Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение

Рассмотрим колебания физического маятника — любого тела, совершающего колебания относительно горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс. Пример физического маятника изображен на рис. 5.2 (здесь О — ось вращения тела; O_t — центр масс тела; L — расстояние между центром масс и осью вращения). Из основного уравнения динамики вращательного движения (4.26) М =Уф", где момент силы М = -mgL sin ф (знак «минус» отражает то, что при положительном угловом перемещении момент силы отрицателен); ф" — вторая производная углового перемещения по времени. Для малых колебаний и малых углов sirup ~ ф. После преобразований получим.

где C0q = Из теории известно, что дифференциальное уравнение гармонических колебаний (5.3) имеет гармоническое решение вида (5.1).

В этом несложно убедиться прямой подстановкой выражения (5.4) в уравнение (5.3), обращающей уравнение (5.3) в тождество. Период колебаний (5.2) физического маятника равен.

Частным случаем физического маятника является математический маятник, в котором вся масса колеблющегося тела сосредоточена в центре масс О| (см. рис. 5.2). При этом из формулы (4.16) имеем J = mL² и.

Коротко рассмотрим еще два примера гармонических колебаний. Начнем с колебаний грузика массой т, прикрепленного к пружине жесткостью k (рис. 5.3).

Рис. 53.

Подставив силу упругости пружины

во второй закон Ньютона, получим тх" = -kx, или по аналогии с формулой (5.3).

где (c)о = k/m. Аналогично формуле (5.4) координата грузика колеблется по гармоническому закону.

с периодом колебаний.

Рис. 5.4.

В заключение рассмотрим колебания заряда в колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктивностью L и конденсатора с емкостью С (рис. 5.4). В такой системе, как известно, разность потенциалов U_c на конденсаторе связана с зарядом конденсатора q формулой U_c = q/C, а разность потенциалов на катушке (ЭДС самоиндукции) определяется производной тока I по времени (и второй производной заряда по времени):

Из схемы очевидно, что эти разности потенциалов равны, откуда получаем уравнение гармонических колебаний.

или по аналогии с формулой (5.3).

где на этот раз со, = 1 /LC. Аналогично формуле (5.4) заряд колеблется по гармоническому закону.

с периодом колебаний.

Система, способная совершать гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.