Вычисление одного отсчета дисперсии аллена

Пусть получено N выборок y_k(tj₉T), усредненных за время т значений частоты на интервале, начинающемся в момент tj и оканчивающемся в момент tj+t. Можно вычислить N — 1 отсчетов отклонения частоты на двух следующих друг за другом интервалах (см. рис. 16.2):

Квадрат этой величины даст отсчет срсднсквадратичсского отклонения, зависящий от времени усреднения т и времени начала первого измерения :

Для замены статистического усреднения в уравнении (16.25) на усреднение во времени следует выделить нсперссскающисся интервалы длительностью 2 т, после чего дисперсию Аллена находим в соответствии с уравнением статистической несмещенной оценки среднего значения:

Для получения к значений параметров Аллена от различных величин т следует выполнить к экспериментов. Минимальное время, необходимое для получения каждого значения 2тjN. Чем больше интервал между двумя последующими измерениями А/, тем больше требуется времени на получение статистических данных.

Для эргодического процесса абсолютное значение величины / • не имеет значения. В этом предположении статистическое среднее величин (16.26) можно заменить средним по различным отсчетам, взятым в различные интервалы времени. Это справедливо, если длительность интервалов между парами отсчетов A /. значительно больше длительности времени усреднения: А/_у >>т.

Традиционно считается достаточным условием независимости отсчетов требование того, чтобы используемые временные интервалы нс пересекались.

(Atj > т). Технически удобно и эффективно с позиции экономии времени применять плотную упаковку пар, т. е. обеспечить Д/ • = 2 т (см. рис. 16.2). Применение частотомера с нулевым «мертвым временем» позволяет использовать плотную упаковку приращений, т. е. Д/. = т (рис. 16.3).

Рис. 16.3. Диаграмма отсчетов частоты и их приращений, плотная упаковка приращений.

Проблема правильного отыскания соотношения ?_> = АГ. т остро возникает при больших значениях т.

Так, если т = 1000 с, ^ = 2 (см. рис. 16.2), то для получения т = 10 отсчетов приращения частоты у,(т), г = 1,…, m измерения займут время.

Десяти отсчетов недостаточно: Рютман указывает, что необходимо обеспечение m > 10, а значение пг следует указывать в результатах аттестации. При ^ = 10 (см. рис. 16.1) получаем Г «25ч, а при ^ = 1 (рис. 16.3) всего лишь Т «2,5 ч.

Использование отсчетов по диаграмме рис. 16.3 применяется наиболее часто. Рютман апеллирует именно к такой схеме обработки данных, выводя соотношение (16.2). Поэтому актуален вопрос о корректности такого способа. Для сигнала с периодической помехой частот гипотеза эргодичности ошибочна, и такая упаковка отсчетов явно некорректна.

При Дt = const интервалы выборки нельзя назвать случайно распределенными. В этом случае осуществляется свертка случайного процесса и периодической функции /?(/) с периодом At и значением.

Именно этот случай имеет в виду Ж. Рютман, ссылаясь на то, что «наихудший случай получается, когда т близко к Т_т 12 или к периоду одной из соответствующих гармоник», и при выводе соотношения (16.2). В случае, который он имеет в виду,? = 1, т. е. Д/ = т.

Базис функции (16.25) для детектирования помехи на частоте основной гармоники даст лишь одну проекцию и поэтому неполный. Результат измерения зависит от разности фаз частоты получения отсчетов и частоты ЧМ модуляции (помехи). В указанном случае при Д/ = т «Т_т / 2 если начальный сдвиг фаз равен нулю, то осуществляется синхронное детектирование. При сдвиге на 90° будет детектироваться квадратурная компонента помехи.

Умножение случайного сигнала на функцию (16.28) с последующим усреднением тождественно отысканию проекции вектора соответствующего аналитического сигнала на ось, вращающуюся со скоростью со_в = л/т. Информация об изучаемом процессе будет полной, если эту проекцию дополнить проекцией на вторую ось, ортогональную первой. С этой целью необходимо получить аналогичные отсчеты со сдвигом на т / 2. Итак, можно получить две статистики — синусную ст?$(т) и косинусную Оус (т) • Последняя получается сдвигом функции (16.26) во времени на величину 0,5 т.

Сумма этих величин эквивалентна вычислению гипотенузы по известным катетам, однако более корректно статистическое суммирование, т. е. усреднение этой срсднсквадратичсской величины:

Эта величина не зависит от фазы, как длина вектора не зависит от его поворота. Следовательно, результирующая функция (16.29) более адекватна задаче поиска объективной характеристики случайного процесса в условиях действия периодической помехи, кратной частоте взятия отсчетов. Мы не предлагаем обязательное суммирование или усреднение. Если величины а?5(т) и а²_уС(т) приблизительно равны, то достаточно брать любую из них, сам факт проверки их равенства служит дос таточной гарантией корректности сбора данных.

Вычисление двух равноправных характеристик вместо одной и их сравнение позволяет исключить неприятный случай наличия периодической кратной помехи, о котором предупреждает Рютман. Стандарт частоты — устройство существенно более сложное, чем аппаратура для сбора данных о его стабильности. С созданием частотомера без «мертвого времени» (описанного в предыдущем разделе) вычисление указанной дополнительной характеристики связано не с аппаратной, а с программной модификацией системы. Поэтому едва ли найдутся убедительные аргументы против такого двойного сбора данных.

Второй вариант решения этой проблемы состоит в том, чтобы обеспечить случайное значение величины Д/ > т от одного измерения к другому. Достаточно обоснованным видится выбор значения Д/е[т, 2т] с равномерным распределением этой величины на указанном интервале. Этот способ можно рекомендовать для малых значений т.

Но данный вариант обработки за время в 1,5 раза большее позволяет получить лишь вдвое меньше информации о процессе, поэтому первый вариант для больших значений т предпочтителен.