Моделирование размера убытка в одном договоре страхования в коллективной модели

Коллективная модель предполагает, что в течение времени, когда внешние факторы (в частности, инфляция) изменяются незначительно, случайные значения размера убытка в отдельном страховом случае в рассматриваемом портфеле независимы и одинаково распределены. Если предположение независимости признается выполненным, то предположение об одинаковом распределении кажется нереалистичным уже хотя бы в свете различия страховых сумм. Но, поскольку в коллективной модели убытки не сопоставляются отдельным рискам, а рассматриваются в совокупности на определенном временном промежутке, можно считать, что они представляют собой выборку из одного-единственного распределения, а именно смеси из различных распределений отдельных убытков.

Конечно, каждому виду страхования и каждому портфелю соответствует свое (смешанное) распределение убытков, зависящее, в частности, от размеров страховых сумм по отдельным рискам, а также от страхуемых событий. Так, средний убыток от пожара на промышленном предприятии значительно выше, чем от пожара в жилом здании; оба отличаются от средних убытков в страховании автогражданской ответственности и страховании каско, в свою очередь различающихся между собой. Но, как показывает практика, структуры убытков во всех видах страхования очень схожи. Обычно наблюдается намного больше мелких убытков, чем больших. Строго говоря, «концентрация убытков» с увеличением размера убытка все сильнее уменьшается (бывает, совсем мелкие убытки тоже малочисленны, но с экономической точки зрения они не имеют большого значения)^[1]. Правда, количественное соотношение крупных и мелких убытков, так же как и (в любом случае неточная) граница между крупными и мелкими убытками у разных видов страхования различны.

Для многих практических задач наиболее важна адекватность модели распределения размера убытка в области больших убытков. В наших интересах как можно точнее описать искомым распределением размера убытка большие убытки. Правда, эта важнейшая с экономической точки зрения часть распределений практически всегда представлена слишком малым количеством наблюдений. Корректность моделирования размера убытка в отдельном страховом случае зачастую зависит от правильности выбора подходящего распределения.

Перечислим типичные требования к семействам распределений.

• 1. Модель должна адекватно описывать совокупное распределение. Отсюда, в частности, следует, что распределение не должно допускать отрицательных размеров убытка.
• 2. Модель не должна быть слишком сложной; желательно, чтобы она содержала небольшое количество параметров.
• 3. Модель должна соответствовать структуре убытков.

Наиболее широко используемые на практике непрерывные законы распределения, применяемые для аппроксимации распределения размера ущерба в отдельном страховом случае:

• • логнормальное распределение;
• • логарифмированное логистическое распределение;
• • логарифмированное распределение Лапласа;
• • распределение Парето с нулевой точкой.

Теперь рассмотрим распределения, применимые для моделирования размера убытка.

Логнормальное распределение прекрасно подходит в качестве модели для размера убытка в отдельном страховом случае. Свойства логнормального распределения подробно разобраны в подразделе 3.2.4.

Логистическое распределение

Менее известное, но схожее с нормальным, логистическое распределение имеет плотность:

где? — математическое ожидание убытка; - дисперсия.

Функция распределения логистического распределения:

В результате преобразования получим функцию распределения:

где b = ev — скалярный параметр; .

Плотность логарифмированного логистического распределения задается формулой.

Распределение Лапласа

Симметричной и определенной для всех действительных аргументов плотностью обладает также распределение Лапласа с функцией плотности распределения:

состоящее из двух симметричных относительно? экспоненциальных распределений.

Функция распределения Лапласа имеет вид:

После преобразования получаем логарифмированное распределение Лапласа ():

правая часть которого после нормировки известна как распределение Парето.

Плотность логарифмированного распределения Лапласа определяется формулой.

Заметим, что участки малых и средних убытков недостаточно точно аппроксимируются этим распределением, зато в области больших убытков модель приемлема и даже немного переоценивает частоты.

Распределение Парето

Менее подходящую левую часть (.г < Ь) логарифмированного распределения Лапласа можно заменить распределением, приемлемым для описания мелких убытков, например, гаммаили обратным гауссовским распределениями. Самый простой способ задать распределение Парето на интервале (0; h) — сместить его влево на величину Ь. Тогда распределение Парето с функцией распределения:

превращается в распределение Парето с нулевой точкой с функцией распределения:

В некоторых видах страхования распределение Парето с нулевой точкой имеет тенденцию немного переоценивать частоту наибольших убытков. В таких случаях можно заменить преобразование х=еУ на более «слабое» преобразование х=у', t > 1. Тогда из несмещенного экспоненциального распределения с функцией распределения F (y) = 1 — е~№ получается распределение Вейбулла.

Его плотность задается функцией.

• [1] Мак Т. Указ. соч.