Операции наращения и дисконтирования

В параграфе 3.2 были рассмотрены виды процентных ставок, схемы начисления процентов, приведены формулы определения будущей (наращенной) стоимости исходной денежной суммы. Данные операции называются наращением. Наряду с задачей определения будущей стоимости исходной суммы часто приходиться решать обратные задачи, когда известна ожидаемая к получению в будущем сумма денежных средств и необходимо определить неизвестную первоначальную сумму. Процесс приведения будущей стоимости денег к современной стоимости называется дисконтированием.

Именно с помощью операций наращения и дисконтирования учитывают временной фактор при оценке финансовых операций.

Итак, когда речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, мы имеем дело с наращением, а используемая в операциях ставка называется ставкой наращения. Когда речь идет о движении денежного потока от будущего к настоящему, мы имеем дело с дисконтированием, а используемая в операциях ставка называется ставкой дисконтирования.

В зависимости от условий проведения финансовых операций как наращение, так и дисконтирование могут осуществляться с применением простых, сложных либо непрерывных процентов.

Операции наращения были описаны в параграфе 3.2. Рассмотрим операции дисконтирования.

Выше были рассмотрены процентные и учетные ставки. Напомним, что различие в процентной и учетной ставке состоит в базе начисления процентов. Соответственно различают два вида дисконтирования:

• — математическое дисконтирование по процентной ставке;
• — коммерческое дисконтирование, или банковский учет по учетной ставке.

Процентная и учетная ставки в разной степени отражают фактор времени (более жестко временной фактор отражает учетная ставка). Покажем это на примере.

Пример

Рассчитаем наращенную сумму с исходной суммы 100 тыс. руб. при условии размещения ее в банке на год под 25% годовых. В данном случае мы имеем дело с процентной ставкой, т. е. за базу начисления процентов принимается современная стоимость (100 тыс. руб.).

Наращенная сумма: FV = 100-(1 + 0,25) = 125 тыс. руб. Проценты составят 0,25 • 100 = 25 тыс. руб.

Теперь определим размер вексельного кредита при учете векселя в сумме 125 тыс. руб., за год до наступления срока погашения. Учетная ставка банка составляет 25% годовых. В случае учетной ставки в качестве базы начисления процентов принимается будущая стоимость (125 тыс. руб.). Проценты составят 0,25 • 125 = 31,25 тыс. руб. Современная стоимость будущих 125 тыс. руб. составит 125 — 31,25 = 93,75 тыс. руб.

Какова должна быть сумма векселя, чтобы за год до наступления срока его погашения при учетной ставке, равной 25%, его дисконтированная стоимость составила 100 тыс. руб. Воспользуемся формулой дисконтирования по учетной ставке:

Данный пример продемонстрировал более жесткое отражение фактора времени при использовании учетной ставки. Если предположить равенство процентной и учетной ставок, то видно, что приведенная величина по процентной ставке больше приведенной величины по учетной ставке, т. е. учетная ставка d дает более быстрое снижение исходной суммы, чем обычная ставка i.

Математическое дисконтирование — определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки i позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму.

Для расчета текущей (современной) стоимости используются формулы, которые являются обратными по смыслу формулам 3.5−3.7, 3.10.

Для простых процентов расчет текущей стоимости производится следующим образом:

(3.11).

Для сложных процентов расчет текущей стоимости производится по формуле.

(3.12).

Если начисление процентов производится т раз в год, то используется формула.

(3.13).

При непрерывном начислении процентов текущая стоимость рассчитывается по формуле.

(3.14).

Методы дисконтирования используются в случае необходимости сопоставления величин денежных поступлений и выплат, разнесенных во времени.

Пример

Покупатель обязался оплатить поставщику за купленные товары 200 тыс. руб. через 1 месяц после покупки, 150 тыс. руб. через 2 месяца и 250 тыс. руб. через 3 месяца. Стороны договорились объединить эти платежи в один и выплатить его через 4 месяца после покупки. Чему равен платеж, если на деньги начисляется 18% с ежемесячной капитализацией?

Так как денежные платежи разнесены во времени, они в соответствии с концепцией временной ценности денег имеют разную стоимость. Рассчитаем современную стоимость платежей. Номинальная процентная ставка составляет 18%, проценты начисляются ежемесячно, следовательно, современная стоимость платежей составит:

Данные три платежа необходимо заменить одним платежом, который должен поступить через четыре месяца. Следовательно, современная стоимость одного платежа должна быть равна современной стоимости трех платежей, которые он заменяет, т. е. нужно воспользоваться формулой наращения:

Банковский учет — определение суммы денежных средств, которые будут получены в настоящий момент времени исходя из известной суммы в будущем с удержанием дисконта.

В данном случае известной является величина будущей суммы денежных средств. Исходя из будущей суммы рассчитывается доход кредитора с использованием учетной ставки. Именно известная будущая сумма является величиной предоставляемого кредита или ссуды, однако заемщик получает ее не целиком, а за вычетом дохода кредитора. При коммерческом дисконтировании проценты начисляются предварительно, в начале каждого интервала начисления. Банковский или коммерческий учет применяется в основном при учете векселей. Смысл операции учета векселей заключается в следующем: банк или другое финансовое учреждение покупает вексель у его держателя до наступления срока погашения векселя. Цена, по которой банк приобретает вексель, ниже суммы векселя, так как банк удерживает свой доход. Сумма, которую получает держатель векселя при его досрочном учете, называется дисконтированной величиной векселя. Проценты, которые удерживает банк при погашении векселя (величина дисконта) зависят от времени, оставшегося до погашения векселя, и от величины учетной ставки. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своих ценных бумаг.

При использовании учетной ставки возможны две схемы начисления процентов: по простой и по сложной учетной ставке. Для расчета текущей (современной) стоимости используются формулы 3.15−3.17.

Для простой учетной ставки дисконт взимается по отношению к общей сумме обязательства:

(3.15).

Для сложной учетной ставки, при начислении процентов один раз в год, расчет производится по формуле.

(3.16).

Для сложной учетной ставки, при начислении процентов т раз в год (номинальной ставки ).

(3.17).

В краткосрочных операциях применяют простую, а в долгосрочных операциях — сложную ставку.

Пример

Банк принял к учету вексель в сумме 100 тыс. руб. за 60 дней до наступления срока погашения. Определим дисконтированную величину векселя при годовой учетной ставке 25%. Воспользуемся формулой 3.15 (простые проценты):

Теперь предположим, что банк принял к учету вексель в сумме 100 тыс. руб. за 2 года до наступления срока погашения. Определим дисконтированную величину векселя при годовой учетной ставке 25%. Воспользуемся формулой 3.14 (сложные проценты):