Пример силового расчета рычажного механизма

Известны графические методы силового расчета механизмов. Однако в последнее время более широко применяют аналитические методы.

Аналитический метод рассмотрим на примере центрального кривошипно-ползунного механизма [3].

Исходные данные: 1) кинематическая схема (рис. 4.6); 2) массы и моменты инерции звеньев, положения их центров масс; 3) закон движения механизма; 4) внешнее силовое нагружение и М. Зависимости /^((pi), A/i (9i) и закон движения со/ = a>( примем заданными в табличной форме. Силами тяжести можно пренебречь, поскольку в большинстве механизмов современных машин они малы по сравнению с другими силами.

Зададим систему координат Аху (рис. 4.6). Необходимые для силового расчета кинематические характеристики:

Рис. 4.6. Схема кривошипно-ползунного механизма.

В этих уравнениях co_(/i = - cos q /y^cos (fh — аналог угловой скорости (передаточная функция) звена 2; Sq₂~ аналог углового ускорения звена 2:

а Способ определения углового ускорения ?| начального звена 1 описан ранее.

Следуя общепринятой методике, получим:

где

При установившемся движении с малым коэффициентом неравномерности можно принять coi ~ со_ср, Z ~ 0. Тогда после преобразований и упрощений уравнения (4.7) проекция ускорения асх примет вид:

Определим проекции главных векторов сил инерции и главные моменты сил инерции, заметив, что a_Cv — 0, е₃ = 0 (рис. 4.6):

Главный вектор сил инерции звена 1 Ф| = -m_xa_S =0, так как asi ⁼ 0, поскольку центр масс Si благодаря противовесу находится на оси вращения А (рис. 4.6).

Как следует из уравнений (4.7) — (4.13), величины главных векторов и главных моментов сил инерции существенно зависят от квадрата угловой скорости wf, начального звена /, что имеет особое значение для быстроходных механизмов.

В уравнении (4.11) приведено приближенное выражение для проекции асху вполне пригодное для практических расчетов применительно к установившемуся режиму. Как видно, эта проекция, а следовательно, и проекция Ф_3у являются функциями нс только угла ф!, но и двойного угла 2q>j. Поэтому первое слагаемое в выражении силы инерции Ф₃ = Ф_3д (если раскрыть скобки) периодически изменяется с частотой вращения звена 1 и называется силой инерции первого порядка. Второе слагаемое периодически изменяется с двойной частотой и называется силой инерции второго порядка.

Расчленив механизм, перейдем к силовому расчету сгрукгурной группы 2−3. К ее звеньям приложены следующие известные внешние силы: F₃, Ф₃, Ф₂ и момент М_ф2 (рис. 4.7, а). Неизвестными являются модуль и направление силы F₁₂, модуль силы F₃₄ и ее плечо b, модуль и направление сил взаимодействия в шарнире С, связанных соотношением F₂₃ = -F₃₂.

Рис. 4.7. Схема усилий структурной группы 2−3.

Сумма проекций на ось х сил, приложенных к звеньям 2 и 3, равна нулю: Следовательно,.

Из уравнения (4.14) определяется проекция f₂ 1, Знаки в этом уравнении, как и во всех последующих, имеют алгебраический смысл. Это значит, что числовые значения известных проекций сил подставляются в уравнения проекций и моментов со строгим соблюдением их знаков. Так, проекция F& имеет знак минус, поскольку сила направлена вниз (рис. 4.7, а). Модуль и направление силы F, надо взять из исходных данных. Величины и знаки проекций Ф_1х и Ф_3д определяются в результате расчетов по уравнениям (4.9), (4.7) и (4.12).

Сумма гтоекций на ось * сил, приложенных к звену 5, равна нулю: , или.

откуда определяем проекцию F_i2x.

Для определения проекции F^y используем уравнение моментов для звена 2 (относительно точки В) Отсюда.

В этом уравнении

Модуль силы F₂3, нагружающей шарнир С, найдем из уравнения:

а угловую координату (р/^₃ вектора F₂$ — через sin <�р_га и cos (р/^э, именно:

Сумма проекций на ось ^ сил, приложенных к звену

или.

откуда определяем проекцию F_2y, а затем и модуль силы F_2]

Найдем угловую координату (р/^ вектора Fix

Из уравненияпроекций на ось у сил, приложенных к звену 3, равна нулю:

Найдем проекцию F_34y. Ее абсолютная величина покажет модуль, а знак — направление силы F₃₄, приложенной к ползуну 3 от стойки 4.

Плечо b = 0, так как согласно уравнению моментов для звена (относительно точки Q или (рис. 4.7, а).

Таким образом, для структурной группы 2−3 были использованы шесть уравнений (4.14) — (4.19), из которых были определены все неизвестные.

На рис. 4.7, б представлен план сил, приложенных к звеньям структурной группы. Этот план наглядно показывает, насколько важно учитывать влияние ускоренного движения звеньев. Если им пренебречь, т. е. принять силы инерции Ф₂ и Ф₃ равными нулю (рис.

4.7, в), то такой неучет приведет к заниженным значениям сил в кинематических парах (сил F₂, F₃₂, F₃₄), что особенно проявится в механизмах быстроходных машин.

Перейдем к силовому расчету первичного механизма, составленного из подвижного звена 1 и стойки 4 (рис. 4.8). К звену 1 приложены ставшая известной сила F_]2 =-F₂, момент М₉ направленный согласно заданию (рис. 4.6) по часовой стрелке, главный момент сил инерции Mi и | и неизвестная по модулю и направлению реакция f₁₄ стойки. Напомним, что главный вектор сил инерции Ф₍ = 0.

У.

Рис. 4.8. Схема усилий первичного механизма.

Поскольку ! = 0, уравнения проекций сил, приложенных к звену У, т. е. приобретают такой вид:

откуда

Составим уравнение моментов для звена У относительно точки А:

Момент M_a(f_x>) подставляется в уравнение с тем знаком, который он получает при подсчете по формуле M_a(f₁₂) = F_2yl_AB cos Ф1 — F2xIab sin.

Уравнение (4.22) является контрольным, поскольку все три слагаемых в его левой части известны. Однако оно может быть и расчетным, например, когда силовой анализ выполняется для механизма, движущегося в установившемся режиме с малым коэффициентом неравномерности. В этом случае момент М_ф обычно неизвестен и его надо определить из уравнения (4.22). Момент А/_ф| может иметь значительную величину, что весьма существенно для расчета главного вала машины (звена У) на прочность.

При малой неравномерности вращения звена У его угловое ускорение Е в начале расчета часто не определяют, поскольку оно весьма мало. Однако принять вследствие этого Л/_ф1 = -&J_A ~ 0 никак нельзя. Неравенство момента М_ф нулю вытекает из уравнения (4.22), поскольку моменты М и M_A(F₂) заведомо неравны и сильно отличаются друг от друга. Большое значение М_ф при очень малом значении Gi объясняется следующим: чем с меньшим угловым ускорением Ei должно вращаться звено /, тем большим должен быть момент инерции J_A этого звена; поэтому произведение весьма малой величины Е на весьма большую J_Ay т. е. |ej J_A = М_ф, отнюдь не мало.

Определим силовые факторы, нагружающие корпус машины и ее основание. Рассмотрим стойку кривошипно-ползунного механизма (рис. 4.9). Конструктивно это корпус машины, который устанавливается на специальном основании. Если машина — автомобильный ДВС, то таким основанием будет рама автомобиля, если — стационарный компрессор или пресс, то — фундамент, на котором установлен компрессор или пресс и т. д.

Рис. 4.9. Схема стойки кривошипно-ползунного механизма.

К стойке 4 приложены следующие силы и моменты (рис. 4.9, а): ставшие известными воздействия звена 1 F₄₁ =—и звена 3 F₄з =-/^4, сила F_4p =-F$, зависящая от рабочего процесса машины, и, наконец, реакция основания, представленная в виде двух силовых факторов, а именно — неизвестного, но модулю и направлению главного вектора F₄ и неизвестного главного момента М₄. Условимся определять величину главного момента Л/₄, полагая, что линия действия главного вектора F₄ проходит через точку А. Напомним, что в перечисление сил, действующих на стойку, как и ранее условно не включена ее сила тяжести.

Если силовой расчет выполняется для кривошипно-ползунного механизма поршневой машины (насоса, компрессора, детандера, ДВС и т. п.), то сила F_4p является силой давления рабочего тела (жидкости, газа), находящегося внутри цилиндра Ц, на его крышку К (рис. 4.9, б). Если кривошипно-ползунный механизм — главный механизм пресса или станка, то силой /^является то воздействие, которое обрабатываемое изделие оказывает на стол пресса или станка.

Составим векторное уравнение равновесия стойки.

представленное графически на рис. 4.9, в. Используя соотношения.

, получим Но из плана сил (рис. 4.7, б) следует:

Поэтому или в проекциях:

F₄ = —Ф₂у • Отсюда определяем и угловую координату ф/.₄ вектора

Сила F₄з создаст относительно точки А момент M_A(F₄₃) (рис. 4.9, а). Уравновешивает его только реактивный момент М₄, действующий от основания на корпус (на стойку), так как остальные силы, прило-женные к стойке, момента относительно точки А не создают. Момент M_A(F₄3) стремится опрокинуть корпус машины. Величину момента М₄, препятствующего этому опрокидыванию, определим из уравне-ния равновесия стойки M_A(F_47>) + М₄ = 0, откуда.

М₄ = - F^yl_АС [см. уравнение (4.6)].

Опрокидывание испытывает корпус и компрессора, и ДВС, и электродвигателя, т. е. любой машины, независимо от того, какой рабочий процесс в ней протекает. Опрокидывание испытывает также любой передаточный механизм. Поэтому машину и передаточный механизм всегда надо надежно закреплять на их основании. Конструктивное исполнение этого закрепления и методика его расчета излагаются в курсе «Детали машин» и в специальных машиностроительных курсах.

Выразим искомый момент М₄ по-иному. Для этого составим уравнение моментов относительно точки А для всех четырех звеньев (рис. 4.7, а; 4.8; 4.9, а), т. е. для механизма в целом. Заметим, что моменты сил взаимодействия F₂₃ и F₃₂ в шарнире С равны и противоположны друг другу (рис. 4.7, а), а потому в уравнение моментов не войдут. То же самое относится к моментам сил взаимодействия во всех остальных кинематических парах, т. е. сил, являющихся внутренними для механизма в целом. Следовательно, в уравнение войдут только моменты сил и пар сил, приложенных к механизму извне (рис. 4.9, б). Поэтому для механизма в целом оно примет вид:

Из выражения (4.23) следует, что величина искомого момента М₄ определяется внешним активным моментом Л/_ь приложенным к валу машины (т.е. к звену 1 механизма), а также влиянием ускоренного движения звеньев. Это влияние численно оценивается посредством момента главного вектора и главных моментов сил инерции, поскольку силовой расчет проводится методом кинетостатики (формула 4.1).

Определим, какое давление на свое основание (фундамент) оказывает машина, механизмом которой является кривошипноползунный. Систему нагружения основания со стороны машины можно свести к главному вектору F₀ = -F₄, линия действия которого проходит через точку А (ось вращения звена /, т. е. вал машины), и к главному моменту М₀ = —М₄ (рис. 4.9, г).

Проекции главного вектора F_a на оси х и у:

Главный момент M_Q выразится так:

В уравнениях (4.24) — (4.26) буквами Фу и М_ф? обозначены общий главный вектор (через его проекции) и общий главный момент системы сил инерции всех подвижных звеньев механизма. Члены.

Ф_уУ Мд (Ф) входят в состав этих уравнений в том случае, когда центр масс звена 1 не находится на его оси вращения; слагаемые Фъу= о, М_А(ф_ъ)= О (рис. 4.7, а), М_ф} = 0 [см. уравнение (4.13)].

Как видно из уравнений (4.24) и (4.25), главный вектор F₀ вычисляется посредством сил инерции, а это указывает на то, что он есть результат ускоренного движения всех подвижных звеньев механизма, т. е. имеет динамическую природу. Отмстим, что на основание машины передастся также воздействие ее силы тяжести и в ряде случаев воздействия других активных сил (например, сил затяжки фундаментальных болтов), которые в силовом расчете не рассматривались. Следовательно, в общем случае главный вектор F₀ содержит две составляющие: во-первых, динамическую составляющую, вызванную ускоренным движением звеньев механизма, и, вовторых, составляющую, вызванную действием активных сил.

Главный момент М₀ в общем случае складывается также из двух составляющих: во-первых, из динамической составляющей, являющейся результатом ускоренного движения звеньев [см., например, квадратные скобки в уравнении (4.26)], и, во-вторых, из составляющей, вызванной действием активных сил и моментов.