Многомерное шкалирование.

Многомерное шкалирование отличается от других многомерных методов в первую очередь видом используемых данных. Оно применимо к данным, для которых непригодно большинство обычных методов факторизации. Основной тип данных в многомерном шкалировании представляет собой меру близости или различия между двумя объектами. В целом предпосылки использования многомерного шкалирования отличаются от предпосылок факторного анализа, поэтому многомерное шкалирование обычно позволяет получить результаты, отличные от результатов, получаемых с помощью методов факторного анализа.

Данные, используемые для анализа методом многомерного шкалирования, часто получают из матриц парных сравнений объектов. По ним требуется восстановить неизвестную размерность р анализируемого признакового пространства и приписать каждому объекту координаты таким образом, чтобы вычисленные попарные евклидовы расстояния между объектами по возможности совпали бы с заданными матрицей парных сравнений. При этом речь идет о восстановлении координат нового редуцированного признакового пространства с точностью до ортогонального преобразования, при котором попарные расстояния между объектами не изменяются. Таким образом, цель методов метрического многомерного шкалирования состоит в том, чтобы отобразить информацию о конфигурации исходных многомерных данных, заданную матрицей парных сравнений, в виде конфигурации точек в соответствующем пространстве меньшей размерности.

Задачи многомерного шкалирования предусматривают не только построение систем координат, в которых представляются исследуемые объекты, но и содержательную интерпретацию этих шкал в качестве вполне определенных характеристик, существенных для дифференциации объектов в рассматриваемом смысле. В такой постановке конечные прикладные цели многомерного шкалирования, по существу, не отличаются от задач, для решения которых используется факторный анализ.

Другой задачей многомерного шкалирования является верификация геометрической конфигурации системы анализируемых объектов в координатном пространстве латентных переменных. Речь идет о ситуациях, в которых исходя из содержательных соображений, относящихся к механизму изучаемого явления, формулируются гипотезы о размерности пространства латентных переменных и о типе геометрической конфигурации системы точек, представляющих анализируемые объекты в этом пространстве. Результатом применения многомерного шкалирования в задачах этого типа является статистическая проверка гипотез.

Часто в качестве основной цели многомерного шкалирования рассматривается сжатие исходного массива данных с минимальными потерями в их информативности. Если сопоставляется большое число объектов, то размерность квадратной матрицы парных сравнений может быть велика. Решение задачи многомерного шкалирования позволяет перейти от формы исходных данных типа «объект — объект» к более распространенной и удобной для статистической обработки форме исходных данных типа «объект — признак» с одновременным сокращением объема исходных данных.

Необходимо подчеркнуть одно очень важное свойство многомерного шкалирования: независимо от того, какого типа задача решается, его всегда можно использовать как инструмент наглядного представления (визуализации) исходных данных. Действительно, выбирая размерность вспомогательного пространства равной 1, 2 или 3, мы решаем задачу представления наших объектов в виде точек на числовой прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве.