Математическое моделирование, численные методы и комплекс программ для задачи взаимодействия двух экономических агентов

Актуальность темы

исследования. Математическая теория управления наибольшее развитие получила во второй половине XX века. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процессов. Необходимость решения таких задач возникает при моделировании физических, химических, биологических, социальных, экономических и других процессов [2, 17, 19, 20, 29, 34, 52, 65, 67, 71,72, 73].

Задачи оптимального управления с фазовыми и смешанными ограничениями наиболее адекватно отражают свойства управляемого объекта. Из наиболее распространенных методов решения задач оптимального управления являются метод штрафных функций и принцип максимума, который в настоящее время остается основным инструментом для определения оптимального управления и оптимальных траекторий.

Истоки теории оптимального управления восходят к работам Р. Беллман [9], Л. С. Понтрягина [61], Р. Калман [24, 41], Н. Н. Красовского [46], У. Флеминг, А. Фридман.

Большой вклад в развитие теории оптимального управления внесли В. Г. Болтянский, Л. Д. Беркович, Е. А. Брайсон, Р. В. Гамкрелидзе [25, 39], Ю. Г. Евтушенко [32], Г. Лейтман, Е. Ф. Мищенко, Н. Н. Моисеев, Ф. Л. Черноусько [87], В. А. Якубович, Д. Эллиот.

Фундаментальное развитие теория оптимального управления получила в работах В. И. Благодатских, Р. Ф. Габасова [21, 22, 23], А. Я. Дубровицкого [30], В. И. Зубова [35], А. Д. Иоффе [39], Ф. М. Кирилловой [23],.

В. Ф. Кротова [47], А. А. Милютина [58], Н. Н. Петрова, Г. К. Пожарицкого, В. М. Тихомирова, С. В. Чистякова.

В данной работе принцип максимума используется при решении задачи, имеющей экономическое содержание. Основу модели составляют нелинейные дифференциальные уравнения.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении.

Большой вклад в разработку теоретических и методологических аспектов исследования проблем экономического развития, построение и исследование их математических моделей внесли отечественные ученые С. А. Ашманов [6], В. 3. Беленький, В. А. Бессонов, О. О. Замков [33], В. А. Колемаев [45], Г. Б. Клейнер, В. Л. Макаров, Д. Нестерова, Р. Л. Нуреев, А. А. Петров [63], И. Г. Поспелов [66], Ю. Н. Черемных [33], А. А. Шананин [62], а также зарубежные ученые Е. Домар, Д. Касс, В. Леонтьев [38], Р. Лукас, Н. Калдор, Р. Рамсей [38], Д. Ромер, Дж. фон Нейман [45], Р. Солоу [38], Р. Харрод, К. Эрроу и другие.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении. Несмотря на многочисленные разработки оптимальных стратегий в экономике, наблюдаемая на практике картина, свидетельствует о необходимости дальнейшего изучения экономических явлений. В связи с этим, проблема определения механизмов и сценариев развития динамики в экономических системах оказывается весьма важной и своевременной.

Целью работы является исследование и построение аналитического и численного решения многокритериальной нелинейной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, которая формализует экономическую модель.

Для достижения поставленной цели в работе решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе построенной модели методами математических теорий дифференциальных уравнений и оптимального управления, применяются численные методы построения оптимального решения.

Объект исследования — многокритериальная нелинейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями.

Предмет исследования — поведение объекта в зависимости от параметров задачи, функций управления и критериев качества на оптимальное решение.

Положения, выносимые на защиту.

1. построение математической модели взаимодействия двух экономических агентов с учетом привлечения кадров;

2. исследование неуправляемой модели на устойчивость;

3. разработка управляемой модели динамики взаимодействия экономических агентов с различными критериями качества;

4. применение необходимых и достаточных условий для построения оптимального решения;

5. исследование модели на наличие особых оптимальных режимов;

6. построение алгоритмов численных методов решения;

7. определение влияния параметров модели на оптимальное решение.

Научная новизна. В диссертационной работе построена математическая модель взаимодействия двух экономических агентов с учетом привлечения кадров за счет увеличения заработной платы и метода списания задолженности с банковского счета, которая формализована как многокритериальная нелинейная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями. Построены численные решения задач оптимального управления. Исследовано влияние параметров задачи, функций управления и критериев качества на оптимальное решение. Определены параметры, при которых возникают особые режимы оптимального управления. Найдено оптимальное распределение весовых коэффициентов.

Практическая значимость. Полученные результаты работы могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с деятельностью фирм: прогнозирование динамики капитала, выпуска и прибыли фирмы, рассмотрении вопроса о привлечении наемных работников, прогнозирование материальных затрат и капиталовложений. Разработанные алгоритмы позволяют проводить оценки параметров экономической системы и исследовать их влияние на оптимальное управление.

Ориентация на стандартную региональную статистику позволяет использовать сделанные разработки для многих фирм.

Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые и достаточные условия оптимальности, теория устойчивости, численные и аналитические методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, отражающей взаимодействия экономических субъектов.

При разработке программного комплекса, проведении вычислительных экспериментов использовался программный продукт: Borland Delphi 6.

Достоверность и обоснованность. Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных и аналитических методов математической теории оптимального управления и методов оптимизациина применении физически обоснованных исходных данных, на сравнении результатов со статистическими данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные приложения были представлены на кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2008;2011 гг.) — на второй Российской школы-конференции с международными участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверской государственный университет, 8−12 декабря 2010 г.) — на первой Международной научно-практической конференции, посвященной устойчивому развитию социально-экономических систем (ФГАОУВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет», 17−18 февраля 2011 г., г. Казань) — на второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной проблемам анализа и моделирования региональных социально-экономических процессов (Министерство образования и науки РФ, Казанский государственный финансово-экономический институт, 21−22 апреля 2011 г., г. Казань) — результаты исследований, вошедших в диссертацию, докладывались на семинарах Вычислительного центра им. A.A. Дородницына Российской академии наук (Москва, 2010 — 2011 гг.).

Публикации автора по теме диссертации. Основное содержание работы отражено в 9 научных публикациях, включая: 3 в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России [76, 77, 79], 3 в сборниках научных трудов [68, 81, 83], 1 статья в материалах Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых [82], 1 статья в материалах международной научно-практической конференции [80], 1 статья в материалах Всероссийской научно-практической конференции [78].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы.

Заключение

.

В ходе диссертационного исследования решены поставленные научные задачи, для достижения которых была проделана работа:

1. Рассмотрена неуправляемая нелинейная система четырех уравнений, с помощью которой было описано взаимодействия двух экономических агентов.

2. Неуправляемая модель исследована на адекватность и положение устойчивого равновесия.

3. Данная модель была исследована с помощью теории оптимального управления и методов оптимизации. Установлено, что решение системы существенно зависит от параметров модели, выбранного критерия качества и управляющих функций.

4. В работе рассмотрены три задачи оптимального управления: задача оптимального управления с фазовыми ограничениями деятельности фирмы, задача оптимального управления с фазовыми ограничениями деятельности банка и многокритериальная задача оптимального управления с фазовыми ограничениями взаимодействия фирмы и банка.

5. Однокритериальные задачи оптимального управления рассмотрены как задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, как задачи оптимального управления со смешанными и фазовыми ограничениями, как задачи оптимального управления со штрафными функциями. Для каждой из задач выписаны необходимые условия оптимальности. Проведено их сравнение. Выявлено, что соответствующие штрафы равны соответствующим мерам.

6. Для поставленных однокритериальных задач оптимального управления, с помощью необходимых условий оптимальности, определены особые оптимальные управления и условия их существования. Наличие особых режимов подтверждено численными экспериментами.

7. Для однокритериальных задач оптимального управления сформулированы и доказаны достаточные условия оптимальности.

8. Для однокритериальных задач оптимального управления исследовано влияние параметров (постоянных материальных затрат, амортизации капитала, ставки заработной платы, времени процесса, инвестирования, списания задолженности) на оптимальное решение с экономической интерпретацией.

9. Для многокритериальной задачи оптимального управления выписаны необходимые и достаточные условия оптимальности.

10. Для многокритериальной задачи исследовано влияние весовых коэффициентов на ее оптимальное решение.