Неортонормированные фундаментальные системы функций оператора Лапласа

Спектральная теория дифференциальных операторов является одним из важнейших разделов анализа как с точки зрения общей теории, так и приложений к практическим задачам математической физики. Основу ее заложили классические труды Ж. Лиувилля, Ш. Штурма, Д Гильберта, В. А. Стеклова, Д. Биркгоффа и Я. Д. Тамаркина Значительный вклад в развитие спектральной теории внесли работы С. Бохнера, Э. Ч. Титчмарша, Л. Гординга, С. Феффермана, Б. М. Левитана, В. А. Ильина, А. Г. Костюченко, И. М. Гельфанда и многих других математиков.

Вопросы спектральной теории обычно рассматриваются для дифференциальных операторов, подчиненных определенным краевым условиям. В 1968 году В. А. Ильиным [1] было введено понятие фундаментальной системы функций оператора Лапласа во внутренней подобласти Q N-мерной области Q С Ел', никак не связанное с какими-либо краевыми условиями.

Пусть задана система решений {ип}, п = 1,2,. уравнения Гель-мгольца.

Aun + niin = 0, Ап > 0 (0.1) в области Q. Система функций {ип} называется фундаментальной в L2(H), если для любого п для некоторого ортонормированного базиса {йп} в L^i^t). В рамках этого понятия В. А. Ильиным была построена универсальная теория, позволившая при изучении спектральных разложений отказаться от задания краевых условий конкретного вида. В частности, разработанная им техника охватывает все самосопряженные неотрицательные расширения оператора Лапласа с чисто точечным спектром на числовой прямой. Итог этой теории был подведен в монографии В. А. Ильина [2].

Развитая В. А. Ильиным теория опирается, в сущности, на два следующих основных свойства фундаментальной системы функций. Первое из них — формула среднего значения решений (0.1). Если шар В (х, г) радиуса г с центром в точке х содержится внутри О, то справедливо равенство j ип (х + ru) diJ = (2-)Ли"1.п[г./К) — л' :'./л 2. ->1г/к<) — (0.3).

М=1 где Ju{x) означает функцию Весселя первого рода порядка v, a dco есть элемент площади единичной сферы в RN.

Второе свойство фундаментальной системы функций — вытекающее из определения (0.2) равенство Парсеваля.

2 = Ы2, <�реь2(п), (0.4) п где (,) и | • | означают, соответственно, скалярное произведение и норму в L2(0).

Пользуясь только этими двумя свойствами, В. А. Ильин устанавливает точные по порядку оценки как сверху, так и снизу некоторых определенных сумм квадратов функций ип (х) на каждом компакте /ICQ. Прежде всего, для любого /1 > 1 функция в{хФ1)=? u2n (x) = 0(1К (0.5) равномерно по х Е Qr и непрерывна в области Q. Здесь и ниже под Qr понимается множество всех точек х Е Q, расстояние которых до границы 8Q больше R. Отсюда, в частности, следует, что при а> N/ 2 X-aul (x) Е С (П). а&bdquo->1.

Более существенную роль играет установленная В. А. Ильиным равномерная по х Е Од оценка ц+1 j de{x, t2) = o (i)nN~ (о.б) точная в том смысле, что справедлива оценка снизу ц+Т.

С j d9(x, t2) > /Iм-1, /1 > 2 Т, (0.7) fi'-T где положительные постоянные С и Г зависят только от R.

Эти оценки позволяют сделать ряд важных заключений об асимптотике по Л числа п (Х) собственных значений Хп < А .

В.А.Ильиным, с помощью разработанной им техники, были получены исчерпывающие окончательные по точности результаты о равномерной сходимости (на компактных подмножествах в Q) в классах Соболева-Лиувилля [3] спектрального разложения р = ^2(р, ип) ип (0.8) п по фундаментальной системе функций. Аналогичные результаты были установлены и для средних Рисса.

Efr)(х) = Е f1 — у) (^"пКМ, * > 0- (0.9) а&bdquo- < а ^ ' они опираются на соответствующие оценки спектральной функции.

6{х, у, А) = Y, f1 — у) Un (x)un (y). (0.10) ап <а '.

Окончательный центральный результат В. А. Ильина выглядит следующим образом. Пусть LP}q (Q) обозначает класс всех функций р, обращающихся в нуль вне некоторого компакта К С Q и принадлежащих пространству Соболева-Лиувилля RN). Теорема (В.А.Ильин [2]) (а) Если peL%fi (n), а + s > (N — 1)/2, pa>N, р> 1, (0.11) то —р при, А —> +оо равномерно в Qr для любого R > 0. (Ь) Если р = 0 в окрестности компакта К С О и реЬ%0(П), a + s > (N — 1)/2, (0.12) то Esx 0 при X -—+ос равномерно на К. с) Если, а + s < (N — 1)/2. то для любой точки € О найдется такая функция if?. что tp{x) = 0 в окрестности х0 и.

Пт ЕЦхо) = оо. (0.13).

А—>+оо.

В дальнейшем теория В. А. Ильина развивалась по многим направлениям. В самой монографии [2] установлено, что привлечение известной теоремы Гординга-Браудера-Маутнера об упорядоченном представлении пространства L2 позволяет перенести основные результаты на случай любого самосопряженного неотрицательного расширения оператора Лапласа с произвольным точечным или непрерывным спектром.

Кроме того, известная формула Е. И. Моисеева [5] о среднем значении регулярных решений эллиптических уравнений со спектральным параметром позволила распространить эту теорию с оператора Лапласа на случай общих эллиптических операторов второго порядка [6]. Эта теория получила также развитие и для случая некоторых эллиптических операторов и систем высокого порядка [7].

Положенное В. А. Ильиным в основу определения фундаментальной в L2(0) системы функций свойство образовывать ортонормиро-ванный базис в более широкой области О использовалось, по существу, лишь в том смысле, что так определенная система функций удовлетворяет равенству Парсеваля (0.4) в области О. Поэтому за основу определения фундаментальной системы функций можно взять именно свойство системы функций удовлетворять в некоторой области П равенству Парсеваля, не прибегая к ортонормиро-ванному базису {мп} в более широкой области Q. Как установлено А. М. Олевским [8, 9], наличие равенства Парсеваля в Q в определенном смысле и достаточно для существования ортонормированного базиса {йп} в со свойством (0.2). Более точно, им получены необходимые и достаточные условия для указанного продолжения функций {ип} до ортонормированного базиса в Q .

Все связанные с ортонормированностью и базисностью понятия удобно описывать в терминах линейного оператора Р: L2(f2), определяемого равенствами.

Р<�р)п = (<�р, ип), п = 1,2,. (0.14).

Если для системы {wn} оператор Р ограничен, то существует и сопряженный оператор Р*: /2 —>¦ ^(0). переводящий элемент еп естественного в /2 базиса (то есть системы векторов вида ег = (1.0,.), е2 = (0,1,. .), .) в вектор ип Е Ь2(П). Как показано в § 2, целый ряд различных свойств системы можно характеризовать с помощью этих двух операторов: система {ип} ортонормирована РР* = 1- обладает свойством (0.4) Р*Р = 1- полна Ker Р = 0: минимальна =ФКегР* = 0.

Система понимается минимальной, если ни одна из ее функций не входит в замыкание линейной оболочки остальных элементов этой же системы.

Предполагая оператор Р в (0.14) ограниченным, теорему A.M.Оле-вского [8, 9] в терминах Р, Р* можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Пусть область О содержит, Q и лебегова мера множества QQ отлична от, нуля. Если система {ип} полна в P2(fi) и РР* является проектором в 12 с бесконечномерным ядром, то существует. ортонор мир о ванный базис {йп} в Р2(П) со свойством, (0.2).

Из полноты системы {ип} следует, что КегР = 0. В частности, область значений ImP* плотна в Ь2, так что равенство (РР*)(РР*) = РР*, переписанное в форме Р (РР* - 1) Р* = 0, влечет Р*Р = 1. В свою очередь, последнее равенство означает, что для системы {ип} в Р2(П) справедливо равенство Парсеваля (0.4). Таким образом, результат А. М. Олевского можно переформулировать так.

Теорема. Пусть область О содержит, Q и лебегова мера множества Q, Q отлична от нуля. Если сист, ема {мп} в P2(Q) обладает свойством (0−4) и ядро Ker Р* бесконечномерно, то существуетортонор мир о ванный базис {йп} в Р2(П) со свойством (0.2).

Возникает вопрос, в какой мере основные результаты В. А. Ильина сохраняют свою силу, если в определении фундаментальной системы функций {ип} ортонормированный базис {йп} в Р2(П) заменить на базис: Рисса. Исследование этого вопроса и составляет предмет диссертационной работы. Полученные результаты позволяют, в частности, охватить в рамках расширенной теории В. А. Ильина и некоторые несамосопряженные расширения оператора Лапласа (не допускающие, впрочем, присоединенных собственных функций).

В главе I диссертационной вводится понятие неортонормирован-ных фундаментальных систем функций и детально изучаются свойства таких систем.

В носящем вспомогательный характер § 1 излагаются общие свойства односторонне обратимых операторов, большая часть которых хорошо известна [11].

В § 2 вводится основное в данной работе определение — определение неортонормированных фундаментальных систем функций. При дальнейшем рассмотрении этих систем активно используются свойства односторонней обратимости операторов.

Как показано в § 2, совершенно аналогично ортонормированному случаю свойство базисности по Риссу в L2(Q) системы {йп} приводит к справедливости в Ь2(О) двусторонней оценки.

С-'М* < ^2(<�р, ип) < С2М2, v G Ь2(П) (0.15) п с некоторой постоянной С > 1, не зависящей от ср Е L2{Vt) ¦ Именно эта оценка была положена нами в основу определения обобщенной (или неортонормированной) фундаментальной системы функций {ип} в ь2(п).

В терминах односторонне обратимых операторов наличие оценки (0.15) можно выразить кратко требованием обратимости слева оператора (0.14).

Основным содержанием § 2 является доказательство аналога теоремы Олевского (в указанном выше варианте) для неортонормированных фундаментальных систем функций.

Теорема 2.3. Пусть область Q содержит Q и лебегова мера, множества Q О отлична от нуля. Пусть система {ип} в L2(Q) удовлетворяет условию (0.15). оператор Р ограничен и ядро КегР* бесконечномерно. Тогда существует базис Рисса {йп} в L2(Q) со свойством (0.2).

В § 3 главы I вводится важное понятие сопряженной фундаментальной системы функцийв случае ортонормированных базисов {йп} необходимость введения сопряженных систем не возникает. Обратимые операторы в L2(Q) переводят фундаментальные системы функций в фундаментальные. Примером подобного оператора может служить произведение Р*Р. В соответствии с этим система vn = {P*P)~1un, п = 1,2,. (0.16) будет фундаментальной, она называется системой, сопряженной к wn}. Заметим, что свойство сопряженности взаимно. Важность введенного понятия заключается в разложении ч> = ^fe^nH.

0.17) в смысле сходимости в L2 любой функции у Е L2(0). В случае, когда {ип} является базисом Рисса, система {vn} образует биортогональ-ный к нему базис. В общем случае сопряженность является аналогом свойства биортогональности.

1. Ильин В. А. Проблемы локализации и сходимости для рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа. // Успехи мат. наук. — 1968. — Т.23, 2. -С.61−120.

2. Ильин В. А. Спектральная теория дифференциальных операторов. М.: Наука, 1991.

3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

4. Данфорд П., Шварц Дж. Т. Линейные операторы, ч. 2 (Спектральная теория). М.: Мир, 1966.

5. Моисеев Е. И. Формула среднего для собственных функций эллиптического самосопряженного оператора // Дифференц. уравнения. 1971. — Т.7, 8. — С.1490−1502.

6. Ильин В. А., Моисеев Е. И. О спектральных разложениях, отвечающих произвольному неотрицательному расширению общего самосопряженного эллиптического оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1971. — Т. 191, 4. — С.770−772.

7. Ильин В. А., Шишмарев И. А. Ряды Фурье по фундаментальным системам функций полигармонического оператора // Докл. АН СССР. 1969. — Т.189, 4. — С.707−709.

8. Олевский A.M. О продолжении последовательности функций до полной ортонормированной системы. // Мат. Заметки. 1969. -Т.6, 6. — С.737−747.

9. Солдатова М. А. Об одном обобщении ортонормированных фундаментальных систем функций (в смысле В.А.Ильина) для оператора Лапласа. -Тезисы докладов Межународной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам Суздаль, 2000. С. 185.

10. Солдатова М. А. Об одном обобщении фундаментальной системы функций оператора Лапласа//Дифференц. уравнения.-2001.-Т.37, No4, С.529−537.

11. Солдатова М. А. Некоторые оценки для неортонормированных фундаментальных систем функций оператора Лапласа //Доклады РАН.-2001.-Т.377, No5, С.10−16.

12. Солдатова М. А. О некоторых точных по порядку оценках для неортонормированной фундаментальной системы функций (в смысле В.А.Ильина) для оператора Лапласа //Дифференц. у равнения.-2002.-Т.38, No4, С.516 520.См. также:

13. Солдатова М. А. О равномерной сходимости спектральных разложений по неортонормированным фундаментальным системам функций оператора Лапласа //Дифференц.уравнения (в печати).