Нелинейные модели множественной регрессии

В качестве функций множественной регрессии кроме линейной часто используют нелинейные: полиномы разных степеней, обратную, степенную, показательную, полулогарифмическую функции:

- полином k-й степени;

- обратная функция;

- степенная функция;

- показательная функция;

- полулогарифмическая функция, где - параметры функций.

Нелинейные функции могут представлять собой также «смешанные» модели. Например, можно построить уравнение множественной регрессии с тремя независимыми переменными.

В данном уравнении использованы две функции: показательная (для учета влияния переменных х3 и х3) и степенная (для учета влияния переменной х2).

При выборе формы регрессии необходимо учитывать ряд обстоятельств.

Во-первых, необходимо принимать во внимание теоретические предпосылки построения модели, выводы, сформированные в экономической теории о характере взаимосвязи показателей, ограничениях, налагаемых на параметры функций. Например, форму степенной функции имеет производственная функция Кобба -Дугласа

где Р — объем продукции; L — затраты труда; К — величина капитала; - неизвестные параметры;? — случайный остаток.

На коэффициенты производственной функции может быть наложено линейное ограничение вида.

Тогда.

или.

Во-вторых, при выборе функции регрессии следует учитывать простоту оценки ее параметров, возможность их интерпретации. Все перечисленные выше нелинейные функции являются внутренне линейными, т. е. их можно преобразовать в линейную форму. Оценка параметров внутренне линейных функций производится путем применения МНК к линеаризованной форме нелинейной функции.

Для функций, линейных по параметрам (многочлены второй и более высоких степеней), линеаризация заключается в том, что независимые переменные, взятые во второй и более высоких степенях, рассматриваются как самостоятельные переменные. Например, функция.

представляет собой множественную регрессию, в которой переменная Xj представлена в линейной форме, а переменная х2 — в нелинейной в виде многочлена второго порядка (параболы). Эта функция линейна по параметрам. Переменная рассматривается как третья независимая переменная. Формально можно обозначить переменную как новую переменную z:

т.е. линеаризация функции заключается в замене переменных.

Линеаризация функций, в которых переменные связаны мультипликативно, заключается в логарифмировании правой и левой части функции по любому основанию, наиболее часто — по натуральному. Например, функция.

после линеаризации путем логарифмирования принимает вид.

Введя новые обозначения для логарифмированных величин.

получим выражение.

Для обратной функции вида.

линеаризация заключается в следующих преобразованиях:

В некоторых нелинейных функциях параметры имеют экономическую интерпретацию. Например, в степенной функции коэффициенты являются коэффициентами эластичности зависимой переменной по соответствующим независимым переменным

В показательной функции коэффициенты показывают, во сколько раз в среднем изменится зависимая переменная при изменении соответствующей независимой переменной на единицу и при неизменном значении других независимых переменных, включенных в уравнение регрессии.

Эконометрический анализ нелинейных функций: оценка параметров и их значимости, значимости функции в целом, прогнозирование, расчет показателей тесноты связи ведется по линеаризованным формам.