Измерение риска портфеля

Риск портфеля оценивается с помощью дисперсии его доходности ?2портф, которая зависит не только от дисперсий входящих в портфель акций, но также и от риска взаимного влияния акций портфеля друг на друга. Иными словами, риск портфеля объясняется не только индивидуальным риском каждой отдельно взятой акции портфеля, но и тем, что существует риск воздействия изменений наблюдаемых ежегодных доходностей акций фирмы А на изменения доходностей акций фирм В и С.

В статистике меру взаимозависимости двух случайных величин измеряют с помощью ковариации и коэффициента корреляции. При оценке взаимовлияния акций портфеля друг на друга учитываются только парные ковариации акций. Если оценивается ковариация доходностей акций i и j портфеля за прошедшие периоды (например, как в нашем случае, за 10 шагов расчета), то ковариация подсчитывается по формуле.

(3.4).

где ?i, j — ковариация между доходностями ценной бумаги i и ценной бумаги j; ri, j и rj, t — наблюдаемые доходности ценных бумаг i и j в момент времени t; ?(ri) и ?(rj) — ожидаемые доходности ценных бумаг; N — общее количество шагов наблюдений.

Высчитаем ковариации между доходностями акций фирм А, В и С:

Аналогичные вычисления дают: ?A, C= -0,006; ?B, C= +0,006.

Приведенные цифры показывают, что доходности фирм А и В имеют тенденцию изменяться в противоположных направлениях. Аналогично отрицательная величина ковариации? A, C = -0,006 свидетельствует о тенденции доходностей акций фирм А и С изменяться в противоположных направлениях. Наконец, ?B, C= +0,006 свидетельствует об изменении доходностей фирм В и С в одном направлении.

Часто при определении степени взаимосвязи двух случайных величин используют относительную величину — коэффициент корреляции? i, j,.

(3.5).

Значит, коэффициент корреляции между доходностями ценных бумаг i и j равен отношению ковариации этих доходностей к произведению их стандартных отклонений. Значения? i, j изменяются в пределах: и не зависят от способов подсчета величин? i, j и? i, ?j. Что позволяет более точно оценивать степень взаимосвязи доходностей двух ценных бумаг: если? i, j > 0, то доходности ценных бумаг i и j имеют тенденцию изменяться в одних и тех же направлениях. Чем ближе значения? i, j к величине +1, тем сильнее эта взаимосвязь. Когда? i, j = +1, то считается, что ценные бумаги i и j имеют абсолютную положительную корреляцию.

В этом случае значения доходностей и связаны положительной линейной зависимостью, т. е. любым изменениям всегда соответствуют пропорциональные изменения в тех же направлениях.

Если значения отрицательны, то и имеют тенденцию изменяться в разных направлениях. Чем ближе в этом случае к величине (-1), тем выше степень отрицательной взаимосвязи. При наблюдается абсолютная отрицательная корреляция, когда величины и связаны отрицательной линейной зависимостью. Когда , то отсутствует какая-либо корреляционная взаимосвязь между доходностями двух ценных бумаг.

Пусть в исследуемый портфель входит п ценных бумаг; тогда дисперсию портфеля необходимо вычислять по формуле (3.2):

где rпортф, t — наблюдаемые фактические доходности портфеля за шаги расчета; E(rпортф) — ожидаемая доходность портфеля.

Предположим сначала, что в портфель входят только две ценные бумаги с дисперсиями и , ковариацией , на приобретение которых инвестор тратит доли W1 и W2 от своего первоначального капитала. Если провести соответствующие вычисления, то можно доказать, что дисперсия такого портфеля.

Для портфеля, состоящего из трех ценных бумаг с дисперсиями , , и ковариациями , и , дисперсия.

В общем виде дисперсия портфеля, состоящего из п ценных бумаг, выражается следующей формулой:

(3.6).

Если вспомнить, что коэффициент корреляции .

то эту формулу можно представить в виде.

(3.7).

Допущение 5. В своих теоретических исследованиях Г. Марковиц полагал, что значения доходности акций портфеля являются случайными величинами, распределенными по нормальному (гауссовскому) закону. Инвестор формирует свой портфель, оценивая лишь два показателя: ?(ri) — ожидаемую доходность и? — стандартное отклонение как меру риска, поскольку только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении.