Статистические методы анализа и оптимизации каналов

Радиоканалы могут иметь произвольное число входов и выходов. Рассматривая радиолинию в составе конкретной радиотехнической системы, для определения ее свойств и параметров целесообразно ограничиться одним источником сообщений и одним получателем информации на выходе. Тогда канал можно представить в виде четырехполюсников. Безусловно, теоретический анализ требуег деления каналов на линейные и нелинейные. Так как к линейным системам применим принцип суперпозиции, а нелинейные нс обладают таким свойством, создаются модели каналов в виде последовательно соединенных четырехполюсников, причем их большая часть является линейными инерционными системами.

В предыдущих главах были рассмотрены методы анализа прохождения сигналов через линейные цепи и принцип оптимальной фильтрации.

Условием устойчивости линейной системы является ограниченность отклика системы во времени на воздействие на входе системы, являющееся ограниченной во времени функцией. Так как рассматриваемая система — линейная устойчивая стационарная система, параметры которой постоянны во времени, к ней применим широко используемый метод анализа, основанный на использовании коэффициента передачи системы АГ (/со), под которым понимают отношение комплексной амплитуды отклика к комплексной амплитуде синусоидального воздействия и который связан преобразованием Фурье с импульсной переходной функцией.

На основе изложенного можно осуществлять определение линейных функций первых двух порядков. Это функции автои взаимной корреляции и спектральных плотностей мощности стационарных и стационарно связанных случайных сигналов в радиоканалах. Например, корреляционная функция стационарного отклика C,(t) канала с постоянными параметрами при подаче на его вход в прсдыдущие моменты времени стационарного воздействия %(/) определяется с помощью выражения.

Соответственно, спектральная плотность мощности отклика G,(co), как это следуег из преобразования Фурье, определяется через спектральную плотность мощности воздействия G_t(со) и коэффициент передачи линейной системы:

В результате статистического анализа каналов должна решаться основная задача — поиск оптимальных устройств, обеспечивающих в соответствии с выбранным критерием наилучшее качество объекта исследований. Исходными сведениями для решения задач такого класса являются следующие: назначение системы, класс анализируемых устройств, характеристики сигнала на входе и предложенные критерии качества. Достаточно решить задачу оптимизации линейных каналов в двух направлениях: максимизировать отношение сигнал/шум на выходе канала и обеспечить оптимальное сглаживание стационарных воздействий.

• Первое направление. Это задача фильтрации дискретного сигнала на фоне шумов. При этом решается задача обнаружения или распознавания сигналов S = sin (/). Их форма на рассматриваемом интервале времени известна и пришли они совместно со стационарной шумовой помехой п = n_m(t), корреляционные свойства которой также известны. Будем использовать критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе системы в виде выражения c/q = S²_nut{T)/M[nl_u,{t), в которое входят значения откликов системы с конечной памятью Т на воздействие полезного сигнала и шумовой помехи, где М-символ математического ожидания. Решение задачи определения импульсной переходной функции оптимальной системы достигается решением интегрального уравнения.

В этом случае величина максимального отношения сигнал/шум на входе системы равна dl =S_oul(T).

Уравнение такого вида упрощенно решается для физически нереализуемых фильтров, для которых пределы интегрирования в выражении (1.18) можно заменить на неопределенные значения. Умножив обе части уравнения на е'" '~ и интегрируя по переменной z в бесконечных пределах, можно получить решение для коэффициента передачи оптимального фильтра:

где |S_t(y.

Из соотношений (1.19) видно, что коэффициент передачи фильтра, максимизирующий отношение сигнал/шум на своем выходе, но модулю, прямо пропорционален спектральной плотности мощности сигнала и обратно пропорционален спектральной плотности мощности шума.

Частным случаем линейного фильтра, максимизирующего отношение сигнал/шум, является согласованный фильтр, оптимальный для задач обнаружения или различения сигналов на фоне белого шума. Его импульсная переходная функция имеет вид.

Уравнение (1.20) следует из выражения (1.18) на основании фильтрующего свойства дельта-функции. Значение отношения сиг;

г нал/шум dl =2Е/N_u равно отношению энергии сигнала E=sf"(t)dt

о к спектральной плотности шума.

• Второе направление. Положим подаваемое на вход линейной системы колебание как сумму двух стационарных и стационарно свя;

зз занных случайных процессов с известными корреляционными характеристиками. Один из этих процессов — полезный сигнал, а другой — шумовая помеха. Будем использовать критерий минимального среднеквадратичного отклонения отклика линейной системы на входное воздействие ^(/) от отклика на воздействие полезного сигнала S (t), при котором минимизируется величина средней ошибки А, которая равна, А = м{[<;(/)-?(/)]"}, где C,(t) — отклик линейной системы на совместное воздействие сигнала и шума. Решением такой задачи является уравнение Винера, определяющее импульсную переходную функцию оптимального фильтра h₀(t):

где R* - функция автокорреляции входного воздействия; R_sl — функция взаимной корреляции между входным воздействием и полезным сигналом. Как было и в первом направлении, простое решение уравнения (1.21) можно получить для физически нереализуемых систем. Результатом такого решения является выражение для коэффициента передачи такой оптимальной, но физически нереализуемой системы: К_{)( /со) = G_s, (со)/G,(со), где G,(со) — спектральная плогность мощности входного колебания. При отсутствии корреляционных связей между сигналом и шумом во входном воздействии величина минимальной среднеквадратичной ошибки определяется, но формуле.

из которой следует, что получить ошибку, равную нулю, можно только в случае неиересекающихся спектров полезного сигнала и шума. В часто используемом частном случае, когда спектр шума равномерен (белый шум), ошибка определяется величиной.

Переходя к физически реализуемым системам, перепишем уравнение (1.21) в виде.

Эта форма записи называется уравнением Винера — Хопфа.

Полную статистическую характеристику отклика канала можно представить, использовав многомерную функцию плотности распределения вероятностей. Строгое аналитическое решение этой задачи при известной многомерной функции плотности распределения вероятностей входного воздействия для линейного канала получено только для гауссовской модели входного сигнала. Однако следует иметь в виду, что, использовав представление любого произвольного распределения входного воздействия в виде смеси гауссовских (полигауссова модель), можно получить решение уравнения оптимальной фильтрации для широкого класса входных воздействий. Так как при анализе радиоканалов невозможно ограничиться только линейными системами, обратимся к нелинейным безынерционным системам. Для безынерционных устройств, включая нелинейные, можно использовать строгое решение, но определению /7-мерной функции плотности распределения вероятностей на выходе при известной «-мерной функции плотности распределения вероятностей и^(5) на входе. Записав прямую и обратную функциональную зависимость отсчетных значений случайных процессов на входе и выходе канала в виде.

в предположении взаимной однозначности прямых и обратных функциональных преобразований / и Ф, можно перейти к записи.

где D — якобиан преобразования координат, представляемый определителем матрицы из частных производных:

На основе выражения (1.25) решаются задачи по определению многомерных функций плотности распределения вероятностей на выходе радиоканалов, включая функции плотности распределения вероятностей огибающих и фаз узкополосных высокочастотных колебаний, распределения случайной частоты, квадрата огибающей и др.