержания единства современной математики. Они определяли аксиоматический метод как «искусство составлять тексты, формализация которых легко достижима», и видели в его «систематическом употреблении в качестве инструмента открытий» одну из отличительных черт современной математики.

Формализация и аксиоматизация усиливают и поддерживают математическую интуицию, а вовсе не противостоят ей, как может показаться на первый взгляд [5, с. 24].

Тема единства современной математики — центральная в статье-манифесте Бурбаки «Архитектура математики» [4, с. 245−259]. Вопреки видимому «смешению языков», которое превращает современную математику в Вавилонское столпотворение, аксиоматический метод служит инструментом, способным вскрыть лежащие на глубине единство и взаимосвязь бесчисленных теорий многоликой математики XX в.

Ключевым термином, позволяющим внятно говорить об этом единстве, служит им словосочетание " математические структуры" . Выделение конкретной структуры требует абстрагироваться от природы находящихся в заданном отношении элементов. Наиболее эффективный способ сделать это — построить аксиоматическую теорию данной структуры, т. е. явно прописать в виде конкретных аксиом нужные нам отношения элементов, исключив, тем самым, из рассмотрения все несущественное. В результате такого подхода «единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры» [4, с. 251].

Математический мир в целом Бурбаки представляют как иерархию структур, которая идет от простого к сложному и от общего к частному. В центре его располагаются наиболее простые и универсальные порождающие структуры. Среди них Бурбаки выделяют три типа, в зависимости от базового отношения, конституирующего ту или иную структуру — алгебраические структуры, структуры порядка и топологические структуры. В случае алгебраических структур это бинарное отношение типа сложения или умножения, ставящее двум элементам в соответствие третий; в случае структур порядка — отношение порядка, например «меньше или равно»; в случае топологических структур — это формализация интуитивного представления о непрерывности перехода от одного элемента множества к другому (отношение непрерывности), которое достигается, например, с помощью введения в данном множестве системы подмножеств, удовлетворяющих нескольким специальным аксиомам и называемых «открытыми» (их дополнения называются «замкнутыми»). Вводя дополнительные аксиомы, мы можем получать более сложные и богатые структуры из более простых.

За пределами заданного порождающими структурами «ядра» располагаются структуры сложные. Мы получаем их путем комбинирования порождающих структур с помощью введения связывающих аксиом. Например, группа или абелева группа — порождающие алгебраические структуры, а вот кольцо или поле — комбинированные сложные структуры. Так, кольцо предполагает наличие двух бинарных операций, относительно одной из которых оно является абелевой группой, причем две эти операции связаны между собой законами дистрибутивности. Другой пример сложной структуры — векторное (линейное) пространство. В этом случае вводится связующая операция умножения векторов на скаляры и регламентирующие ее применение аксиомы. Еще один пример — топологическая группа, когда на одном множестве вводятся структуры группы и топологического пространства, которые связываются между собой требованием непрерывности групповых операций.

Наконец, на третьем уровне мы встречаем частные теории, которые уже придают элементам рассматриваемых множеств «более определенную индивидуальность». Именно здесь мы находим более привычные разделы классической математики — действительный и комплексный анализ, различные разделы геометрии, теорию чисел. Однако, пишут Бурбаки, «они теряют свою былую автономность и являются теперь перекрестками, на которых сталкиваются и взаимодействуют многочисленные математические структуры, имеющие более общий характер» [4, с. 256].

Правда, Бурбаки сразу оговариваются, что нарисованная ими картина математики есть лишь «весьма грубое приближение к истинному положению дел». Она является схематической, поскольку в реальности описанная иерархия может нарушаться и спутываться, идеализированной, поскольку по-прежнему остаются изолированные результаты, которые не ясно как вписать в общую картину, и застывшей, поскольку не учитывает постоянного изменения и перестройки всего здания, которое может затрагивать даже порождающие структуры.

В заключение они предлагают суммирующую архитектурную метафору, сравнивая математический мир с большим городом, «чьи предместья не перестают разрастаться несколько хаотическим образом на окружающем его пространстве, в то время как центр периодически перестраивается, следуя каждый раз все более и более ясному плану и стремясь к все более и более величественному расположению, в то время как старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие, все более удобные» [4, с. 257].

Односторонность подхода Бурбаки часто видят в игнорировании ими сферы прикладной математики, отсутствии в их трактовке математики учета взаимоотношений математики с физикой и другими естественными науками. Однако здесь мы имеем дело не с недосмотром, а скорее с сознательным стремлением отстоять права чистой математики в современном мире, заинтересованном в основном в ее приложениях. Сверх того, по мысли Бурбаки, только позволив математике свободно развиваться как чистой математике, без оглядки на приложения, мы сможем обрести в ней в будущем мощное орудие для самых различных приложений, которые мы пока даже не можем предугадать!

Но способна ли чистая математика к автономному развитию? Бурбаки убеждены, что да. В докладе 1964 г. «Современное развитие математики» Ж. Дьёдонне говорил об этом так: «Даже если бы математика насильно была отрезана от всех прочих каналов человеческой деятельности, в ней хватило бы на столетия пищи для размышления над большими проблемами, которые мы должны еще решить в нашей собственной науке» [17].

Важным событием для дальнейшего развития математического структурализма стало создание теории категорий (1942−1945) [28; 47]. На следующем шаге (около 1964 г.) была создана теория топосов (особого типа категорий), а к началу 1970;х — элементарная теория топосов [15]. Как отмечал Ю. И. Манин в середине 1980;х гг., «категорное мышление как альтернатива теоретико-множественному мышлению все в большей степени становится распространенным среди профессиональных математиков» [16, с. 6]. В настоящее время ряд философов математики также обсуждает возможности подобной альтернативы^[1]. По замечанию К. Макларти, структурализм, основанный на теориях категорий и топосов, — это особая разновидность математического структурализма, отличная от бурбакистской [75].

Третьей разновидностью согласно К. Макларти является математический структурализм как весьма популярная позиция в американской философии математики. Расцвет ее пришелся на 1980−1990;е гг., и он связан, в первую очередь, с именами Д. Хеллмэна, М. Резника и С. Шапиро как главных его теоретиков. Говоря об этой третьей разновидности, важно отличать применяемую математиками структуралистскую методологию от споров вокруг семантических и метафизических вопросов, которые в связи с этой методологией ведут философы, стремясь вскрыть ее неявные предпосылки [80, с. 345−347]. Кроме того, удобно отличать собственно структуры от реляционных систем (relational systems), т. е. конкретных областей объектов, с определенными на них функциями и отношениями, которые удовлетворяют заданному набору аксиом. Структура понимается при этом как-то общее, что разделяют все системы определенного типа.

Согласно одному из подходов математические утверждения интерпретируются в терминах модальной логики. Этот подход, намеченный X. Патнэмом [77, с. 47−49] и подробно разработанный Джеффри Хеллмэном [66; 67], получил название модального структурализма.

Другая разновидность структурализма — паттерн-структурализм [80, с. 363]. Для этого подхода структуры-универсалии или паттерны (если использовать предпочитаемый М. Резником термин) представляют собой особый вид абстрактных объектов, который и является подлинным предметом математики. Структура познается через абстрагирование или распознавание паттерна. Паттерны могут иметь и обычно имеют много различных инстантиаций (экземплификаций). Паттерн отличается как от всех реляционных систем, так и от всех прочих типов объектов. Он имеет особую внутреннюю композицию, состоя из связанных между собой определенным образом «позиций» (positions, points, nodes). Идентичность и природа этих позиций в паттерне определяются исключительно их принадлежностью паттерну и ничем другим. Именно природа и идентичность этих позиций в паттерне являются главным предметом обсуждения и исследования в паттерн-структурализме.

Главными сторонниками этой версии структурализма являются М. Резник и С. Шапиро. Развив этот подход в статьях 1980;х гг. (первая статья Резника на эту тему вышла еще в 1975 г.), они дали наиболее полное его изложение в монографиях «Математика как наука о паттернах» (1997) [81] и «Философия математики: структура и онтология» (1997) [86].

Для сторонников паттерн-структурализма математические объекты — эго объекты в расширенном понимании, особые, пусть и «неполные», но все же подлинные объекты (bona fide objects). Они онтологически вторичны по отношению к структуре-как-целому. Математические объекты — не более чем места в определенных структурах. Шапиро предлагает говорить о двух сосуществующих и взаимодополняющих способах понимания таких «мест», как ролей или позиций в структуре (places-are-ojfices perspective) и как собственно объектов (places-are-оbjects perspective) [85].

Примеры для первого способа Шапиро приводит следующие: нынешний вице-президент раньше был сенатором (используемая структура — правительство США); шахматный слон, стоящий со стороны белого короля, в прошлой партии был слоном, стоящим со стороны белой королевы; в арабской системе записи чисел символ «2» играет роль двойки, в то время как в римской системе ту же роль играет последовательность символов «II» .

В этой перспективе предполагается наличие некоторой базовой онтологии, поставляющей объекты для заполнения мест в соответствующих структурах. Например, для политических систем — это люди, удовлетворяющие особым критериям (возраст, гражданство, надлежащая процедура избрания и т. п.); в случае игры в шахматы — это небольшие, легко переставляемые объекты соответствующего цвета и формы.

Для второго способа (перспективы) примеры будут такие: «вице-президент председательствует в сенате»; «слон, стоящий на черной клетке, не может пойти на белую клетку». В этих примерах имеются в виду не конкретные вице-президент или шахматная фигура, но соответствующие роли, т. е. речь идет о самой структуре независимо от ее экземплификаций.

С точки зрения Шапиро, типичные утверждения чистой математики делаются именно из второй перспективы. Например, когда мы говорим: «существует бесконечно много простых чисел». Здесь мы предполагаем структуру натуральных чисел существующей и поэтому говорим о местах в ней непосредственно, напрямую. Однако различие между позицией (office) и тем, кто ее занимает (office-holder), в математике относительно. В качестве базовой онтологии здесь могут выступать места в других структурах или даже той же самой структуре. Например, четные натуральные числа экземплифицируют структуру натуральных чисел.

Кроме того, если для сторонника модального структурализма речь о структурах есть не более чем удобный способ говорить о реляционных системах, которые структурированы соответствующим образом, то для Шапиро структуры (= паттерны) существуют первично и независимо от своих инстантиаций. Вот почему Шапиро называет собственную позицию " ante rem структурализмом", используя терминологию средневекового спора по проблеме универсалий и подчеркивая свою приверженность реализму (платонизму)^[2].

Споры вокруг математического структурализма продолжаются, и он остается одним из заметных направлений в современной мозаике философско-математических подходов. Говорить о завершенной картине здесь, по-видимому, еще рано. Перечислим несколько открытых вопросов, которые стоят перед структуралистской философией математики.

• 1. Способен ли математический структурализм дать полноценное описание математических объектов, которое не требовало бы дополнения независимыми от него философскими построениями?
• 2. Не является ли математический структурализм адекватным лишь для отдельных областей математики (в первую очередь — алгебры), но не для всей математики?
• 3. Насколько математический структурализм способен дать адекватное описание математики на протяжении всей ее истории? Не описывает ли он лишь математику узкого временно? го периода — конца XIX—XX вв. Применим ли он, например, к античной математике?

• [1] См. статью С. Аводи на эту тему и спровоцированную ею полемику о роли теории категорий на страницах журнала Philosophia Mathematica [48; 65; 46; 82]. Об отношении теории категорий к основаниям физики см. работу [38].
• [2] Ante rem реализм утверждает существование универсалий «до вещей», т. е. онтологическую первичность универсалий по отношению к партикуляриям (единичным чувственно воспринимаемым вещам). Его отличают от in re реализма, для которого универсалии существуют лишь «в вещах», т. е. вторичны по отношению к партикуляриям. В Средние века первый взгляд связывали с именем Платона (крайний реализм), а второй — с именем Аристотеля (умеренный реализм).