Метод проекций. 
Инженерная графика

В основе правил построения изображений, рассматриваемых в начертательной геометрии и применяемых в техническом черчении, лежит метод проекции^[1]. Изучение начинают с построения проекций точки, так как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.

В книге приняты следующие обозначения:

• 1. Точки в пространстве — заглавными буквами латинского алфавита до буквы О: А, В, С,… N, О, а также цифрами.
• 2. Последовательность точек (и других элементов) — подстрочными индексами :
• 3. Линии в пространстве — по точкам, определяющим линию.
• 4. Углы — строчными буквами греческого алфавита.
• 5. Плоскости — строчными буквами греческого алфавита:
• 6. Поверхности — строчными буквами греческого алфавита: и т. д.
• 7. Плоскости проекций: произвольная плоскость — , горизонтальная — , фронтальная — , профильная — , дополнительные — . Центр проецирования — буквой S.
• 8. Оси проекций — строчными буквами или (при введении дополнительных плоскостей) . Начало координат — заглавной буквой О.
• 9. Проекции точек на произвольную плоскость на горизонтальную плоскость — на фронтальную плоскость — на профильную плоскость — на дополнительную плоскость
• 10. Проекции линии — по проекциям точек, определяющим линию.
• 11. Для проецирующих плоскостей проекция плоскости: - горизонтально проецирующая плоскость, - фронтально проецирующая плоскость, - профильно проецирующая плоскость. Точки схода следов плоскости — обозначением плоскости с индексом обозначения соответствующей оси.
• 12. При образовании чертежавращением (или совмещением) в новом положении точки — плоскости, следов плоскости — . После второго вращения соответственно .

Центральные проекции и их основные свойства

При центральном проецировании — построении центральных проекций — задают плоскость проекций и центр проецирования — точку, не лежащую в плоскости проекций. На рис. 1.1 плоскость я — плоскость проекций, точка S — центр проецирования.

Для проецирования произвольной точки через нее и центр проецирования проводят прямую. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций и является центральной проекцией заданной точки на выбранной плоскости проекций.

На рис. 1.1 центральной проекцией точки А является точка пересечения прямой SA с плоскостью к. Также построены центральные проекции точек В, С, D на плоскости .

Прямые, проходящие через центр проецирования и проецируемые точки, называют проецирующими прямыми.

Центральные проекции и двух различных точек 5и Св пространстве, которые располагаются на одной проецирующей прямой, совпадают. Все множество точек пространства, принадлежащих од;

Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

Рис. 1.3.

Рис. 1.4.

ной проецирующей прямой, имеет при одном центре проецирования одну центральную проекцию на заданной плоскости проекций.

Следовательно, при заданных плоскости проекций и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну центральную проекцию. Но одна центральная проекция точки не позволяет однозначно определить положение точки в пространстве, т. е. нет обратимости чертежа.

Для обеспечения обратимости чертежа, т. е. однозначного определения положения точки в пространстве по ее проекции, нужны дополнительные условия, например можно задать второй центр проецирования. Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех ее точек. При этом проецирующие прямые в своей совокупности, проведенные через все точки кривой линии, образуют проецирующую коническую поверхность (рис. 1.2) или могут оказаться в одной плоскости как, например, в случае, показанном на рис. 1.4.

Проекция кривой линии представляет собой линию пересечения проецирующей конической поверхности с плоскостью проекций. Так, на рис. 1.2 проецирующая коническая поверхность? пересекается с плоскостью проекций я по кривой А°В°, являющейся проекцией линии АВ. Однако проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности может быть бесчисленное количество линий, проецирующихся в одну и те жу линию на плоскости проекций (рис. 1.3).

При проецировании прямой линии, не проходящей через центр проецирования, проецирующей поверхностью служит плоскость. Так, на рис. 1.4 проецирующая плоскость ?, образуемая проецирующими прямыми SC и SD, проходящими через точки С и D прямой, пе;

Рис. 1.5.

ресекает плоскость проекций л по прямой С °D °, которая и является проекцией прямой CD. Соответственно проекция М° точки М прямой CD принадлежит и проекции C°D°.

Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто достаточно построить проекции лишь некоторых характерных точек. Например, при построении на плоскости проекций п проекции треугольника АВС (рис. 1.5) достаточно построить проекции А°, В°, С° трех его точек — вершин А, В, С.

Обобщая, отметим следующие свойства центрального проецирования.

• 1. При центральном проецировании:
  • а) точка проецируется точкой;
  • б) прямая, не проходящая через центр проецирования, проецируется прямой (проецирующая прямая — точкой);
  • в) плоская (двумерная) фигура, не принадлежащая проецирующей плоскости, проецируется двумерной фигурой (фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, проецируются вместе с ней в виде прямой);
  • г) трехмерная фигура отображается двумерной.
• 2. Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства.
• 3. При заданном центре проецирования фигуры на параллельных плоскостях подобны.
• 4. Центральное проецирование устанавливает однозначное соответствие между фигурой и ее изображением, например изображения на киноэкране, фотопленке.

Центральные проекции применяют для изображения предметов в перспективе. Изображения в центральных проекциях наглядны, но для технического черчения неудобны.

• [1] От латинского projectio — бросание вперед, вдаль (отprojicere — бросить, выставить вперед).