Моделирование распределения совокупного ущерба в коллективных моделях. 
Рекурсивная формула Пейнджера

Допустим N — количество убытков заданного портфеля в интересующем временном промежутке (один год), и пусть - независимые одинаково распределенные размеры убытков. Тогда совокупный убыток представим в виде . Свойства условного математического ожидания позволяют выразить моменты случайной величины Z через моменты величин N и ^[1]:

Из этих формул следует, что квадрат коэффициента вариации равен:

Значительно сложнее получить распределение G совокупного убытка Z. Несмотря на центральный предельный закон, вряд ли стоит рассчитывать на сходимость Z с ростом M (N) к нормальной величине. Опыт показывает, что даже большие портфели асимметричны, а нормальное распределение существенно недооценивает вероятность большого совокупного убытка. Строго говоря, центральная предельная теорема здесь действует только в случае пуассоновского распределения количества убытков. Если же N имеет смешанное распределение Пуассона, то распределение величины Z/M (Z) с ростом M (Z) сходится к смешивающему распределению (как следует из приведенной ранее формулы для V (Z).

Распределение G совокупного убытка Z необходимо получить из распределений величин N и X. К сожалению, другого способа найти распределение совокупного убытка практически не существует. Для прямой подгонки какой-либо модели распределения почти всегда не хватает данных, ведь каждый год даст только одно наблюдение, а значения совокупного убытка далеких прошлых лет в большинстве случаев не актуальны^[1]. Можно выразить распределение G через распределения рп = P (N=n) количества убытков N и распределение /'(.г) = Р (Х<�х) размера убытка X:

где F*" обозначает /г-кратную свертку распределений F (Г°(х)=0 при х < 0 и F'°(x) = 1 при х > 0).

Однако явный расчет бесконечной суммы степеней свертки возможен только в редких нереалистических случаях, например, когда N имеет геометрическое распределение (т.е. отрицательное биномиальное с параметром r= 1), а X — экспоненциальное распределение.

Гораздо лучшая аппроксимация распределения величины Z достигается унимодальными правоасимметричными непрерывными моделями распределения с тремя параметрами (вместо двух). Значения параметров должны находиться из условий равенства первых трех эмпирических моментов соответствующим теоретическим моментам. Ведь чем больше моментов совпадает, тем сильнее схожи сами распределения. В качестве простейших моделей допускаются смещенные гамма-, логнормальное и обратное гауссовское распределения, причем третий параметр в каждом случае задает смещение нулевой точки.

Теория риска породила множество других аналитических аппроксимаций, во многом потерявших сегодня свое значение на фоне достижений в области численных аппроксимаций.

Обратимся к самой популярной численной аппроксимации — рекурсивному методу Пейнджера^[3]. Перед применением метода необходимо аппроксимировать функцию распределения F размера убытка X арифметическим дискретным распределением F, носитель которого X принимает только значения kh, ?=0,1,2, …, К, с вероятностями fk, где h > 0 — шаг дискретизации и/0 +/, + …fk = 1. Вопреки постоянному требованию Х> 0 здесь мы нарочно допускаем значение Х=0, чтобы при переходе от непрерывной плотности к дискретной располагать дополнительным вероятностным весом в 0.

Хотя на практике размеры убытков всегда представлены в дискретной форме, целесообразно все-таки сначала сгладить имманентные случайности (особенно в области больших убытков) непрерывной плотностью и затем снова дискретизировать ее. Дискретное распределение удобнее всего строить с помощью метода " local moment matching" (равенства локальных моментов). Сначала из условий равенства частных (локальных) моментов.

определяются вероятностные веса а, с, г = 0,2, 4 К-2 (К — целое число), для размеров убытков ih, (i +1 )h, (i +2)h. Решая эту систему относительно находим:

Вероятности дискретизации распределения F составят:

При использовании такого метода могут возникать ситуации, когда вероятности дискретизации отрицательны, но это, как правило, не влияет на дальнейший расчет. Если же F имеет вероятностную массу справа от kh (если носитель распределения F принимает значения до ), рекомендуется добавить одну точку и распределить вероятность следующим образом:

где

Неравенство следует из условия . В итоге математические ожидания и дисперсия распределений и F совпадают.

Совокупный убыток имеет арифметическое дискретное распределение G с шагом h и вероятностями.

За счет уменьшения шага h может быть сколь угодно повышено качество аппроксимации.

Возможность задания рекурсивной формулы для gk решающим образом зависит от возможности рекурсивного расчета распределения величины N:

Наиболее распространенные на практике распределения количества убытков — распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение — задаются рекурсивной формулой.

где в случае распределения Пуассона с параметром , , а в случае отрицательного биномиального распределения с параметрами а и р

В актуарной литературе^[4] доказано, что только четыре вида дискретных распределений удовлетворяют этой рекурсии — биномиальное, геометрическое, отрицательное биномиальное и пуассоновское — все они рассмотрены нами в подпараграфе 3.3.1.

Теперь сформулируем рекурсивную формулу Пейнджера.

Пусть распределение количества убытков удовлетворяет рекурсии:

Тогда распределение совокупного убытка, полученное из арифметического дискретного распределения размера убытка, вычисляют с помощью рекурсивных формул:

При большом объеме портфеля значение g0 может быть очень малым, что приведет к обнулению ряда. В таких случаях производятся преобразования типа .

• [1] Мак Т. Указ. соч.
• [2] Мак Т. Указ. соч.
• [3] Мак Т. Указ, соч.; Klugman Stuart A., Panjer Harry //., Willmot Gordon E. Loss Models: From Data to Decisions. John Wiley & Sons, Inc., 2008; Encyclopedia of Actuarial Science. Editors Jozef Teugels, Bjorn Sundt. John Wiley & Sons, Inc., 2004.
• [4] Panjer Η. Н., Recursive evaluation of a family of compound distributions // ASTIN Bulletin. 1981. Vol. 12. P. 22−26.