Ценовые модели страхования жизни

• — Тарификация страхования жизни осуществляется обычно по вероятностям дожития и смерти
• — лиц мужского пола, взятых из числа городского населения. Такой выбор явно не вполне обоснован, но в известной мере он служит средством противодействия «самоотбору» страхователей, который искажает первоначальные расчеты актуария. Задача — оценить, насколько эта мера эффективна по отношению к лицам, принимаемым на страхование жизни. Кроме того, изменение ставки рефинансирования и доходности инвестиций страховой компании, наряду с инфляционными явлениями, воздействуют на уровень тарифа. Поэтому актуарий должен сопоставить действующие тарифы с изменившимися условиями жизни и увязать их с интересами корпорации. Обратимся к моделям страхования жизни, которые трансформируются в компьютерные программы и в таблицы коммутационных чисел, упрощающих расчет тарифов. Исходными показателями данных моделей являются: возраст — х лет; число живущих лиц — 1_Х число умерших лиц — d_x процентная ставка — г; дисконтирующий множитель 1

" = -—вероятность дожития — р_х, вероятность смерти — q_x, количество 1 + г лет — п.

Первая модель (1) используется для определения нстто-ставок при страховании на дожитие. Она отражает порядок страховых премий и последующих платежей страховщика при соответствующих вероятностях дожития страхователя и значениях дисконтирующего множителя, приводящих все эти платежи к моменту заключения договора страхования:

Вторая модель (2) применяется для расчета нетто-ставок при страховании на случай смерти:

Преобразование этих моделей в коммутационные числа показано в табл. 4.4 и 4.5.

Таблица 4.4

Коммутационные числа для расчета тарифов по страхованию на дожитие (при процентной ставке i = 3%).

Таблица 4.5

Коммутационные числа при страховании на случай смерти (при процентной ставке i = 3%).

Окончание табл. 4.5

— Допустим, что необходимо рассчитать размер Применение таблиц коммутационных чисел определяется задачами, решаемыми в ходе страхового андеррайтинга. В первую очередь, это касается включения в расчет нетто-ставок новых данных о вероятностях дожития (смерти) страхователей и изменившихся процентных ставок (норм доходности).

Определение нетто- единовременной премии страхователя, имеющего ставок при страховании на дожитие возраст х лет, если при дожитии до х + п лет он.

— должен получить от страховщика 1 д.е. Если исходить из показателей модели (1), то размер этой премии (_пЕ_х) должен соответствовать величине vⁿ • _fJp_x. Путем соответствующих преобразований получаем значение нетто-ставки, определяемой посредством коммутационных чисел (см. табл. 4.4) как.

Изменение дисконтирующего множителя и вероятности дожития меняет коммутационные числа и величину нетто-ставок. Андеррайтер (на основе проведенных расчетов) определяет, насколько эти изменения приемлемы для выполнения договора страхования. Таблицы коммутационных чисел позволяют исчислять тариф (нетто) применительно к разным договорам страхования. Так, по договорам страхования жизни, оформляемым в виде немедленного аннуитета, нетто-ставка определяется как (4.12), где N_x+l = D_x

+1 + D_x+2 + D_v+3 + … — коммутационное число (оно получается в результате накапливания значений D_x снизу вверх таблицы смертности). Значения N_x для некоторых возрастов приведены в табл. 4.4. Если, например, страхователю 40 лет, то страховщик может выплачивать пожизненно no 1 руб. в конце каждого года при условии, что единовременный взнос.

" *4i 558 659 _ «.

составит а_Л0= — = = 20,6 руб.

D_a0 27 154.

При отсроченном аннуитете размер нетто-ставки определяется как.

Допустим, что страховщик согласен выплачивать страхователю по 1 руб. пожизненно не с момента уплаты премии, а спустя 5 лет. В этом случае единовременный взнос страхователя, чей возраст 40 лет, должен составить:

Разница между а_х (нетто-ставкой немедленного аннуитета) и _па_х (нетто-ставкой отсроченного аннуитета) есть нетто-ставка срочного аннуитета, т. е. договора, по которому страховщик платит деньги страхователю, пока он жив, но до определенного момента:

Если условия аннуитетного договора меняются, то меняется и порядок расчета нетто-ставок платежей страхователя. В практике страхования жизни применяются гарантированные аннуитеты, аннуитеты с возрастающей суммой, аннуитеты с защитой капитала, а также аннуитеты с пенсионной составляющей.

Пенсионные схемы страхования имеют ряд особенностей, которые необходимо учитывать при использовании таблиц коммутационных чисел и при составлении компьютерных программ. Во-первых, страхователь выплачивает свои премии не единовременно, а периодически. Во-вторых, время этих выплат ограничивается определенным периодом (возраст выхода страхователя на пенсию является пределом таких платежей). В-третьих, страховщик платит страхователю пенсии с определенного момента времени вплоть до его смерти. В-четвертых, часть невыплаченного фонда может, если это предусмотрено договором, перейти наследникам страхователя. Кроме того, возможны различные вариации с размерами платежей. Все это требует соответствующей комбинации показателей, входящих в таблицы коммутационных чисел. Так, расчет нетто-ставки (годовой) для отсроченного пожизненного страхования пенсий производится по формуле.

Пусть, например, страхователь (его возраст 40 лет) согласен платить премии в течение ближайших пяти лет с тем, чтобы страховщик платил ему далее пожизненно по 1 руб. в конце каждого года. Подставив из таблицы значения соответствующих коммутационных чисел, получим размер годовой нетто-ставки для покупки отсроченной на пять лет пожизненной ренты:

— При заключении договоров страхования Определение нетто-ставок _{на случа}й смерти расчет нетто-ставок также при страховании на случаи ^.

смерти производится при помощи таолиц комму;

• — тационных чисел. Обратимся к пожизненному и временному страхованию на случай смерти. Вероятность для лица, возраст которого составляет х лет, умереть в течение предстоящего года жизни равна q_x = -f~, а вероятность умереть в течение (/7 + 1) года равня-
• 1 х

ется q_x = ^х+п.

п х

Поэтому вероятное значение выплаты денег в случае смерти страхователя (согласно модели (2)) равняется |q_x-vⁿ. Данная величина может быть приравнена к единовременному взносу страхователя (_п)|Д_Л.). Отсюда следует, что нстто-ставка премии страхователя по данному условию страхования должна равняться величине.

где С_х+п_₁ и D_x — коммутационные числа, приведенные в табл. 4.4 и 4.5.

Однако на практике такие договоры не заключаются. Для страхователя приемлемо другое условие: уплатить страховщику премию с тем, чтобы тот в свою очередь выплатил страховую сумму, если смерть застрахованного наступит на каком-либо году или отрезке жизни. При пожизненном страховании на случай смерти единовременный взнос страхователя должен равняться сумме всех вероятных значений платежей страховщика по их современной стоимости. Исходя из модели (2) можно записать следующее соотношение:

где М_х = С_х + С_х+ j + С_х+2 + … — коммутационное число, определяемое по таблице коммутационных чисел.

Например, размер нетто-ставки при пожизненном страховании на слу;

М₄₀ 10 053.

чай смерти лиц в возрасте 40 лет равняется Л₄₀ =-=-= 0,37 руб.

Аю 271э4.

Если договор на случай смерти заключен в сумме 1000 руб., то единовременная нетто-премия составит 370 руб. Когда бы смерть страхователя ни последовала, страховщик выплатит 1000 руб.

Чтобы предотвратить потери страховщика в первые годы после заключения договора страхования жизни, выплата страховых сумм в случае смерти застрахованных производится с отсрочкой на п лет. В силу этого отсчет коммутационного числа М_х также отодвигается на время отсрочки и вычисление единовременной нетто-ставки производится как.

Тогда для временного страхования на случай смерти размер единовременного взноса (нетто-ставка) определяется как разница между ставками пожизненного и отсроченного страхования:

Если от единовременных премий страхователя перейти к периодическим (годовым) взносам, то при пожизненном страховании на случай смерти годовая нетто-ставка определяется с применением коммутационных чисел по схеме.

При отсроченном страховании годовая нетто-ставка равняется.

Если страхование временное, то годовая нетто-ставка определяется как.

Зная ставки для каждого возраста застрахованных на дожитие и на случай смерти, простым сложением можно определить общие ставки, которые используются в расчете нетто-премий для смешанного страхования жизни. Вычисления упрощаются при использовании коммутационных чисел. Так, формула для расчета единовременной нетто-ставки при смешанном страховании жизни:

Например, размер единовременной нетто-премии в расчете на 1 руб. страховой суммы для лиц в возрасте 40 лет, застрахованных по смешанному страхованию жизни сроком на 5 лет, определяется как + |₅Л₄₀ = = 0,8455 + 0,0182 = 0,8637. Расчет производится также по формуле (4.22):

Для вычисления размера годовой нетто-премии единовременный платеж следует разделить на современную стоимость годовых платежей. Если, например, годовые премии вносятся в начале года, то их величина определяется как.

В соответствии с приведенным примером годовая нетто-премия с каждой страховой суммы (руб.) составляет.

(или 18,46 руб. со 100 руб.).

_ В смешанное страхование жизни Определение нетто-ставок при составной частью включаются страхокомбинации страхования жизни вание от несчастных случаев. Актуарий с несчастными случаями_ должен оценить вероятность несчастного случая для лица, принимаемого на страхование, и установить размер годовой премии. Расчет нетто-ставки на случай полной утраты трудоспособности производится следующим образом. Обозначим страховую сумму, выплачиваемую при потере трудоспособности, символом S; вероятность несчастного случая — <7; дисконтирующий множитель — V. Современная стоимость платежей страховщика в конце каждого года страхования равняется последовательно: за первый год S-q-v, за второй год S-q-v², за и-й год S-q-vⁿ. Их общая сумма составляет геометрическую прогрессию и равняется произведению S-q-ащ. Современная стоимость выплат страхователя в начале каждого года составляет другую последовательность: за первый год «а', за второй год «а'-p-v, за л-й год «а'-р-н» ^-1. Их общая сумма равняется величине «а'(1 + ра^|.). Так как современная стоимость платежей страхователя должна равняться современной стоимости платежей страховщика, то годовой платеж страхователя равняется.

—— Особенность расчета брутто-ставки связана Определение брутто;

ставки при страховании ^с тем' ^чт0 страховщик распределяет издержки _жизни по организации и осуществлению страхова;

ния на страхователей. Эти издержки предварительно разделяются на компоненты и прибавляются к нетто-премии с таким расчетом, чтобы их хватило на покрытие всех расходов.

Рассмотрим вычисление брутто-ставки по методу «достаточных премий». Изначально принимается, что взносы страхователя осуществляются в начале года (пренумерандо) и современная (дисконтированная) стоимость брутто-премий равна произведению.

где П — искомое значение брутто-ставки, х — возраст страхователя; п — срок страхования; t — срок уплаты премии; _ta_x. — дисконт. Далее из всех затрат страховщика выделяются первоначальные расходы (затраты по вознаграждению агентов за приобретение договоров и на оплату врачей) — а. Они рассматриваются как единовременные затраты, хотя раскладываются на весь период страхования пропорционально числу лет. Затем берутся комиссионные расходы (вознаграждение агентов за инкассацию премий страхователей). Обозначим их символом р. Они исчисляются пропорционально брутто-премии. С учетом периода уплаты премий их современная стоимость равняется величине рП-, а_х. Следующий компонент — административно-хозяйственные расходы страховщика, устанавливаемые на 100 (или 1000) руб. страховой суммы. Обозначим их символом у. Современная стоимость административно-хозяйственных расходов равняется у«а_х. Современная стоимость годовых платежей страхователя в размере нетто-премий, включая надбавку на страхование от несчастных случаев, равняется.

Для финансового равновесия обязательств страхователя и страховщика необходимо, чтобы взаимная связь между перечисленными компонентами была следующей:

Исходя из этого определяется исходная величина брутто-премии:

Если период уплаты премий и срок страхования равны друг другу, то брутто-премия определяется из соотношения.

Оценка нормы доходности Тарифные ставки зависят не только от веростраховых операций ятностсй дожития и смерти страхователя, но и от нормы доходности, т. е. процентной ставки, которая включается в дисконтирующий множитель, используемый в расчете нетто-ставок по страхованию жизни. Она связана со ставкой рефинансирования ЦБ РФ, но применяется страховщиками с учетом изменений рыночной конъюнктуры и требований страхового надзора. Оценка нормы доходности предполагает сопоставление ее номинального значения, которая непосредственно учитывается в тарифе, с реальной ставкой, определяющей доходы страховщика. Она зависит от инфляционных явлений в экономике и инвестиционной политики страховщика. В частности, на величину реальной ставки могут оказать влияние два фактора: курс рубля (по отношению к доллару) и инфляция рубля (как следствие общего роста цен).

Для страховщика курс рубля имеет непосредственное значение, когда его инвестиции связаны и с валютными расчетами. В этом случае разрыв в банковских ставках, выплачиваемых по рублевым и валютным счетам, оказывается реальным средством для оптимизации тарифов. Кроме того, этот фактор имеет и опосредствованное значение, если у страховщика есть альтернатива выбора для его инвестиций, т. е. совершать их в рублевой форме или в валюте. Разрыв в ставках по рублевым и валютным депозитам оказывается в этом случае стимулом для изменения тарифной политики. Что касается инфляции, то страховщик, получая от страхователя деньги «первым», должен бы быть от нее всегда в выигрыше. Однако это зависит от процентной политики банка и инвестиционной политики страховщика. Поэтому определение реальной нормы доходности становится частью андеррайтинга, где в расчет принимается как связь страховщика со страхователем (в первую очередь через тариф), так и связь страховщика с банком (в первую очередь через процентные ставки банка).

В зависимости от характера инвестиционной деятельности страховой компании расчет реальной ставки производится исходя из следующих рассуждений. Если страховщик имеет инвестиционные вложения в рублевой форме и в валюте, то возникает вопрос о его потерях или выигрыше за счет разрыва в соответствующих ставках при изменении курса рубля. (Эти потери (выигрыш) связаны с тарифной политикой страховой компании.) Тогда понятие реальной ставки увязывается с вопросом компенсации потерь от этого изменения. Этим реальная ставка переводится в разряд компенсационных ставок. Если, например, ставка для валютного депозита составляет i_lf а ставка для рублевого депозита — *₂, то при росте курса доллара выгоднее переместить деньги на валютный депозит. Компенсацией этого действия может послужить увеличение ставки рублевого депозита, т. е. доведение ее до необходимого (компенсационного) значения. При наличии данных об изменении курса рубля эта «компенсационная» ставка может быть определена как.

где значения К — отношения рубля к доллару в начальный (1) и текущий (2) период; — ставка валютного счета; t — число дней между сравн и ваем ы м и периодам и.

Пусть ц = 0,08, /Cj = 25, К₂ = 30, t = 270. Тогда значение ставки для рублевого депозита составит, но формуле (4.25) i₂ = 0,363, т. е. 36,3%. Эту ставку можно рассматривать при условии выгодного вложения денег, требующего внесения поправок в инвестиционную политику как реальную или желаемую.

Если наряду с курсами рубля имеются данные о норме инфляции /?, то здесь возникает две задачи по оценке нормы доходности. В первую очередь следует оценить реальную инфляционную ставку для рублевого депозита, которую можно исчислить как

Пусть, например, в дополнение к вышеприведенным данным, норма инфляции определена в размере h = 0,20. Тогда по формуле (4.26) величина реальной ставки с поправкой на инфляцию оказывается равной /_ИМф_л = 0,141. Другими словами, по отношению к долларовому депозиту и его процентной ставке ставка рублевого депозита оказалась на уровне 14,1%. Поэтому для рублевого депозита, как второй шаг оценки реальной нормы доходности, следует определить размер ставки, которая смогла бы компенсировать падение курса рубля и факт инфляции.

Расчет дайной компенсационной ставки производится по формуле.

Применительно к нашему примеру уровень такой ставки равен 0,617, т. е. 61,7% годовых.

Задачу расчета «реальной» процентной ставки можно упростить, если поставить вопрос о сдвигах процентной ставки только за счет инфляции. Для этого определяется соотношение между ростом «стоимости» денег за счет включенной в тариф нормы доходности (г) и падением этой «стоимости» за счет инфляции (/г):

Разницу между примененной и инфляционной ставками можно рассматривать в качестве резерва страховщика в проведении тарифной политики.

Такого рода расчеты являются средством анализа сложившихся взаимоотношений страховой компании с банком, которые во многом зависят от инвестиционной политики страховщика. В свою очередь, инвестиционная политика страховщика — это составная часть его тарифной политики. Чем лучше структура инвестиций и чем больший процент по своим депозитам в банке получает страховщик, тем выше норма доходности. Чем выше норма доходности, тем больше у страховщика возможностей для снижения тарифов и повышения конкурентоспособности на страховом рынке. Определяя доходность и внося коррективы в вероятности дожития (смертности) страхователя, андеррайтер оценивает нетто-ставку, заложенную в тарифный план, с той, которая получается в результате его расчетов.