Структурная и приведенная формы эконометрической модели

Для построения прогноза текущей эндогенной переменной необходимо выразить ее в виде явной функции всех предопределенных переменных. Так в паутинной модели конкурентного рынка (2.8) только переменная явно выражена через предопределенную переменную . Переменная в модели (2.8) зависит как от экзогенной переменной хt, так и от значения текущей эндогенной переменной , значение которой в текущий момент времени есть результат взаимодействия всех переменных модели. Для того, чтобы получить явный вид каждой текущей эндогенной переменной достаточно рассмотреть уравнения модели как систему алгебраических уравнений относительно текущих эндогенных переменных. Решение этой системы, если оно существует, позволит получить зависимость каждой текущей эндогенной переменной от всех предопределенных. В данном случае из третьего уравнения модели (2.8) следует, что явный вид зависимостей для текущих эндогенных переменных и от предопределенных переменных совпадает. Для получения явной зависимости переменной р, достаточно подставить в третье уравнение системы два первых поведенческих уравнения и решить полученное уравнение относительно рt. В результате для переменной рt получится выражение.

Или, вводя обозначения:

Таким образом, в результате проделанного преобразования модель (2.8) можно записать в виде.

(2.9).

Выражения (2.8) и (2.9) представляют собой спецификацию одной модели, записанную в разной форме. Спецификацию (2.8) принято называть структурной формой модели, спецификацию (2.9) соответственно приведенной формой модели.

Форма модели называется структурной, если хотя бы одно из ее уравнений содержит более одной текущей эндогенной переменной.

Форма модели называется приведенной, если в ее уравнениях каждая текущая эндогенная переменная выражена через предопределенные.

В частных случаях структурная и приведенная формы модели могут совпадать. Следует иметь в виду, что переход от структурной формы модели к приведенной, если это возможно, всегда однозначен. Обратный переход возможен не всегда.

Необходимость в двух формах записи моделей диктуется рядом причин. В частности для прогнозирования значений текущих эндогенных переменных по известным значениям предопределенных переменных, при построении уравнений модели удобней пользоваться приведенной формой, а при анализе поведения экономического объекта в целях выбора способа оптимального управления им — структурной.

В общем виде структурную форму эконометрической модели можно представить в точечном (координатном) и матричном виде. В точечном виде она выглядит так:

(2.10).

где  — набор текущих эндогенных переменных;  — набор предопределенных переменных; - набор случайных возмущений; ; - параметры при текущих эндогенных переменных;  — параметры при предопределенных переменных.

Замечание. Среди предопределенных переменных может быть переменная тождественно равная единице (переменная при свободных параметрах).

Для того чтобы спецификацию (2.10) записать в компактном (матричном) виде необходимо ввести следующие обозначения:

- вектор текущих эндогенных переменных,.

- вектор предопределенных переменных,.

- вектор случайных возмущений (остатков),.

• — матрица коэффициентов при текущих эндогенных переменных,
• — матрица коэффициентов при предопределенных переменных.

Тогда спецификацию модели (2.10) можно записать в виде.

(2.11).

Решив систему уравнений (2.11) относительно текущих эндогенных переменных или, относительно вектора , получим приведенную форму той же модели. Общий вид приведенной формы модели имеет вид:

(2.12).

Из выражения (2.11) легко получить правило преобразования структурной формы модели в приведенную:

(2.13).

Пример. Преобразовать структурную форму спецификации модели конкурентного рынка в приведенную, используя соотношения (2.11)-(2.13).

Пусть структурная форма модели в точечном виде выглядит следующим образом:

Запишем необходимые вектора и матрицы:

При формировании векторов и матриц необходимо придерживаться следующих правил:

• • компоненты вектора могут быть представлены в любой последовательности, но после того, как вектор сформирован, изменение последовательности не допускается;
• • в векторе на первое место принято ставить «1» (псевдопеременная при свободных параметрах), если хотя бы в одном из уравнений модели присутствует свободный коэффициент;
• • чтобы сформировать первую строку матрицы А, достаточно взять первое уравнение модели и записать коэффициенты, стоящие перед каждой компонентой вектора, в той последовательности, в какой они зафиксированы. Аналогичным образом формируются остальные строки матрицы. При этом необходимо помнить, что в каноническом виде в уравнениях модели справа стоят только случайные возмущения;
• • матрица В формируется по тому же правило, только относительно вектора Х
• • вектор U формируется из остатков. При этом необходимо помнить, что в тождествах случайное возмущение формально присутствует и равно нулю.

Замечание. Матрица А всегда квадратная (второй принцип спецификации), размерность матрицы В может быть любой.

Теперь для преобразования структурной формы модели в приведенную необходимо вычислить компоненты матрицы М и вектора? по правилам (2.13).

Обратная матрица может быть вычислена либо методом Гаусса, либо через матрицу алгебраических дополнений.

Опуская вычисление обратной матрицы, запишем результат:

В результате приведенная форма модели конкурентного рынка принимает вид:

(2.14).

Для того, чтобы получить точечную запись приведенной формы модели, достаточно произвести необходимые алгебраические действия в (2.14).

(2.15).

Система уравнений (2.15) — точечная запись приведенной формы модели конкурентного рынка.

Таким образом, можно сделать вывод, что уравнения эконометрических моделей носят случайный характер, а, следовательно, для их построения необходимо пользоваться методами теории вероятностей и математической статистики.