Техническая результативность производства в длительном периоде

Так как в длительном периоде меняется не только количество используемого в производстве труда, но и объем капитала, то производственную функцию в нем можно представить в виде множества производственных функций короткого периода, различающихся объемами капитала. Шесть таких функций приведены в табл. 2.2. В столбцах показано изменение выпуска по мере увеличения труда при фиксированных объемах капитала, а в строках — при росте капитала и неизменных объемах труда. В целом это есть табличная форма представления производственной функции длительного периода.

Таблица 2.2. Табличная форма производственной функции длительного периода

Данные, приведенные в табл. 2.2, отражают закон снижающейся предельной производительности и труда, и капитала. Это выражается в том, что значения величин в столбцах и строках растут медленнее, чем значения, отражающие увеличение соответственно количества применяемого труда и объема капитала. Эту особенность производственной функции в длительном периоде необходимо учитывать при выборе алгебраической формы ее представления. Для данной цели не подходит, например, функция вида Q = aL+ bК, где а и Ъ — константы, так как в этом случае предельные производительности факторов производства неизменны.

Типичная зависимость между количеством используемых факторов производства и выпуском продукции в длительном периоде отображается степенной функцией.

где - положительные числа, характеризующие технологию производства.

Она получила название функция Кобба — Дугласа^[1].

В табл. 2.2 представлен вариант такой функции; приведенные в ней данные с округлением до целых чисел соответствуют формуле

Показатели степеней? и? производственной функции равны коэффициентам эластичности выпуска по факторам:

При попытке оценить результативность производства в длительном периоде путем деления общего выпуска продукции на количество используемых факторов возникает затруднение из-за того, что нельзя суммировать число рабочих с числом станков или гектарами земли. Тем не менее определенную характеристику технологии можно получить, наблюдая за изменением выпуска при изменении объемов обоих факторов производства в одно и то же число раз, т. е. меняя масштаб производства.

Результат воздействия на выпуск пропорционального изменения обоих факторов называют отдачей от масштаба (returns to scale)^[2].

Рост объемов труда и капитала в п раз может сопровождаться увеличением выпуска: 1) в п раз; 2) более чем в п раз; 3) менее чем в п раз. В первом случае говорят, что технология имеет неизменный эффект масштаба, во втором — растущий и в третьем — снижающийся. В табл. 2.3 приведены числовые примеры для каждого из них.

Поскольку показатели степеней в производственной функции показывают, на сколько процентов возрастет выпуск при увеличении соответствующего фактора производства на 1%, то при - постоянный эффект масштаба; при - растущий, а при - снижающийся.

Таблица 2.3. Технологическая результативность производства в длительном периоде.

Примечание. В скобках показано изменение выпуска в разах.

Функция, описывающая постоянную отдачу от масштаба, называется линейно-однородной, для которой выполняется равенство Эйлера: значение функции равно сумме произведений аргументов функции на частные производные по этим аргументам. Применительно к производственной функции длительного периода равенство Эйлера выглядит так:

Это свойство технологии с постоянной отдачей от масштаба имеет важные экономические последствия, которые будут рассмотрены в гл. 7.

Для графического представления в двухмерном пространстве производственной функции длительного периода используют семейство линий равного выпуска. Линия равного выпуска, или изокванта, представляет множество различных сочетаний объемов труда и капитала, при которых достигается один и тот же объем выпуска. Данные, приведенные в табл. 2.2, показывают, что 57 ед. продукции можно выпустить при трех различных комбинациях труда и капитала: , . Кроме этих трех комбинаций труда и капитала существует множество других, при которых по технологии, характеризующейся производственной функцией , тоже можно произвести 57 ед. продукции. Соединив все точки, представляющие эти комбинации в системе координат К, L, получим изокванту 57; ее формула . Аналогично строится изокванта для любого другого объема выпуска. В результате.

Рис. 2.4. Карта изоквант производственная функция длительного периода предстает в виде семейства или карты изоквант (рис. 2.4).

Изокванта является одним из основных инструментов графического анализа технической результативности производства в длительном периоде. Поэтому исследуем, чем определяются ее конфигурация и расположение в пространстве К, L.

Поскольку производственная функция выражает зависимость между количеством используемых факторов и максимально возможным выпуском, то изокванта представляет множество сочетаний минимально необходимых объемов труда и капитала для заданного выпуска. Это означает, что изокванта не может иметь положительный наклон.

Рис. 2.5. Эффективная и неэффективная области изокванты.

Рис. 2.6. Зависимость расположения изокванты от эластичности выпуска по факторам Допустим, что она имеет вид, изображенный на рис. 2.5. В таком случае все точки изокванты, расположенные вне дуги АВ, представляют неэффективные варианты производства 57 ед. продукции. Так, точка С соответствует варианту производства при использовании единиц капитала и единиц труда. Но 57 ед. продукции с такими же затратами труда можно произвести, применяя лишь единиц капитала, т. е для этого можно затратить меньшее количество капитала при том же объеме труда.

Расположение изокванты относительно осей координат определяется соотношением эластичностей выпуска по факторам производства (рис. 2.6). Если , то изокванта симметрична биссектрисе, исходящей из начала координат. При она имеет относительно больший наклон к оси, на которой откладывается объем труда, а при - наоборот.

Карта изоквант наглядно отображает эффект масштаба. При технологии с постоянным эффектом масштаба изокванты, соответствующие , располагаются относительно друг друга на одинаковом расстоянии; при технологии с растущей отдачей от масштаба они приближаются друг к другу по мере увеличения выпуска, а при снижении отдачи отдаляются друг от друга.

Изокванта наглядно представляет взаимозаменяемость факторов производства: заданный объем продукции можно эффективно произвести при различных сочетаниях труда и капитала (различной капиталовооруженности труда). В какой пропорции один из факторов можно заменить другим, зависит от исходной капиталовооруженности труда. Обратимся еще раз к рис. 2.5. При переходе от сочетания к сочетанию на каждую дополнительную единицу труда высвобождается больше капитала, чем при переходе от сочетания к сочетанию . Это связано с тем, что дуга AD имеет более крутой наклон к оси абсцисс, чем дуга DB.

Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS (marginal rate of technical substitution), которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.

Предельная норма технического замещения труда капиталом а предельная норма технического замещения капитала трудом

Величина MRTS факторов производства определяется их предельной производительностью. В этом можно убедиться на основе следующих рассуждений. При увеличении количества труда на AL выпуск возрастает на , а уменьшение объема капитала на А К снижает его на . Следовательно, увеличение коли чества применяемого труда полностью компенсирует сокращение объема капитала, если выполняется следующее равенство:

(2.1).

Пусть при некотором объеме выпуска , а

Тогда увеличение капитала на 1 ед. увеличит выпуск на 4 ед. Чтобы выпуск не изменился, нужно сократить труд на 0,5 ед.

Следовательно, . Определим предельную норму замещения капитала трудом при технологии :

(2.2).

Графически MRTS факторов производства отображается тангенсом угла наклона касательной к изокванте в точке, соответствующей используемым объемам труда и капитала для производства заданного объема продукции (рис. 2.7). Поэтому предельную норму технического замещения факторов производства можно определить, взяв производную от функции изокванты. Поскольку формула изокванты производственной функции Кобба — Дугласа имеет вид.

то.

В некоторых видах хозяйственной деятельности труд и капитал вообще не могут заменить друг друга и должны использоваться в фиксированной пропорции: 1 рабочий — 2 станка, 1 самолет — 10 членов.

Рис. 2.7. Предельные нормы замещения факторов производства экипажа. В этом случае технология производства отображается производственной функцией Леонтьева^[3]:

где а и b — технологически необходимый расход соответственно труда и капитала на единицу продукции.

Если, например, на каждом автобусе дальнего следования должно быть два водителя, то при наличии в автобусном парке 50 автобусов и 90 водителей одновременно могут обслуживаться только 45 маршрутов: min{90/2; 50/1} = 45. При технологии Леонтьева MRTS = 0. Еще одной характеристикой технологии является эластичность замещения факторов производства. Она выражается зависимостью между капиталовооруженностью труда () и MRTS факторов производства или отношением их предельных производительностей (). На рис. 2.8 наглядно иллюстрируется эта зависимость.

Коэффициент эластичности замещения факторов производства () показывает, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, чтобы при изменении отношения производительностей факторов на 1% выпуск остался неизменным, и рассчитывается по формуле

Рис. 2.8. Зависимость между капиталовооруженностью труда и отношением предельных производительностей факторов производства У технологии, соответствующей производственной функции Кобба — Дугласа, , а у технологии Леонтьева .Кроме производственных функций Кобба-Дугласа и Леонтьева в экономическом анализе часто используется производственная функция с постоянной эластичностью замещения факторов производства CES (constant elasticity substitution)

У такой функции , т. е. эластичность замены постоянна, но не обязательно равна единице^[4]. Производственные функции Кобба — Дугласа и Леонтьева являются частными случаями функции CES: если , то , а если , то

• [1] Анализируя зависимость между объемом выпуска обрабатывающей промышленности США и количеством используемых объемов труда и капитала на основе статистических данных с 1899 по 1922 г., экономист П. Дуглас и математик Д. Кобб обнаружили, что ее хорошо отображает функция Q = L°-73K0-27.
• [2] При непропорциональном изменении факторов меняется не только масштаб, но и соотношение между количеством труда и объемом капитала; то и другое оказывают определенное воздействие на выпуск, поэтому в данном случае изменения результативности производства нельзя связывать лишь с изменением масштаба.
• [3] В. Леонтьев (1906−1999) — лауреат Нобелевской премии по экономике 1973 г. за разработку модели межотраслевого баланса (метода «затраты — выпуск»).
• [4] См. Математическое приложение.