Коллективные модели риска

Рассмотренные индивидуальные модели предназначены в основном для моделирования математического ожидания и дисперсии совокупного годового убытка в целях расчета тарифов. Предпосылка использования этих моделей — однородность групп: риски каждой группы должны быть схожи во всем, за исключением страховых сумм.

Что же касается совокупного портфеля полисов рискового страхования, то он, как правило, очень неоднороден, даже если может быть поделен на однородные группы. Одна из важнейших задач страховой компании — моделирование распределения убытка совокупного портфеля. На основе модели совокупного убытка строится представление об уровне надежности компании и требуемом капитале. Актуариев интересует не только математическое ожидание, но и сам вид распределения совокупного убытка. В особенности его правый «хвост», содержащие самые крупные убытки, непосредственно определяющий уровень надежности компании. Таким образом, необходим метод, позволяющий максимально точно аппроксимировать совокупное распределение убытка произвольного неоднородного портфеля.

Как уже отмечалось, портфель договоров рискового страхования, как правило, очень неоднороден, поэтому приходится разбивать портфель на максимально однородные и независимые группы, строить для них распределение убытка в соответствии с индивидуальной моделью, а потом сворачивать эти распределения. Однако некоторые группы могут оказаться слишком мелкими, и достоверно описать «хвосты» распределений не удастся. Эта проблема типична для рисков с высокими страховыми суммами, количество которых сравнительно невелико, а влияние на распределение убытка совокупного портфеля существенно.

Другой, гораздо более успешный путь был указан в начале XX в. Филиппом Лундбергом (Filip Lundberg) и продолжен его соотечественником Гаральдом Крамером (Hamid Cramer), завершившийся разработкой рекурсивной формулы, которая была опубликована в 1980 г. Гарри Пейнджером (Harry Panjer) и получила название рекурсивной формулы Пейнджера.

Идея коллективной модели — рассматривать портфель только как производитель убытков, не учитывая принадлежность убытков к определенным рискам. Это допущение не приводит к потере информации или качества результатов, ведь исходные распределения коллективной модели — распределение количества убытков и распределение размера убытка могут быть оценены значительно точнее, чем распределение убытков отдельных однородных групп риска.

Как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного риска анализируется относительно короткий промежуток времени и предполагается, что плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода. Однако в отличие от модели индивидуального риска в модели коллективного риска весь портфель заключенных договоров страхования рассматривается как единое целое, без различения отдельных составляющих договоров. Соответственно, наступающие страховые случаи не связываются с определенными договорами, а рассматриваются как результат суммарного риска компании^[1].

Отсюда следует, что основной характеристикой портфеля является не количество заключенных договоров, а общее количество страховых случаев за анализируемый период, являющееся случайной величиной.

Другое важное отличие заключается в том, что предполагается одинаковое распределение случайных величин Yi, описывающих потери вследствие последовательных страховых случаев. Это предположение означает определенную равноценность страховых случаев, связанную с тем, что страховые случаи рассматриваются как следствие общего риска компании, а не индивидуальных договоров с их специфическими особенностями.

Кроме того, случайные величины Yi описывают только реальный ущерб и поэтому строго положительны.

В коллективных моделях предполагается, что количество страховых случаев и потери после наступления страховых случаев независимы в совокупности. Разорение страховой компании определяется также превышением суммарными выплатами Z активов страховщика А:

В индивидуальных моделях сначала вычисляются средние значения выплат по каждому договору, а затем эти средние суммируются по количеству договоров. В коллективных моделях моделируется количество требований, поэтому суммирование по договорам заменяется умножением двух математических ожиданий:

Количество страховых случаев в отдельном договоре N — дискретная случайная величина. Поэтому при моделировании числа требований используют дискретные законы распределения случайных величин. Но поскольку во всем портфеле могут содержаться качественно разнородные риски, не всегда возможно использование простых, наиболее распространенных дискретных законов распределения, часто используют смешанные дискретные законы, например, различные смешанные (составные) распределения Пуассона.

• [1] Мак Т. Указ. соч.