Аналитическое конструирование регуляторов

Аналитическим конструированием регуляторов называется линейное оптимальное регулирование. Оно является частным случаем оптимального регулирования, когда как объект регулирования, так и регулятор предполагаются линейными. Специальное рассмотрение этого класса задач оптимального регулирования обусловливается следующими причинами:

• • многие объекты регулирования удовлетворительно описываются линейными моделями;
• • решение задач линейного оптимального регулирования представляет собой гораздо меньшие вычислительные трудности, чем решение нелинейных задач;
• • решение задачи оптимального управления, при котором система должна находиться вблизи некоторого заданного режима, обычно требует рассмотрения малых отклонений от этого режима и поэтому возможна в линейной постановке;
• • вычислительные процедуры линейного оптимального управления часто легко обобщаются для решения нелинейных задач оптимизации;
• • в рамках линейного подхода можно говорить об общей теории автоматического управления широкого класса многомерных систем, дающей решение всех типовых задач управления.

Рассмотрим решение задачи линейного оптимального регулирования как для конечного, так и для бесконечного промежутка времени, на котором задан критерий оптимизации, причем предполагается, что вектор состояния наблюдается непосредственно.

Постановка задачи. Дана линейная система, описываемая векторными дифференциальными уравнениями:

при начальных условиях x (t₀) = х°, где A (t), B (t), C (t) — матричные функции времени, соответственно, порядка (пх п), (пх т), (пхр). Здесь x (t) — п-мерный вектор состояния, u (t) — m-мерный вектор управления, у (t) — р-мерный вектор выходных или наблюдаемых переменных.

Рассматриваемая задача регулирования состоит в том, чтобы найти вектор управления u (t), обеспечивающий за некоторый промежуток времени Г переход системы из начального состояния, характеризуемого ненулевыми начальными условиями x (t₀), в конечное состояние x (t 1) = 0.

В качестве критерия оптимизации или показателя качества регулирования используется квадратичный критерий:

Очевидно, что значение функционала I зависит от начального состояния x (t₀), момента времени t₀ и управления и в течение интервала [to> *4].

Смысл этого квадратичного функционала можно пояснить следующим образом. Выражение

где R (t) — положительно-определенная симметричная матрица для всех t, является мерой количества энергии, используемой для управления. Выражение

где Q (t) — положительно-определенная, симметричная матрица для всех t, является мерой нормы | |x (f) | | вектора x (f) в процессе регулирования. Наконец, выражение.

где GCtj) — неотрицательно определенная матрица, характеризует допустимую величину нормы вектора x (t) на конце интервала регулирования.

Очевидно, что в процессе регулирования нужно стремиться к тому, чтобы все эти три величины были наименьшими. Поэтому задача оптимального регулирования состоит в том, чтобы минимизировать функционал (2.48). Выбор матриц R (f), Q (0, G (t) проводится, исходя из особенностей задачи.

Итак, постановка проблемы оптимального линейного регулирования может быть сформулирована следующим образом. Найти вектор оптимального управления u*(f), t е (t₀, tj), обращающий в минимум функционал Дх (С₀), и, t₀], и найти величину Г [x (t₀), t₀] этого минимума при условии, что уравнение объекта регулирования имеет вид (2.47).

Задачи регулирования, решаемые в такой постановке, называют линейно-квадратичными проблемами, так как они решаются в линейном классе систем при квадратичном критерии.

Для решения поставленной задачи будем использовать как необходимое условие экстремума уравнение Веллмана. Заменяя обозначения со на Г, С на t, а на х, и на и, а также произведение скаляров Эсо/Эа и Да, и) на произведение векторов [ЭГ/Эх] и Дх, и, t), получим уравнение (2.36) в виде.

Решение задачи линейного оптимального регулирования для конечного времени. Вернемся теперь к задаче линейного оптимального регулирования. В этом случае.

Оптимальное значение показателя качества управления Г [x (t), t] аналогично подынтегральному выражению в функционале (2.48) и может быть представлено в виде квадратичной формы Тогда

Кроме того, в линейном случае и, согласно (2.48),.

Таким образом, уравнение (2.49) в рассматриваемом случае принимает вид

После тождественных преобразований правую часть этого уравнения можно представить в виде.

Так как матрица R (t) положительно определена, то выражение имеет минимум, если полагать, что.

Тогда уравнение (2.50) сводится к виду.

Данное уравнение справедливо для всех х, поэтому.

Это матричное нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами называется уравнением Риккати.

В случае проблемы регулирования для граничных условий справедливо или

Так как P (tj) и G симметричны, a x (t₃) — произвольно, то.

Можно показать, что уравнение (2.51) имеет устойчивое единственное решение при следующих условиях:

• — регулируемый объект, определяемый матрицами А и В, является управляемым;
• — симметричные матрицы Q и R, входящие в критерий качества регулирования (2.48), являются положительно-определенными.

Эти условия обычно удовлетворяются для задач регулирования, в которых требуется, чтобы регулируемые переменные стремились к постоянным требуемым значениям. Однако они не всегда удовлетворяются, если переменные должны изменяться согласно желаемым законам изменения во времени.

Итак, если объект регулирования описывается уравнением (2.47) и критерий качества регулирования имеет вид (2.48), то оптимальный закон регулирования определяется формулой

а оптимальное значение критерия качества равно.

где P (t, tj) — решение уравнения Риккати при граничном условии (2.54). Заметим, что требование положительной определенности матрицы R имеет существенное значение. Действительно, предположим, что матрица R вместо того, чтобы быть положительно определенной, равна нулю. В этом случае выражение u^TRu в функционале качества управления I также обращается в нуль, обратная матрица Л^-1, входящая в закон управления (2.54), а следовательно, и само оптимальное управление U* обращается в бесконечность. Этот результат не имеет смысла, так как такое управление нереализуемо и именно поэтому выражение u^TRu и было введено в критерий (2.48) как характеристика «платы» за управление.

Сделаем несколько замечаний относительно закона управления (2.48), предварительно представив его в виде.

Полученный закон регулирования (2.54) показывает, что:

• 1) для линейных систем с квадратичным критерием качества он является линейным законом, определяющим оптимальное управление и* (О в виде линейной функции от вектора состояния x (t);
• 2) он определяет структуру системы регулирования как систему с обратной связью, так как связывает выход x (t) со входом и, чем выгодно отличается от принципа максимума, где оптимальное управление является функцией времени, а не состояния;
• 3) регулятор, реализующий закон управления, не является динамическим элементом, так как выход регулятора или вход объекта и в момент времени t определяется значениями входа регулятора и выхода объекта х в тот же момент времени f, т. е. без запаздывания;
• 4) из уравнения Риккати (2.51) и уравнения (2.52) очевидно, что k (t) зависит от времени даже в том случае, когда все матрицы, входящие в (2.51) и (2.52), не зависят от времени, т. е. когда объект является стационарным.

Решение задачи линейного оптимального регулирования для бесконечного времени. Рассмотрим решение задачи оптимального регулирования для случая, когда интервал оптимизации Г бесконечен, а не конечен, как это было ранее. Итак, предположим, что задан объект регулирования, описываемый уравнениями:

Требуется найти оптимальное регулирование u*(t), t > f₀, минимизирующее функционал:

где матрицы R (t), Q (t) соответственно положительно и неотрицательно определенные.

Эта проблема не всегда имеет решение. Действительно, рассмотрим следующий простой пример:

Причем так что.

Легко видеть, что минимум (2.55) достигается при и = 0, но и в этом случае I = °°.

В случае конечного Т оптимальное значение I всегда конечно, а в случае Т = °° состояние ^(tg), как это видно из уравнения (2.54а), неуправляемо. При этом неуправляемая часть решения уравнения (2.54а) неустойчива, Х](0 = е‘, и входит в функционал в виде е²'. Поэтому с самого начала будет введено допущение: система полностью управляема для любого t.

Можно показать, что в этом случае оптимальное регулирование имеет вид

где

и минимальное значение функционала (2.48) равно причем P (t, tj) является решением уравнения Риккати

при граничном условии

Можно отметить, что матрица коэффициентов усиления к в законе регулирования не зависит от времени только в том случае, когда оптимизация производится на бесконечном интервале, объект регулирования стационарен и матрицы Ки Q, входящие в показатель качества регулирования, не зависят от времени.