Вязкоупругость. 
Прикладная гидродинамика

В § 11 мы отмечали, что уравнение (57) является общим для всех движущихся сред. Природа конкретного вещества проявляется в связи между тензором напряжений ст и скоростью его деформационного движения. Соотношение (58) является простейшим вариантом такой связи, справедливым для ситуаций, когда изменение скорости деформации вызывает мгновенное изменение напряжения и наоборот. Мы уже отмечали, что на самом деле реакция вещества на изменение скорости течения или напряжения происходит нс мгновенно, а в течение какого-то конечного времени. Если эго время пренебрежимо мало, реакцию можно считать мгновенной. Если нет — необходимо учитывать эффекты запаздывания. Вещества, для которых существенны эти эффекты запаздывания, называются вязкоупругими. Вязкоупругими средами являются многие полимеры, особенно — биополимеры, коллоидные среды, микроэмульсии и многие другие вещества. В этой главе на простейших примерах мы обсудим типичные свойства вязкоупругих сред.

Будем рассматривать изотропную среду, движущуюся в направлении оси х по закону v_x(t) = y (t)z. По-прежнему будем предполагать, что связь между напряжением о и скоростью деформации у линейна. Для ньютоновских жидкостей имеем с (/) = г|у (0- В случае, если связь между изменениями о и у не мгновенна, общее линейное соотношение между этими величинами может быть записано так:

Явный вид интегральных операторов G_r и G_; определяется молекулярной структурой вещества. Он может быть определен из экспериментов или теоретически, методами статистической физики. Здесь мы будем полагать, что этот вид известен.

Применим к (131) экспоненциальные преобразования Фурье по времени. Используя известную теорему о свертке, получаем.

G_a(co)a_M = G_y(co)Y_M. (132).

Здесь со — фурье-частота. Опыт показывает, что для многих веществ G_a(со) и G_v(co) с хорошей точностью могут быть представлены в виде G_ay(co) = G"_y(l + /coT_CTy), где i — мнимая единица; G" _х = const, а т_{а у} — некоторые величины, имеющие размерность времени. Их содержательный смысл мы обсудим несколько позже. Используя эти соотношения для G_ay(w), уравнение (132) можно записать в виде

где Г| = G_y° / G®.

Применяя к последнему соотношению обратные преобразования Фурье, получаем.

Уравнение (133) называется уравнением Олдройда. В частном случае, когда т_у = 0, оно называется уравнением Максвелла. В случает_а = О — уравнением Фойгх га. Рассмотрим подробнее уравнение Максвелла.

Предположим, что до некоторого начального момента времени среда покоилась, следовательно, выполнялось условие ст, у = 0. Пусть в момент времени t = 0 скорость сдвига скачком возрастает от нуля до постоянного значения у. Интегрируя (134), получаем.

Если t «: т_п, напряжение линейно возрастает со временем. Если /» т₀, напряжение практически равно стационарному значению цу, характерному для ньютоновских жидкостей.

Линейное изменение напряжения со временем при постоянной скорости деформации присуще упругим средам. Действительно, рассмотрим, например, кусок упругой резины или обычную пружинку. Для них выполняется закон Гука / = А'5/, где 8/ — относительное удлинение; /— сила упругости; к — коэффициент упругости вещества. Допустим, что резинка (пружинка) удлиняется с постоянной скоростью v, т. е. 8/ = vt. Тогда из закона Гука / = kvt. Поскольку по определению напряжение является силой, действующей на единичную площадку внутри вещества, получаем, что напряжение о пропорционально времени t. Аналогично деформации растяжения линейная зависимость напряжения от времени выполняется и при сдвиговой деформации.

Таким образом, т_п является временем, в течение которого происходит переход от упругого к жидкому поведению среды. Эго время называется временем релаксации напряжения. Вещества, описываемые уравнением Максвелла (134), на малых после деформации временах ведут себя как упругие среды, на больших — как вязкие, что и оправдывает их название — вязкоупругие среды.

Аналогично соотношению (135) уравнение Фойгхта.

при ступенчатом изменении напряжения о приводит к следующей зависимости скорости деформации от времени:

юо Отсюда видно, что т является временем, в течение которого происходит изменение скорости деформации от нуля до стационарного значения о/р, характерного для ньютоновских жидкостей. Это время называется временем ретардации.

Вернемся теперь к уравнению Олдройда (133). Предположим, что в начальный момент времени жидкость покоилась, затем в течение короткого отрезка времени, т. е. почти ступенчато, напряжение возрастает от нуля до постоянного значения о. В течение этого промежутка времени производная до/dt имеет большое значение. Если время релаксации т_о не слишком мало, то левая и, следовательно, правая части (133) должны быть большими. Большое значение правой части не может сразу достигаться за счет скорости сдвига у, так как в начальный момент времени эта скорость была равна нулю, а бесконечные ускорения невозможны. Поэтому большая величина правой части (133) должна обеспечиваться большим значением комплекса т_у5у/ dt. При не очень больших временах ретардации т_у большой должна быть производная ду/ dt. Поэтому за короткий отрезок времени скорость сдвига может сильно возрасти и стать больше, чем стационарное ньютоновское значение о/р. После достижения напряжением стационарного значения о производная до / dt становится равной нулю и скорость сдвига у релаксирует к своему стационарному значению, но уже не снизу, как это предсказывается моделью Фойгхта, а сверху. Таким образом, при соответствующих соотношениях между временами релаксации и ретардации скорость сдвига жидкости Олдройда, в отличие от жидкости Фойгхта, с течением времени меняется немонотонно с весьма острым максимумом. Это явление в английской литературе получило название overshoot. Некоторые результаты расчетов динамики изменения у (Г) при различных соотношениях между т_ и т показаны на рис. 21.

Аналогичный вид, но при обратных соотношениях между временами т_о и t_v, имеет динамика изменения напряжения жидкости Олдройда при ступенчатом изменении скорости ее сдвига.

Рис. 21.

Обсудим теперь физическую природу вязкоупругости. Для простоты допустим, что градиент скорости течения среды у в начальный момент времени меняется от нуля до какого-то конечного значения. Сформировавшееся вязкое напряжение о определяется молекулярной структурой вещества, соответствующей этому конечному значению т. Ясно, что структура взаимного расположения молекул в состоянии покоя и при деформационном течении различна. Для перестройки молекулярной структуры требуется какое-то время. Именно это время и определяет время релаксации т_п напряжения к своему стационарному значению. В случае простых жидкостей типа воды это время, как правило, очень маленькое, для большинства ситуаций практически неощутимое, поэтому можно считать, что после изменения у напряжение меняется практически мгновенно. Однако для полимерных сред и других сложных жидкостей время перестройки внутренней структуры может быть весьма существенным. Поэтому такие среды обладают выраженными вязкоупругими свойствами.

Аналогично требуется некоторое время, чтобы сформировалась структура молекул, отвечающая скорости их течения иод действием заданного механического напряжения. Это время определяет время ретардации т₍. Снова для низкомолекулярных жидкостей это время, как правило, очень мало, и им можно пренебречь. Для жидкостей же со сложной молекулярной и надмолекулярной структурой (полимеры, суспензии, коллоиды, мицеллярные растворы и г. д.) время перестройки их внутренней структуры может быть весьма существенным.

В рамках феноменологической теории вязкоупругости характерные времена т_о и т, как и стационарная вязкость г|, считаются известными из экспериментов. Теоретическое определение этих величин является задачей статистической физики.