Степенная или логарифмическая зависимость?

Сравнение коэффициентов корреляции Еще в XIX в. немецкий философ, один из основоположников научной психологии Г.-Т. Фехнер выдвинул психофизический закон, описывающий зависимость ощущений от величины физической стимуляции. Этот закон, получивший название закона Вебера — Фехнера, предполагал логарифмическую зависимость между энергией стимула, воздействующего на орган чувств, и величиной ощущения, которое этот стимул вызывает. В XX в. американский психофизик С. С. Стивенс подверг критике методологию Фехнера, не предполагавшую возможности непосредственной оценки ощущения. Результатом этой критики стала разработка С. С. Стивенсом ряда методических процедур, которые получили название методов прямой оценки ощущений. На основе получаемых в эксперименте данных стало возможным оценивать связь между величиной стимула и величиной ощущения не только в теории, но и на практике. В результате Стивенс сделал вывод о том, что психофизическая зависимость должна описываться но логарифмической, а степенной функцией.

Посмотрим, каким образом методология Стивенса и простейшие процедуры корреляционного анализа позволяют сравнить данные на предмет их соответствия логарифмическому и степенному психофизическому закону.

Для этого воспользуемся результатами, полученными в одном психофизическом эксперименте (Т. Engen [22]). В этом эксперименте для оценки концентраций запаха амилацетата (банана), разведенного в диэтилфталате, использовался метод оценки величины с заданным модулем. Каждый из 12 испытуемых дважды проводил оценку семи различных концентраций запаха. В качестве модуля использовалась концентрация 12,5%. Значение модуля задавалось равным 10. В табл. 7.10 представлены усредненные шкальные значения для каждого стимула.

Представим эти результаты в виде диаграммы рассеивания (рис. 7.7). Видно, что по мере нарастания концентрации пахучего вещества увеличивается субъективная оценка его ощущения. Эта зависимость носит монотонный, но, по-видимому, нелинейный характер. Тем не менее вычисление коэффициента корреляции между этими двумя рядами данных дает довольно высокое значение — 0,984. Такой коэффициент корреляции дает объяснение 96,8% дисперсии зависимой переменной (критерия), непосредственно ассоциированной со значением независимой переменной (предиктора), хотя и не имеет под собой каких-либо теоретических оснований.

Таблица 7.10

Субъективная шкала запаха амилацетата, разведенного в диатилфталате (Т. Engen [22]).

Рис. 7.7. Зависимость ощущения запаха от концентрации амилацетата.

Логарифмический закон Вебера — Фехнера предполагает, что линейная зависимость будет наблюдаться между логарифмами концентрации амилацетата и субъективной оценкой ощущения.

Такая зависимость представляется весьма вероятной, если судить по данным, которые представлены на рис. 7.7. Поэтому осуществим трансформацию использовавшихся в эксперименте концентраций в их натуральные логарифмы и снова построим диаграмму рассеивания. На рис. 7.8 отражена зависимость субъективной оценки запаха теперь уже от величины логарифма концентрации амилацетата. Но снова, как кажется, мы не наблюдаем линейной зависимости. На этот раз коэффициент корреляции между логарифмом концентрации пахучего вещества и субъективной оценкой его запаха оказался даже ниже того, что мы отмечали для первоначальных данных, хотя все еще и довольной высокий — 0,948. В этом случае только 89,8% дисперсии критерия непосредственно оказываются связанными с дисперсией предиктора. Таким образом предсказания закона Вебера — Фехнера применительно к нашим данным выглядят не слишком убедительно.

Рис. 7.8. Зависимость субъективной оценки запаха от логарифма концентрации амилацетата.

Степенной психофизический закон Стивенса устанавливает линейную зависимость между логарифмами стимуляции и величины ощущения. Рисунок 7.9 свидетельствует о том, что такое предсказание оказывается довольно точным. Все точки диаграммы рассеивания идеально выстраиваются вдоль одной линии. Коэффициент корреляции между этими рядами данных составляет 0,999. Это значит, что такая регрессионная модель описывает 99,8% дисперсии зависимой переменной, которая может быть связана с дисперсией независимой переменной.

Рис. 7.9. Зависимость логарифма субъективной оценки запаха от логарифма концентрации амилацетата.

Таким образом, наглядное сравнение рис. 7.7−7.9, а также вычисленные коэффициенты корреляции, как кажется, однозначно свидетельствуют в пользу степенного закона Стивенса. Тем не менее попытаемся оценить, насколько велика статистическая разница между этими тремя коэффициентами корреляции.

Прежде всего осуществим логарифмическую трансформацию вычисленных нами коэффициентов корреляции, воспользовавшись нелинейным преобразованием Фишера:

Для упрощения расчетов можно воспользоваться соответствующей функцией Microsoft Excel — ФИШЕР. В качестве аргумента она принимает значение соответствующего коэффициента корреляции.

Результаты таких преобразований дают нам следующие значения z':

• 1. Для связи концентраций амилацетата и оценки запахов z' = 2,41.
• 2. Для связи логарифма концентраций и оценки запахов z' = 1,81.
• 3. Для связи логарифма концентраций и логарифма субъективных оценок z' = 3,89.

Теперь мы можем выдвинуть три статистические гипотезы о попарном равенстве этих коэффициентов корреляции в генеральной совокупности. Для оценки статистической надежности этих гипотез необходимо построить три статистики z:

Здесь п и т соответствуют размерам выборок. В нашем случае и то и другое значение равно семи, так как используются одни и тс же данные.

В результате получаем, что статистика z для случая сравнения коэффициента корреляции между первоначальными значениями концентрации пахучего вещества и субъективной оценкой запаха, с одной стороны, и коэффициента корреляции между результатами логарифмического преобразования стимульных значений и их ощущениями — с другой, оказывается равной 0,85, что соответствует закону Вебера — Фехнера. Оценить надежность этой статистики можно с помощью статистических таблиц (см. приложение 1). Оценка показывает, что такое значение ненадежно отличается от нулевого и, следовательно, необходимо сохранить выдвинутую нулевую гипотезу о равенстве этих коэффициентов корреляции.

Сравнение коэффициента корреляции, предполагающего логарифмическую трансформацию обеих переменных — закон Стивенса, с коэффициентами корреляции, предполагающими логарифмическую трансформацию только независимой переменной — закон Вебера — Фехнера и вообще не предполагающими такой трансформации, дает значения z-статистики соответственно 2,94 и 2,10. Оба этих значения свидетельствуют о надежном отличии статистики z от теоретически ожидаемой нулевой величины. Следовательно,.

необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве коэффициентов корреляции.

Таким образом, можно считать, что исследованные нами данные в наибольшей степени соответствуют предсказаниям степенного психофизического закона С. С. Стивенса.