Алгоритмы и структуры теории нечетких множеств в исследовании некоторых экономических и игровых моделей

В 1965 г. Л. Заде выдвинул идею нечеткого множества [53]. Это, в частности, ознаменовало целую новую парадигму в математическом моделировании экономической деятельности. Заде писал [6]: «Теория нечетких множеств — это, по сути дела, шаг на пути к сближению точности классической математики и всепроникающей неточности реального мира,. Множество или совокупность объектов — основное понятие в математике. Мы не очень быстро подошли к представлению о том, что многие, возможно, большинство, человеческих знаний и связей с внешним миром включают такие построения, которые нельзя считать множествами в классическом смысле. Их скорее следует считать «нечеткими» множествами (или подмножествами), т. е. классами с нечеткими границами, когда переход переход от принадлежности к классу к непринадлежности происходит постепенно,.

Нам нужна новая точка зрения, новый комплекс понятий и методов, в которых нечеткость принимается как универсальная реальность человеческого существования. ."

В диссертации с помощью структур теории нечетких множеств построен математический аппарат решения важных прикладных задач: разделение рынка на торговые зоны конкурирующих предприятийформирование ассортимента и номенклатуры товаров. Формально исследованы свойства коалиционных структур торговых предприятий, фирм на рынке одного товара и условия их устойчивости. Развитые методы применимы к широкому кругу аналогичных задач.

В Главе 1 изучаются способы разделения рынка (потребителей) на торговые зоны предприятий и нечеткие коалиционные структуры торговых предприятий.

Традиционные исследования торговой зоны часто формулируются на ряде предположений об однородности рынка, такие как равномерное распределение потребителей и одинаковое качество товара, на таких допущениях, как постоянство транспорных расходов и одинаковое достоинство предприятий [30,33,40]. Поведенческие постулаты о восприятии потребителями расстояния до места покупки, о субъективных оценках качества продукции предприятия, уровня предоставляемого обслуживания и других подобных характеристик часто оказываются слишком упрощенными. В диссертации проведен теоретический анализ проблемы разделения рынка на торговые зоны предприятий в нечетких условиях.

Такие допущения, как постоянство транспортных расходов и одинаковое достоинство фирм, заменяются нечетким восприятием расстояния и привлекательности предприятий относительно их различных характерных свойств. Предпочтение, отдаваемое потребителями тому или иному предприятию, представляется в виде нечеткого множества. Затем эти множества используются для исследования торговых зон.

Каким-либо способом (таких способов может быть много — см. п. 1.2) находится функция предпочтения /- — нечеткое множество множества потребителей. Это и есть нечеткая торговая зона г-го предприятия. Затем для построения торговых зон возможны два пути. Первый состоит в выделении ядер нечетких торговых зон, как множества таких потребителей, которые данное торговое предприятие оценивают не ниже остальных, и в использовании понятия подмножества /-уровня нечеткого множества. Неожиданно то, что ядра покрывают все множество потребителей. Второй способ состоит в использовании специфических свойств функций предпочтения. Иногда (но не всегда) эти функции оказываются выпуклыми и тогда для определения торговых зон используется теорема разделения выпуклых нечетких множеств.

В п. 1.4 исследуются нечеткие коалиционные структуры торговых предприятий. Объединение торговых предприятий в нечеткий коалиции является для них средством гарантированного увеличения своих прибылей за счет сделок с такими потребителями, которые не определяют четко свои предпочтения между этими предприятиями и, тем самым, могут удовлетворить свои потребности в любой из них, и это увеличение независит от того, с каким из этих предприятий такой потребитель осуществил сделку.

П. 1.5 посвящен решению задачи формирования ассортимента или номенклатуры товаров с привлечением аппарата теории нечетких множеств, причем относительно номенклатуры товаров путем формализации процесса определения перечня товаров и денежной суммы на закупку по каждому из них.

Правомерность постановки такой задачи обусловлена тем, что, несмотря на кажущуюся демократичность традиционной процедуры формирования плана закупки [7], заключающейся в том, что к этому процессу привлекается достаточно много специалистов (экспертов), проводятся многократные обсуждения и согласования мнений на советах различного уровня, результаты тем не менее носят субъективный характер и зачастую не отражают коллективное мнение. Это связано с тем, что, как правило, на всех этапах обсуждения нарушается фундаментальное правило принятия коллективного решения, которое состоит в исключении возможности авторитарного давления на лиц, принимающих решение. В реальных условиях, хотя предполагается, что все члены группы экспертов одинаково квалифицированы и равноправны, решения принимаются под авторитарным давлением тех или иных членов группы, например, занимающих более высокую должность и т. д.

В диссертации приводится описание возможных подходов для решения задачи формирования ассортимента или номенклатуры товаров, позволяющего исключить или, по крайней мере, сгладить указанные выше недостатки. Также, предложенные подходы позволяют получить количественные оценки важности (рейтинг) товара. Это позволяет сравнивать результаты, полученные на различных этапах или различными группами экспертов, а самое главное, не позволяет произвольно менять рейтинги товаров при распределении денежных сумм на закупку.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию коалиций фирм на рынке одного товара. Вначале исследуются четкие коалиции — это обычные подмножества фирм, объединенных некоторым общим интересом.

В п. 2.1 классические модели Курно и Штакельберга обобщаются на случай многих фирм.

Детальное исследование модели Курно на случай многих фирм можно найти в работах [37,47,48]. В частности, в [48] показано, что равновесия для модели Курно существует даже для дифференцированных продуктов. Основное требование состоит в том, чтобы условия спроса и издержек обеспечивали существования локального максимума прибыли для каждой фирмы при равновесных значениях производства у конкурентов. Это обеспечается в том случае, если предельные издержки не снижаются в условии равновесия, а отраслевой спрос — линейный или выпуклый. Тогда модель Курно интерпретируется как многоступенчатый процесс, и этот подход к исследованию приводит к известному в теории игр «методу нащупывания» [19].

В работе [44] исследованы вопросы увеличения количества фирм на рынке. Показано, что, когда средние издержки возрастают при обьеме производства, который меньше, чем минимально эффективный обьем производства, существует предел числа фирм, которые в условиях равновесия могут получать неотрицательные прибыли. По мере уменьшения минимально эффективного выпуска продукции относительно спроса равновесное число фирм растет до тех пор, пока цена не сравняется с предельными издержками. Что касается равновесия в модели Курно, то, важно отметить, что эту ситуацию часто называют равновесием Курно—Нэша, поскольку решение, полученное Курно для своей модели, является примером равновесия, определенного Нэшем [42].

Относительно обобщения модели Штакельберга на случай многих фирм, следует отметить, что в литературе [24,28] предложена несколько иная модель Штакельберга, где фирма-последователь рассматривает уровень выпуска любого конкурента как постоянный (веерная иерархическая структура), — последователи ведут себя, как фирмы в модели Курно. В диссертации же классическая модель Штакельберга обобщается на случай многих фирм [13], как иерархическая игра с фиксированной последовательностью ходов. Исследования такого класса игр были широко проведены Ю. Б. Гермейером и его научной школой (например, см. [4]), и эти исследования стали важным этапом в развитии теории игр. В частности, так как далее в п. 2.3.1 исследуются коалиционные структуры Штакельберга, следует отметить работу [20], посвященную, в том числе, решению иерархической игры трех лиц с нефиксированной коалицией, иерархической игры многих лиц с коалициями.

Затем в п. 2.2 рассматривается совершенно новая стратегия во взаимодействии фирм на рынке одного товара — стратегия неявной монополии.

Далее в п. 2.3 вводятся аксиоматически три типа коалиционных структур: структуры Штакельберга, структуры Курно и структуры неявной монополии. Критерием формирования тех или иных коалиций являются величины удельных прибылей фирм, образующих коалиции. При этом существенно условие устойчивости коалиционной структуры (это такая коалиционная структура, в которой нет инициаторов распада имеющихся коалиций или образования новых путем слияния). В указанных выше трех типах коалиционных структур наибольшая удельная прибыль фирм в структуре неявной монополии, затем в структуре Штакельберга и наименьшая — в структуре Курно.

В п. 2.4, завершающем Главу 2, вводятся и исследуются нечеткие коалиционные структуры. Отметим то, что так введенные нечеткие коалиционные структуры имеют сходство с хорошо известными в математической экономике и теории игр сбалансированными наборами коалиций, введенными в работах [3,48].

Автор рад возможности выразить искреннюю благодарность научному руководителю проф. д.ф.-м.н. А. В. Михалеву за постоянное внимание к работе и практические советы.

Введение

в данную область исследований было осуществлено под влиянием проф. д.ф.-м.н.

С.А. Ашманова и автор по сеи день испытывает к нему чувство глубокой благодарности.

0.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ

МНОЖЕСТВ

Пусть G — множество. Нечетким множеством М множества G называется функция, определенная на G со значениями в [0,1]. Напомним, что классическое (четкое) подмножество, А С G также можно отождествить с функцией, определенной на G — характеристической функцией подмножества А.

Напомним теперь основные операции над нечеткими множествами.

Пусть G — основное множество. Пусть М — его нечеткое множество, тогда его ядром называется подмножество {д Е G: М (д) = 1}. Ядро есть четкое подмножество, возможно, пустое. Дополнением к М называется нечеткое множество 1 — М, обозначается нечеткое дополнение также, как и в четком случае, сМ. Итак, сМ (д) = 1 — М (д). Пусть N — еще одно нечеткое множество в G. Тогда объединением нечетких множеств М и N есть нечеткое множество, степень принадлежности элемента д? G к которому равна максимуму из чисел М (д)1 N (g)] обозначается также, как и в четком случае, MUN, так что (MUiV)(g)=max {M (g), N (g) }. Пересечением нечетких множеств М и N называется нечеткое множество, степень принадлежности элемента д Е G к которому равна минимуму из чисел M (g)1N (g): (М П N) (д) = min{M (д), N (д)}. Для двух нечетких множеств М и N естественно считать, что N есть нечеткое множество М, если N (g) < М (д) для всякого д Е G, обозначается N С М. Можно убедиться, что при этом, как и для обычных множеств, верны следующие соотношения: NDM = N? NUM = Mn т.п. Нечеткие множества можно изобразить графически, как графики функций из основного множества G в отрезок [0,1]. Операции над нечеткими множествами также получают при этом наглядную графическую интерпретацию (наподобие известных диаграмм Вьенна-Эйлера).

Понятие и сама идея нечетких множеств широко используется для создания дальнейших нечетких математических и других структур.

Подмножества I-уровня. Пусть I Е [0,1]. Подмножеством /-уровня нечеткого множества М называется (четкое) подмножество

Ml = {geG: М (д) > /}.

Нечеткие отношения. Как известно, обычное бинарное отношение на множестве X есть подмножество S квадрата X2. Если в роли S взять нечеткое множество в X2, то получится нечеткое отношение на X.

Композиции двух нечетких отношений. Пусть R есть нечеткое отношение в X х Y и Ri — нечеткое отношение в Y х Z. max — гшп)-композиция отношений R и R2 обозначается R2 о Ri и определяется выражением

2 о Ri)(x, z) = msLx (mm{Ri (x, y), R2{yJz)}), у где х Е X, у Е У, 2 Е Z. Таким образом, операция композиции нечетких отношений RibXxYhR^bYxZ позволяет определить нечеткое отношение в X х Z. max-^-композиция отношений R и R

R2 ¦ Ri)(x, z) = majt (Ri (x, y) ¦ R2(y, z)), у где х Е X, у Е Y,? Е Z и операция • есть произведение.

Нечеткая логика. В обычной логике используются только два значения функции истинности: «истина» и «ложь». В нечеткой логике значений истинности предложения может быть не два, а много, например, эти значения могут заполнять весь отрезок [0,1].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным итогом диссертации состоит в следующем:

1) Предложен алгоритм решения задачи определения торговых зон конкурирующих предприятий. Показана применимость данного алгоритма к решению задачи оптимального формирования ассортимента товаров. Исследованы свойства нечетких коалиционных структур торговых предприятий.

2) Обобщена классическая модель Штакельберга на случай многих фирм, как иерархическая игра с фиксированной последовательностью ходов.

3) Получены оценки для устойчивых коалиционных структур Штакельберга и простых коалиционных структур Курно. Выявлено наличие циклов структур Штакельберга. Проведена сравнительная оценка удельной прибыли фирмы в коалиционной структуре Курно и удельной прибыли фирмы в такой же структуре Штакельберга. Исследованы свойства нечетких коалиционных структур фирм на рынке одного товара и условия их устойчивости.