Экономико-математические методы в анализе

После изучения главы студент должен:

знать

• • предназначение основных направлений использования экономико-математических методов;
• • виды экономико-математических моделей;
• • основные этапы построения экономико-математических моделей;
• • порядок интерпретации основных видов экономико-математических моделей;

уметь

• использовать в анализе методы: линейного программирования, теории игр, массового обслуживания, управления запасами, сетевых графиков;

владеть

• • методиками построения экономико-математических моделей разного типа;
• • умением интерпретировать результаты моделирования при планировании и диагностике развития предприятия.

Ключевые слова: критерий оптимальности, система ограничений, алгоритм, этапы моделирования, стандартная и двойственная задача, транспортная задача, линейное программирование, игра, игроки, стратегия, седловая точка, цена игры, платежная матрица, минимакс, максимин, марковский процесс, матрица переходных вероятностей, граф переходных состояний, затраты на выполнение заказа, затраты на хранение единицы запаса, модель Уилсона, оптимальный размер заказа, минимальные совокупные затраты, сетевой график, работа, событие, критический путь, резервы работ (частный и общий), ранние и поздние сроки работ.

Экономико-математические методы и модели возникли на стыке экономики, математики и кибернетики. К экономическим задачам оптимизационного типа относятся задачи, в которых требуется найти наилучшее или оптимальное решение при заданных условиях производства. Особенностью задач оптимизационного типа является наличие многих вариантов решений.

При определении оптимальных параметров производства реализуется прием сравнения достигнутых показателей с экономической моделью предприятия. Прием позволяет оценить, насколько характеристики деятельности предприятия отличаются от оптимальных, и на этой основе принять решения по достижению более эффективных результатов.

При решении оптимизационных задач по разным аспектам хозяйственной деятельности используются методы математического программирования, теории исследования операций, сетевые графики. Рассмотрим области применения этих методов.

Линейное программирование

Линейное программирование представляет собой часть раздела математического программирования, занимающуюся разработкой теории и методов решения экстремальных задач, в которых целевая установка (критерий оптимальности) и условия (ограничения) выражаются линейными соотношениями. Другими словами, задачи линейного программирования предполагают выявление цели управления, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения. В экономическом анализе такими критериями могут быть: наибольшая прибыль, минимальные затраты на производство продукции, максимальная загрузка оборудования, производительность труда и др. В задачах линейного программирования такие критерии отражаются целевой функцией.

Область применения линейного программирования в анализе и управлении производством достаточно обширна. Наиболее содержательными являются следующие задачи:

• 1) определение оптимального ассортимента продукции, в котором каждому ее виду свойственны свои издержки и потребности в ресурсах;
• 2) сведение к минимуму отходов при раскрое материала;
• 3) определение оптимальных уровней запасов на складе предприятия;
• 4) составление оптимального графика отгрузки с учетом распределения продукции между производственными предприятиями и складами, складами и магазинами розничной торговли;
• 5) определение наилучшего пункта местоположения производства путем оценки затрат на транспортировку между альтернативными местами размещения нового предприятия и местами его снабжения и сбыта готовой продукции;
• 6) минимизация издержек при распределении рабочих по станкам и рабочим местам.

Процесс решения задач методами линейного программирования осуществляется по определенным алгоритмам. Алгоритм — это точное предписание порядка выполнения математических и логических операций, которые приводят к решению задачи в автоматизированном режиме на ЭВМ с помощью определенных программных средств или вручную. Наиболее известными алгоритмами решения задач линейного программирования являются симплексный метод и транспортная задача.

Рассмотрим задачу линейного программирования на оптимизацию ассортимента продукции с целью выявления резервов повышения прибыли. Критерием оптимальности при решении такой задачи выступает максимум прибыли. Уравнение целевой функции можно выразить следующим образом:

где - прибыль, получаемая от производства единицы продукции j-го вида;

- количество производимой продукции j-го вида.

Ресурсы на выпуск продукции (сырье, трудовые ресурсы, мощность оборудования и др.) на предприятии ограничены. Поэтому необходимо знать величину запаса ресурсов и расход каждого вида ресурса на единицу продукции.

В качестве ограничений по ресурсам при построении экономико-математической модели выступает система неравенств общего вида:

где - норма расхода i-го производственного ресурса на производство единицы j-го вида продукции;

- запасы i-го вида производственного ресурса.

В общем виде математическая модель задачи оптимизации ассортиментной программы может быть записана следующим образом:

Если задача решается на минимум целевой функции (например, задача о диете), то математическая запись задачи будет произведена следующим образом:

где - цена единицы продукта j-го вида;

- количество приобретаемых продуктов j-го вида.

где - содержание питательных веществ i-го вида в j-м виде продукта;

- нормы потребления питательных веществ. Представленные модели являются стандартной формой задачи линейного программирования.

Пример

На предприятии для выпуска продукции используются три вида материалов: Ml, М2 и М3. Нормы расхода материалов на производство единицы двух видов продукции, запасы материалов и цены на единицу продукции приведены в таблице.

Требуется составить модель задачи выпуска продукции при имеющихся материалах, обеспечивающих максимальную прибыль предприятия.

Экономико-математическая модель задачи будет выражена следующим образом:

Решение задачи удобнее проводить с использованием стандартных компьютерных программ.

Получив данные оптимального ассортиментного выпуска продукции, аналитик должен сравнить их с производственной программой предприятия, выявить отклонения и обосновать резервы роста выпуска продукции и экономии материальных затрат.

Задачу, представленную в стандартной форме, можно преобразовать в двойственную задачу. Для этого необходимо выполнить следующие условия:

• 1) если в стандартной задаче определяется максимум целевой функции, то в двойственной — минимум;
• 2) коэффициентами целевой функции двойственной задачи служат правые части системы ограничений задачи в стандартной форме (в примере — запасы материалов);
• 3) матрицы коэффициентов левых частей систем функциональных ограничений стандартной и двойственной задач являются транспонированными по отношению друг к другу;
• 4) если функциональные ограничения задачи в стандартной форме имеют вид неравенств типа ?, то аналогичные ограничения двойственной задачи являются неравенствами типа ?, и наоборот;
• 5) правыми частями системы функциональных ограничений двойственной задачи служат коэффициенты целевой функции задачи в стандартной форме.

По отношению к рассмотренному примеру модель двойственной задачи примет вид:

Двойственная задача позволяет определить такие цены на ресурсы (в нашем случае на материалы), при которых общие затраты на приобретение ресурсов будут минимальными при условии, что стоимость ресурсов при производстве каждого вида продукции будет не менее прибыли от реализации этой продукции.

Другим примером задачи линейного программирования является транспортная задача.

Постановка задачи заключается в следующем. Имеется ряд пунктов производства продукции с объемами производства, равными соответственно , и пункты потребления , потребляющие соответственно , , …, продукции. В случае если решается сбалансированная (закрытая) задача, соблюдается условие:

Известны затраты по перевозке единицы продукта от i-го поставщика к j-му потребителю — . В качестве неизвестных величин выступают объемы продукта, перевозимого из одного пункта производства в каждый пункт потребления —

Задача сводится к определению плана перевозок, при котором суммарные затраты на транспортировку будут минимальными:

при условиях:

Условия предполагают, что каждый потребитель получает нужное количество продукта, а каждый поставщик отгружает весь произведенный им продукт, при этом поставка продукта не может быть отрицательной величиной.

Пример

Исходные данные для решения задачи представлены в таблице.

В таблице приведены мощности поставщиков и спрос потребителей, и стоимость перевозки единицы груза от поставщика к соответствующему потребителю продукции. Необходимо составить оптимальный план перевозок. Решение задачи производится при помощи компьютерной техники.