Потенциальное течение идеальной жидкости. 
Парадокс Даламбера — Эйлера

В силу теоремы Томсона в идеальной жидкости вихревое движение самопроизвольно не возникает и не исчезает. Поэтому, если в начальный момент времени всюду в жидкости выполняется условие rotv = 0, то оно будет выполняться и в дальнейшем. Как уже говорилось, течение, для которого rotv=0, называется безвихревым. Вместе с тем из курса математики известно, что произвольный вектор А, для которого выполняется условие rot А= 0, может быть представлен в виде, А = grad Ф, где Ф — некоторая скалярная функция, называемая потенциалом вектора А. Поэтому безвихревое течение называют еще потенциальным. Мы будем использовать эти два понятия как синонимы.

Рассмотрим безвихревое течение несжимаемой идеальной жидкости и представим ее скорость в виде.

Использование этой формы для скорости оказывается очень удобным для решения многих задач. В самом деле, подставляя ее в уравнение несжимаемости divv=0 и учитывая известное математическое соотношение div grad = А, где V — оператор Лапласа, приходим к уравнению Лапласа для потенциала скорости:

В отличие от уравнения Эйлера (12) уравнение Лапласа — линейное, поэтому с математической точки зрения оно намного проще для решения. Решив его и найдя затем скорость v, мы можем найти давление р, воспользовавшись алгебраическим уравнением Бернулли (20), после чего задача о течении идеальной жидкости будет полностью решена.

В качестве примера использования метода потенциала скорости рассмотрим задачу об обтекании однородным потоком идеальной несжимаемой жидкости неподвижной твердой сферы и найдем силу взаимодействия между потоком и этой частицей.

Пусть неподвижная твердая сфера радиуса R находится в потоке идеальной жидкости, скорость которой на бесконечном расстоянии от сферы однородна и равна v_Q (рис. 7).

Рис. 7.

Очевидно, поскольку скорость натекающего потока однородна, на бесконечном расстоянии от сферы течение жидкости безвихревое (rotv= 0). Следовательно, по теореме Томсона оно будет

безвихревым и во всем своем объеме, в том числе вблизи сферы. Поэтому мы можем представить скорость течения в виде (26), получив для потенциала Ф уравнение Лапласа (27).

При решении подобных задач очень важно выбрать наиболее удобную систему координат. Мы будем решать уравнение (27) в сферической системе координат с началом в центре сферической частицы и полярной осью, направленной вдоль скорости v₀. В этой системе координат радиус-вектор произвольной точки имеет координаты г = (г, 0, ср), где г — расстояние от этой точки до начала координат (т. е. до центра шара); 0 — угол между радиусом-вектором и полярной осью Oz, которая в нашем случае направлена вдоль скорости v₀; ф — азимутальный угол, не показанный на рис. 7, задающий отклонение радиуса-вектора г от плоскости рисунка. Скорость течения в этой системе координат имеет компоненты v = (v_r, v₀, v). Радиальная компонента v соответствует движению жидкости вдоль оси г от центра частицы. Компонента v₀ описывает движение по касательной к окружности радиуса г в сторону увеличения угла 0, компонента — в сторону увеличения угла ф.

Хорошо известно, что дифференциальное уравнение в частных производных (в нашем случае — уравнение Лапласа (27)) может быть решено только в случае, если для него сформулированы граничные условия. Эти условия должны соответствовать физической стороне решаемой задачи. В нашем случае граничные условия к уравнению (27) имеют вид.

Первое из этих условий означает, что при удалении от частицы в декартовой системе координат с осью Oz, направленной вдоль скорости v₀ натекающего потока, выполняется следующее условие: grad Ф—> (0,0, v₀). При этом учитывается очевидное соотношение между декартовыми и сферическими координатами радиуса-вектора z — r cos 0. Второе из соотношений (28) означает, что радиальная компонента скорости v_r = сФ / дг на поверхности частицы должна быть равна нулю, что означает непроницаемость частицы для жидкости, а также ее недеформируемость.

В сферической системе координат уравнение Лапласа (27) имеет вид.

Из соображений симметрии следует, что потенциал Ф не может зависеть от угла ф — все значения этого угла равноправны. Это позволяет упростить уравнение (29), переписав его в виде.

Существуют общие методы решения уравнения Лапласа, как в сферической, так и в других ортогональных системах координат. Однако они несколько громоздки. Здесь, чтобы решить поставленную задачу, мы используем наводящие интуитивные соображения, позволяющие существенно упростить вычисления.

Представим искомый потенциал в виде Ф = Ф" + Ф', где Ф₀ = V_orcos0 — невозмущенный потенциал натекающего потока, а Ф' соответствует возмущению, вносимому частицей в течение жидкости. В силу второго граничного условия (28) на поверхности частицы потенциал Ф' должен зависеть от угла 0 как cos 0. Поэтому будем искать потенциал Ф' в виде Ф' = /(г)cos 0, где /(г) — функция, которую предстоит найти. Заметим, что уравнение Лапласа для невозмущенного потенциала Ф₀ выполняется тождественно. Поэтому должно быть справедливо уравнение ДФ' = 0. Подставляя Ф' = /(г)cos0 в уравнение (30) вместо Ф, после простых вычислений получаем

Уравнение (31) является однородным уравнением Эйлера. Его решение:

где А и В — постоянные интегрирования. По смыслу задачи Ф' —> О при /• —" оо. Поэтому А = 0.

Второе уравнение (28) может быть записано в виде.

Подставляя сюда соотношение (32) и учитывая А = 0, полу- «v₀/?³ _л

чаем В = ——. Окончательно 2

Используя известные формулы для компонент вектора градиента в сферической системе координат, приходим к следующим выражениям для компонент скорости жидкости:

Давление р (г) найдем, воспользовавшись уравнением Бернулли (20). Обозначив р_и давление на бесконечном расстоянии от частицы, имеем

В частности, на поверхности частицы, т. е. при г = R,

Найдем теперь силу, действующую со стороны потока на частицу. Для этого на поверхности частицы выделим элементарную площадку с площадью dS. Сила, действующая со стороны жидкости на площадку, имеет единственную радиальную компоненту.

Знак «минус» возникает потому, что нормальная компонента силы давления направлена из жидкости внутрь частиц, в то время как положительная радиальная компонента любого вектора в сферической системе координат направлена по радиусу-вектору г, т. е. изнутри наружу частицы.

Чтобы найти полную силу, действующую на частицу, нужно проинтегрировать силу, действующую на элементарную площадку по поверхности частицы. Однако при этом нужно иметь в виду, что при перемещении вдоль поверхности частицы направление радиальной компоненты силы меняется вместе с направлением радиуса-вектора г. Корректно складывать проекции силы на оси, направление которых при интегрировании вдоль поверхности не меняется. Такими осями являются оси в декартовой системе координат. Так, компонента элементарной силы на направление скорости натекающего потока равна:

Элементарная площадка в сферической системе координат dS = R² sin 0с/0с/ср, причем 0 < 0 < л, 0 < ф < 2л. Учитывая, что давление р не зависит от угла ф, получаем.

Подставляя сюда p® в виде (35), получаем F_ = 0. Из соображений симметрии следует, что компоненты F , полной силы в направлении, перпендикулярном v₀, заведомо равны нулю.

Таким образом, приходим к выводу, что однородный стационарный поток нс оказывает воздействия на частицу. Очевидно, это означает также, что частица, движущаяся с постоянной скоростью в идеальной жидкости, нс испытывает со стороны жидкости никакого сопротивления. Полученный результат находится в вопиющем противоречии с жизненным опытом и называется парадоксом Даламбсра — Эйлера. Мы пришли к этому парадоксу, рассматривая простейший случай сферической частицы, однако можно показать, что он справедлив для частицы любой формы [5]. Объяснение этого парадокса состоит в том, что взаимодействие частицы с обтекающим ее однородным потоком жидкости определяется вязкими силами, которыми в модели идеальной жидкости пренебрегается. В следующих разделах мы рассмотрим задачи о взаимодействии твердых частиц с вязкими жидкостями. Забегая вперед отметим, что, хотя приближение идеальной жидкости и не позволяет рассчитать силу взаимодействия между частицей и потоком реальной вязкой жидкости, оно позволяет рассчитать скорость и давление в этом потоке вблизи частицы. А это решение часто является необходимым для расчета силы взаимодействия.