Дифференциальные уравнения

Задания

Задание 1

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение:

Сделаем чертеж:

Из чертежа видим, что предел интегрирования по у [0; 1], покажем это:

Найдем предел интегрирования по х:

Также можно найти сумму:

предел интегрирования по у [0; 1], покажем это:

Найдем предел интегрирования по х:

Задание 2

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение:

Сделаем чертеж области D:

Расставим пределы интегрирования:

Задание 3

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение:

Сделаем чертеж:

— графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы

(0; 32) — координаты вершины параболы.

— графиком функции является прямая.

Найдем точки пересечения прямой и параболы:

(8; - 32) и (-4; 16) — координаты точек пересечения графиков функций.

На промежутке [-4; 8]

Вычислим площадь фигуры с пределами интегрирования а=8 и b=-4.

Ответ:

Задание 4

Вычислить:

Решение:

Сделаем чертеж области D:

Расставим пределы интегрирования:

Задание 5

Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

Решение:

Сделаем чертеж:

Из чертежа видим, что предел интегрирования по у:

Из чертежа видим, что предел интегрирования по х:

предел интегрирования по z:

Ответ:

Задание 6

Вычислить криволинейный интеграл

где L — путь, соединяющий точки, А (0; 0) и В (2;

2) по

Решение: х=у, dx=dy

Задание 7

Вычислить криволинейный интеграл

где L — ломаная, соединяющий точки О (0; 0) А (2;

1) и В (2; 0) по

Решение:

ОВ, ВА

На участке ОВ принимаем за параметр ординату, при этом х=2, dx=0, на участке ВА, абсциссу, при этом у=1, dy=0.

Задание 8

Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции

. Найти функцию

Решение:

Задание 9

Вычислить криволинейный интеграл

где L — ломаная, соединяющий точки, А (2; 0) В (2;

2) и В (0;2)

Решение:

Разбиваем замкнутый путь СВАС на три участка СВ, ВА, АС

На участке СВ принимаем за параметр ординату, при этом у=2, dу=0, на участке ВА, абсциссу, при этом х=2, dх=0, на участке АС ординату, при чем — —-х+2=у, х=2-у, — dx=dy

Задание 10

Вычислить длину дуги одной арки циклойды

Решение:

Задание 11

1. Вычислить длину дуги цепной линии

Решение:

Сделаем чертеж:

Вычислим длину дуги кривой по формуле:

— такой интеграл я не умею считать

Задание 12

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Ответ:

Задание 13

Решить задачу Коши

Решение:

дифференциальное уравнение функция координата Для отыскания частного решения найдем С Ответ: