Общее уравнение Шредингера

Обобщим теперь уравнение Шредингера на ситуацию, когда микрочастица имеет не только кинетическую, но и потенциальную энергию. Если частица движется в зависящем от координат силовом поле U = U (x, у, z), то полная энергия Е складывается из потенциальной U и кинетической Е — U энергий. Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р для данного случая.

получим по аналогии с уравнением Шредингера свободной частицы общее уравнение Шредингера

Это уравнение справедливо и в случае зависящего от координат и времени силового ноля U = U (x, у, z, t). Общее уравнение Шредингера сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером, оно по праву считается основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. В квантовой физике уравнение Шредингера играет такую же фундаментальную роль, что и уравнения движения Ньютона в классической механике.

Напомним, что уравнение Шредингера должно быть дополнено естественными ограничениями на волновые функции, связанные с ограничениями на вероятность: волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. выше). Первые производные волновой функции также должны быть непрерывны. Поскольку произведение Ui должно быть конечным (см. формулу (34.9)), то если U = °°, то у = 0.

Особо стоит подчеркнуть, что точное решение дифференциального уравнения с производными по времени и координатам требует задания начальных и граничных условий.

Физический смысл решений уравнения Шредингера состоит в вычислении волновой функции, квадрат модуля которой определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.