Функции покупательского спроса

Функциями покупательского спроса (далее будем называть их просто функциями спроса) называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от комплекса факторов, влияющих на него. Такие функции применяются в аналитических моделях спроса и потребления и строятся на основе информации о структуре доходов населения, ценах на товары, составе семей и других факторах. Рассмотрим построение функций спроса в зависимости от двух факторов — дохода и цен.

Пусть в модели (8.1) цены и доход рассматриваются как меняющиеся параметры. Переменную дохода будем обозначать Z. Тогда решением оптимизационной задачи (8.1) будет векторная функция , компонентами которой являются функции спроса на определенный товар от цен и дохода:

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход. Для двух товаров этот случай представлен на рис. 8.3. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара , которое можно приобрести на имеющийся доход Z (точка В), а по оси ординат — то же самое для товара (точка А), то прямая линия АВ, называемая бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия. Точками оптимума спроса потребите;

Рис. 8.3

лей для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки касания М1, М2, М3. При нулевом доходе спрос на оба товара нулевой. Кривая, соединяющая точки О, М1, М2, М3, является графическим отображением векторной функции спроса от дохода при заданном векторе цен.

Пример 8.1. Рассмотрим процесс аналитического построения функций спроса от дохода на основе модели (8.1) на конкретном условном примере. Пусть для двух товаров целевая функция потребления имеет вид ; вектор цен равен Р = (3; 6); величина дохода равна Z. Так как в данной случае предельные полезности имеют вид:

то необходимые условия оптимума (8.2) дают следующую систему уравнений (? — множитель Лагранжа):

После подстановки первого уравнения во второе получим . Выразив из третьего уравнения и подставив в последнее равенство, будем иметь , откуда можно получить, что . Подставив этот результат в третье уравнение, получим . Таким образом, для данного примера функции спроса на товары y1, и у2 от дохода Z имеют вид:

Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые называются кривыми Энгеля (по имени изучавшего их немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть различны. Если спрос на данный товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной, как в рассмотренном выше примере. Такой характер имеет, например, спрос на одежду, фрукты и др. Кривая Энгеля для этого случая представлена на рис. 8.4, а.

Рис. 8.4

Если по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля будет выпуклой (рис. 8.4, б). Так ведет себя спрос на предметы роскоши.

Если рост значений спроса, начиная с определенного момента, по мере насыщения спроса отстает от роста дохода, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 8.4, в). Например, такой характер имеет спрос на товары первой необходимости.

Тот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский экономист Л. Торнквист, который предложил специальные виды функции спроса (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второй необходимости, предметов роскоши.

Функция Торнквиста для товаров первой необходимости имеет вид.

и отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода постепенно замедляется и имеет предел (кривая спроса асимптотически приближается к прямой линии ); график функции является вогнутой кривой I па рис. 8.5.

Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимости выражается формулой.

Эта функция также имеет предел , но более высокого уровня; при этом спрос па эту группу товаров появляется лишь после того, как доход достигнет величины ; график функции — вогнутая кривая II на рис. 8.5.

Наконец, функция Торнквиста для предметов роскоши имеет вид.

Эта функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает только после того, как доход превысит величину b3 и далее быстро возрастает, так что график функции — выпуклая кривая III на рис. 8.5.

Кроме указанных функций, в аналитических моделях покупательского спроса используются также другие функции: степенные, S-образные и т. д.

Важную роль в анализе изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода показывает относительное изменение спроса при изменении дохода (при прочих не изменяющихся факторах). Вычисляется по формуле.

(8.3).

где:

- коэффициент эластичности для i-го товара (группы товаров) по доходу Z;

- спрос на этот товар, являющийся функцией дохода:

Например, если спрос на товар описывается функцией Торнквиста для товаров первой необходимости, то формула (8.3) даст следующее выражение для коэффициента эластичности спроса от дохода:

Во многих экономико-математических моделях эластичность функций относят к проценту прироста независимой переменной. Таким образом, коэффициент эластичности спроса от дохода показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении дохода на 1%.

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны по величине для разных товаров, вплоть до отрицательных значений, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода:

• — малоценные товары ();
• — товары с малой эластичностью ();
• — товары со средней эластичностью (???/близки к единице);
• — товары с высокой эластичностью ().

К малоценным товарам, т. е. товарам с отрицательной эластичностью спроса от дохода, относятся такие, как хлеб, низкосортные товары. По результатам обследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания находятся в интервале от 0,4 до 0,8, по одежде, тканям, обуви — в интервале от 1,1 до 1,3 и т. д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

Перейдем к рассмотрению и анализу функций покупательского спроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей (8.1) следует, что спрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары (вектора Р), однако построить функции общего вида очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются построением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров:

Рассмотрим вопросы построения и использования в задачах оптимизации функций покупательского спроса от цены при неизменном доходе для конкретной группы товаров более подробно. Основным критерием функционирования предприятий и фирм, производящих тот или иной товар, является прибыль. Сформулируем экономико-математическую модель на максимум прибыли при указанной форме зависимости спроса от цены. Конечную прибыль П можно представить в виде.

(8.4).

где - совокупные затраты на производство и реализацию продукции; при этом предполагается, что объем выпускаемой продукции целиком совпадает с объемом спроса у, т. е. отсутствуют дефицит и затоваривание продукции.

Если известен вид функции спроса от цены , то, подставив эту функцию в (8.4), получим:

(8.5).

Тогда оптимизационная задача ставится следующим образом: определить значение цены р = р0, при котором прибыль достигает своего максимума maxП (р). В такой постановке эта задача решается классическими методами оптимизации. Вид функций ?(?) и С (?((p), а также их параметры могут быть определены методами математической статистики и результате обработки соответствующих статистических данных.

Рассмотрим случай, когда функция издержек С(у) является линейной и имеет вид.

(8.6).

Здесь h есть постоянная величина затрат, не зависящая от объема выпуска спроса продукции, т. е. h — это накладные расходы; величина v задает удельные затраты на единицу продукции. Будем считать, что зависимость спроса от цены также является линейной:

(8.7).

где k характеризует максимально возможный объем спроса, а Е представляет собой некоторую условную эластичность спроса от цены; очевидно, что k > 0, а Е < 0.

Подставляя (8.6) и (8.7) в выражение для прибыли (8.5), будем иметь:

(8.8).

С учетом того что Е < 0, можно сделать вывод о том, что максимум прибыли достигается при.

(8.9).

и этот максимум равен.

(8.10).

График функции (8.8) представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. С учетом требования рентабельности выпуска продукции шах П (р) > 0 этот график представлен на рис. 8.6.

Условием того, что эта рентабельность может быть достигнута, является условие положительности дискриминанта квадратного трехчлена от р (8.8):

Рис. 8.6

Из этого неравенства следует, что.

вследствие чего условие рентабельности можно записать в виде.

(8.11).

С учетом (8.9) оптимальный объем выпуска продукции будет равен.

(8.12).

в соответствии с этим требование рентабельности (8.11) может быть записано в виде.

(8.13).

Как видно из графика функции П (р) на рис. 8.6, существуют две «мертвые точки» и , в которых прибыль равна нулю. Решение соответствующего уравнения дает для этих точек:

(8.14).

Таким образом, если установление оптимальной цепы затруднено, то цена в любом случае должна лежать в интервале (р1, р2), этим обеспечивается положительность величины прибыли от производства и реализации данного вида товара.

Пример 8.2. Рассмотрим числовой пример из области маркетинга книгоиздательства.

Пусть зависимость объема спроса на книжную продукцию от цены имеет вид (8.7), а функция издержек представлена в виде (8.6). Зададим следующие условные значения величин, участвующих в этих зависимостях:

• — накладные расходы на производство и реализацию книжной продукции h =36 тыс. руб.;
• — удельные затраты на единицу (один экземпляр) этой продукции V = 20 руб./экз.;
• — максимально возможный объем тиража k = 4000 экз.;
• — условная эластичность спроса от цены Е = -40 экз./руб.

Тогда требование к объему тиража для обеспечения рентабельности определяется условием (8.13):

Оптимальная цена задается формулой (8.9):

Наиболее оптимальный объем тиража, обеспечивающий максимум прибыли, в соответствии с формулой (8.12) равен.

Интервал для цены, в пределах которого обеспечивается рентабельность данного издания, определяется выражением (8.14):

Таким образом, цена должна лежать в пределах от 33,5 до 86,5 руб. за один экземпляр; оптимальная цена равна 60 руб./экз.

Максимум прибыли, достигаемый при этом, рассчитывается в соответствии с формулой (8.10) и равен.

Представление зависимости спроса от цены в виде линейной функции (8.7) является весьма упрощенным, так как показатель эластичности спроса от цены здесь принимается равным постоянной величине Е. Болес соответствует действительности предположение о зависимости коэффициента эластичности спроса от цены от величины самой цены. Проведенные конкретные исследования, учитывающие эту зависимость, позволяют с большой долей вероятности принять зависимость спроса у от цены р в виде одной из S-образных убывающих кривых, а именно в виде логистической кривой (функция Перла — Рида; см. параграф 5.1):

(8.15).

График этой функции представлен на рис. 8.7; он имеет точку симметрии, совпадающую с точкой перегиба функции (8.15).

Тогда, предполагая зависимость затрат от спроса С(у) по-прежнему линейной в виде функции (8.6), получим выражение для прибыли:

Рис. 8.7

(8.16).

Вычисляя производную этой функции по переменной р и приравнивая ее нулю, получим уравнение для нахождения критических точек:

Разделив обе части этого уравнения на , получим:

(8.17).

Уравнение (8.17) имеет единственный корень р0, так как кривые функций и имеют только одну точку пересечения (рис. 8.8). Трансцендентное уравнение (8.17) можно решить различными численными методами вычислительной математики. Решение этого уравнения можно оценить:

(8.18).

Легко показать, что вторая производная функции прибыли от цены (8.16) в точке отрицательна; отсюда.

Рис. 8.8

следует, что точка действительно является точкой максимума этой функции.

Из соотношения (8.18) можно получить интервал для оптимального объема выпуска товара:

(8.19).

Положительные значения параметров а и b логистической кривой (8.15), если значение асимптоты k известно, определяются путем предварительного преобразования и логарифмирования, после чего на основе метода наименьших квадратов составляется и решается система нормальных уравнений относительно логарифмов параметров, а затем находятся и сами параметры. Если значение величины k (максимум выпуска) неизвестно, то для нахождения параметров k, а и b кривой (8.15) применяют приближенные методы: метод трех точек, метод трех сумм и др. Исходные данные для проведения указанных выше расчетов формируются на основе статистических наблюдений за процессом производства и реализации товарной продукции.

Для большинства товаров действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь также возможны разные типы зависимости и, следовательно, разные формы кривых. В практических задачах изучения спроса важно различать действительное увеличение спроса, когда сама кривая сдвигается вверх и вправо (происходит переход с кривой I на кривую II на рис. 8.9), и увеличение объема приобретаемых товаров в результате снижения цен при неизменной сумме затрат (переход от точки А к точке В по одной и той же кривой I на рис. 8.9). Как уже отмечено выше, в общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит от уровня цен всех товаров. Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других связанных с ним товаров характеризует коэффициент эластичности спроса от цен. Этот коэффициент эластичности удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%.

Для спроса на i-й товар относительно его собственной цены коэффициент эластичности исчисляется по формуле.

(8.20).

Рис. 8.9

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товары могут существенно различаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:

— товары с неэластичным спросом в отношении цены.

• — товары со средней эластичностью спроса от цены ( близки к -1);
• — товар с высокой эластичностью спроса ().

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1% приводит к снижению спроса более чем на 1% и, наоборот, понижение цены на 1% приводит к росту покупок более чем на 1%. Если повышение цены на 1% влечет за собой понижение спроса менее чем на 1%, то говорят, что этот товар неэластичного спроса.

Рассмотрим влияние на спрос на какой-либо товар изменения цен на другие товары. Коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменится спрос на данный товар при изменении на 1% цены на другой товар при условии, что другие цены и доходы покупателей остаются прежними, называется перекрестным коэффициентом эластичности. Для спроса на i-й товар относительно цены на j-й товар () перекрестный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле.

(8.21).

По знаку перекрестных коэффициентов эластичности товары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодополняемые. Если , это означает, что i-й товар заменяет в потреблении товару, т. е. на товар i переключается спрос при увеличении цены на товар у. Примером взаимозаменяемых товаров могут служить многие продукты питания.

Если , это служит признаком того, что i-й товар в процессе потребления дополняет товару, т. е. увеличение цены на товару приводит к уменьшению спроса на товар i. В качестве примера можно привести такие взаимодополняемые товары, как автомобили и бензин.

В качестве иллюстрации в табл. 8.1 приведены значения прямых и перекрестных коэффициентов эластичности потребления от цен для одной из категорий семей. На основании этих данных по значениям прямых коэффициентов эластичности (по диагонали таблицы) можно сделать вывод, что продукты питания в целом мало эластичны по отношению к цене; одежда, ткани и обувь имеют среднюю эластичность; две последние группы товаров — товары с высокой эластичностью спроса по отношению к цене.

Таблица 8.1

Прямые и перекрестные коэффициенты эластичности

На основании значений внедиагональных элементов этой таблицы можно сделать вывод, что все промышленные товары (вторая, третья и четвертая группы) — взаимозаменяемы. То, что перекрестные коэффициенты эластичности по строке «Продукты питания» положительные, означает, что повышение цен на промышленные товары увеличивает спрос на продукты питания (уменьшение спроса на промышленные товары освободит средства для продуктов питания). Отрицательные значения перекрестных коэффициентов эластичности по столбцу (графе) «Продукты питания» означает, что при росте цен на продукты питания спрос на промышленные товары сокращается (повышение цен на продукты питания уменьшает размер средств на приобретение других товаров).