Решение задачи оптимизации потоков платежей

При решении задачи оптимизации исходные нечеткие интервалы Р₍ и KV_t рассматриваются как ограничения на управляемые входные параметры, которые можно изменять, a d_t — как неуправляемый параметр, характеризующий неопределенность внешней по отношению к рассматриваемому проекту среды.

По полученному в результате подстановки исходных нечетких интервалов Р₍ и KV_t в формулу для расчета чистой текущей стоимости нечеткому интервалу NPV строится частный критерий, отражающий требования к доходности проекта с учетом реальных ограничений. Для математической формализации частных критериев используется интерпретация функций принадлежности нечетких интервалов как функций желательности, изменяющихся от нуля в области допустимых значений до единицы в области наиболее предпочтительных значений. Способ построения функции желательности NPV достаточно очевиден: функцию желательности p_NPV можно рассматривать лишь на интервале возможных значений NPV (NPV_г—JVPV₄), и, естественно, чем больше значение NPV, тем выше степень желательности (рис. 6.19).

Рис. 6.19. Функция желательности NPV, построенная по итоговому интервалу NPV.

Исходные нечеткие интервалы P_t и KV_t, также рассматриваются как функции желательности р^, р^, p_KVl, Рку₂ — характеризующие переменные (исходные интервалы уже построены таким образом, что при их интерпретации как функций желательности более предпочтительными оказываются те значения из интервалов P_t и KV_t, реализация которых более возможна). В рассматриваемом примере наиболее желательными считаются срединные значения входных нечетких интервалов Р₍ и KV_t, соответствующие второму и третьему вариантам инвестиций. Функции принадлежности для данных значений входных переменных берутся равными единице. Для значений нечеткого интервала KV_t функция желательности p (KV_t) представлена на рис. 6.20 (функция желательности для нечеткого интервала P_t — р (Р₍) схематически изображена на рис. 6.17).

Рис. 6.20. Нечетко-интервальная форма исходных данных: ц (/СУ₍) — функция принадлежности нечеткому интервалу При этом следует отметить, что значение функции принадлежности р (1ЛЛ), представленной на графике, характеризует желательность одного из четырех вариантов осуществления вложений, а не конкретной величины расходов в определенный период инвестирования.

Поскольку эти функции желательности связаны с возможностью реализации тех или иных значений управляющих параметров, отвечающие им частные критерии являются критериями, неявно характеризующими финансовый риск проекта.

На основе всех функций желательности строится максимизируемая функция, или глобальный критерий:

где (Xj и а₂ — задаваемые инвестором ранги, характеризующие относительную значимость для клиента доходов и рисков,.

x_npv(npv (p", KV^di, d,)) — значение функции желательности NPVв точке NPV(P_t^di, KV^dl, d,).

Задача сводится к отыскиванию набора неинтервальных (четких) значенийР_р Р₂, KV_v KV₂, …, изменяющихся в пределах, ограниченных соответствующими нечеткими интервалами, которые бы максимизировали глобальный критерий. Положение осложняется тем, что дисконт полагается неуправляемым параметром, равномерно распределенным в заданном интервале.

Поэтому процедура решения задачи осуществляется так. Из диапазона изменений дисконта случайным образом выбирается значение, при котором с помощью метода случайного направленного поиска находится оптимальное решение, соответствующее наилучшему компромиссу между неопределенностью исходных данных и стремлением к получению максимальной прибыли. Соответствующие оптимуму значения P_t^d и KV_t^d являются оптимальными при данном значении дисконта с точки зрения этого компромисса. Далее из интервала дисконта выбирается следующее случайное его значение и вновь решается задача оптимизации. Процедура выполняется до тех пор, пока не набирается статистически репрезентативная выборка оптимальных решений для различных значений по дисконту.

Итоговые оптимальные значения P_t° и KV,⁰ находятся как средневзвешенная оценка с учетом степени возможности реализации различных значений d_f, задаваемой исходным нечетким интервалом d_f, с функцией принадлежности ^:

Здесь т — количество значений дисконта, использовавшихся при решении задачи, d₍. — собственно эти значения.

Можно также учесть значение глобального критерия в точке оптимума:

I.

Это дает возможность учесть, помимо надежности значений d_j; удачность упоминавшегося выше компромисса для каждого из выбранных значений дисконта.

Исходные данные рассматриваемого примера целесообразно представить в табличной форме (табл. 6.19).

В данной таблице представлены значения P,^d и KV_t^d, через которые задаются исходные нечеткие интервалы и которые являются оптимальными при данном значении дисконта в отношении компромисса между доходностью и риском (т.е. представленные значения — результат описанной ранее процедуры выбора оптимальных решений).

Ставка дисконта и соответствующие ей функции принадлежности являются ограничениями, описывающими неопределенность и риски внешней среды. Значения P_t^d, KV_t^d и p (P,^d), ja (PCV_r^d) — определяют внутренние ограничения системы. Следовательно, значения чистой текущей стоимости и ее функции желательности выражают цели инвестора, т. е. естественно, что стремление к максимальной доходности (NPV) и определяет максимальное значение функции принадлежности р (7,9) = 1.

По формуле (6.3) итоговые значения P_t° и KV_t° определяются следующим образом.

• 1. Значения P_t^d, KV^d умножаются на соответствующее значение функции принадлежности ц^с^).
• 2. Найденные взвешенные значения P_t^d, KV^d суммируются, в результате определяются значения P_f, KV_t, учитывающие в себе риск и неопределенность внешней среды — изменчивости d.
• 3. Определяются оптимальные значения P_t° и KV_t° делением рассчитанных на предыдущем этапе P_t, KV_t, на Sl-i/d,) —

Результаты расчетов представлены в табл. 6.20.

При определении оптимальных значений Р,° и KV_t° выполняется следующая последовательность действий.

1. Определяется значение глобального критерия для каждого варианта. Так, для первого варианта формула глобального критерия примет следующий вид:

Нечетко-интервальное значение максимизирующего критерия для рассматриваемого примера равно: D (P_t^di, KV_t^di, dj) = {1; 1; 1; 0} (все ранги для простоты брались равными 1).

2. Рассчитываются значения весов для P_t^d , KV_t^d :

3. Значения P_t^d, KV_c^d умножаются на соответствующие коэффициенты и делятся на сумму весов.

Результаты расчетов приведены в табл. 6.21.

Таблица 6.21. Результаты расчетов P^d, KV^d

Таким образом, результатом решения задачи оптимизации являются значения Р,° и KV_t°, на которые можно будет ориентироваться при реализации инвестиционного проекта. Эти значения приводятся в табл. 6.22:

Таблица 6.22. Результаты расчетов KV_t(P) / Jj],

Мы можем также определить оптимальное нечетко-интервальное значение NPV, поставив оценки и нечетко-интервальный d в формулу (6.1) расчета чистой текущей стоимости:

Далее находим средневзвешенное значение NPV с использованием в качестве весов значений n_NPV., заданных в исходной таблице, по формуле.

Для данного примера получим: по формуле (6.2) значение NPV = 6,6976, по формуле (6.3) — 6,7877. Поскольку вариант использования формулы (6.3) учитывает как внутренние риски проекта, так и внешние риски, характеризуемые изменчивостью ставки дисконтирования d, оценщику следует рекомендовать его инвестору как оптимальный.

Итак, на рис. 6.21 представлен интервал, рассчитанный для оптимальных значений потоков платежей, в сопоставлении с исходным интервалом, полученным прямым расчетом по исходным нечетким интервалам Р₍ и KV_t, без использования оптимизации.

Видно, что оптимизация позволила достигнуть поставленных целей: налицо существенный рост прогнозируемых значений NPV и значительное сужение интервала, что свидетельствует о снижении финансового риска.

Рис. 6.21. Сравнение базового нечеткого интервала NPVс оптимальным интервалом: — оптимальный NPV; — базовый NPV.

Таким образом, инвестор получает оптимальные неинтервальные значения потоков платежей на всех этапах проекта:

а также вполне определенное NPV⁰ = 6,7877, причем все эти значения учитывают как неопределенность, вносимую экспертами при прогнозе денежных потоков, так и неопределенность внешней по отношению к задаче ставки дисконта, и представляют собой своего рода компромисс между стремлением к максимизации прибыли, с одной стороны, и уменьшением существующих неопределенностей, с другой.

Полученные четкие оптимальные значения P_t° и KV,⁰ могут служить ориентирами, к которым нужно стремиться как на стадии планирования проекта, так и при его реализации.

Теперь сравним, насколько существующие подходы к анализу рисков позволяют учитывать высокую степень риска, характерную для условий нестабильной экономики.

Методы без учета распределений вероятностей наименее приспособлены для количественного анализа проектных рисков в нестабильных условиях. Их важнейшим недостатком является высокая степень агрегированное™ риска, связанного с инвестиционным проектом.

Анализ чувствительности в целом также является недостаточно мощным инструментом для анализа рисков нестабильной экономики. Критические значения факторов определяют только пороговые величины изменения переменных, отсутствует информация о вероятностях выхода факторов за эти границы. Параметрический анализ чувствительности позволяет выявить только интервал возможного разброса значений результирующего показателя. Следовательно, анализ чувствительности обладает низкой информативностью и не позволяет получить количественную оценку риска проекта в целом. Тем не менее это отличный вспомогательный инструмент, облегчающий отбор ключевых (рисковых) переменных модели, влияние которых на результат проекта будет анализироваться более продвинутыми методами.

Кроме того, преимущество данного метода состоит в относительной простоте насыщения моделей необходимой информацией, а значит, в повышении достоверности выводов, сделанных на основе анализа проектных рисков.

Метод корректировки не позволяет адекватно учитывать риски различных проектных переменных из-за сведения их к одному показателю, игнорируя существующие внутренние взаимосвязи.

Методы с учетом распределения вероятностей позволяют получать распределения вероятностей результирующего показателя на основе распределений экзогенных переменных, но так как в основе этих методов лежит применение теории вероятностей, их использование связано с рядом ограничений, что оказывает существенное влияние на практическую применимость рассматриваемых методов.

Прежде всего — это характерное для данных методов упрощение характеристик самой модели инвестиционного проекта. Следующим недостатком является достаточно слабый учет формальных зависимостей переменных.

Применение имитации Монте-Карло позволяет учитывать любые распределения экзогенных переменных и получать распределение результирующего показателя. Однако вопрос об учете зависимостей остается открытым.

Использование методов теории игр и представлений теории нечетких множеств, очевидно, требует серьезной математической подготовки исследователя и развитых аналитических способностей.

Из всего сказанного следует, что наиболее приспособленным для анализа рисков в ситуации нестабильности является системный (комплексный) подход. Он ориентирован на любые виды зависимостей и распределений, позволяет использовать различные показатели эффективности, предполагает непосредственный учет рисков и вычисление совокупного риска проекта. Единственным недостатком системного подхода являются значительные затраты, связанные с его реализацией (сбор и обработка огромного массива исходной информации, значительные временные и финансовые расходы).

Учитывая ограниченные возможности использования всех названных методов анализа рисков к инвестиционным проектам, развивающимся в условиях нестабильной экономики, а также аналогичный опыт проектного анализа других стран, накопленный Всемирным банком, становится возможным описать промежуточный подход, универсальный для различных инвестиционных проектов.

В нестабильных условиях качественный анализ как первый этап анализа рисков, имеющий своей целью выявить факторы, области, виды рисков и произвести возможную на данном этапе их стоимостную оценку, приобретает особенно большое значение. Это связано с наличием нетрадиционных рисков и относительно более высокой степенью обычных рисков, поверхностная оценка которых может привести к более пагубным последствиям. Необходимым условием при этом является наличие ранжирования и систематизации рисков, полностью отражающей всю ту их совокупность, с которой придется иметь дело при реализации проекта.

Вторым этапом анализа рисков является количественный анализ. Его реализация может происходить с помощью всего ряда описанных выше методов. Особое внимание должно быть уделено построению модели: она должна хорошо описывать реальность, быть адекватной рассматриваемой экономической ситуации, чтобы достоверно отражать влияние рисков.

Подчеркнем еще раз, что априори трудно предугадать, какой метод из всех проанализированных является предпочтительнее. Каждый проектный аналитик должен выбирать для анализа своего инвестиционного проекта тот метод, ту технику исследования рисков, которые наиболее соответствуют возможностям данного проекта и внешним требованиям, учитывая при этом как их преимущества, так и недостатки.

Но следует помнить, что ни один из этих методов не устраняет необходимости для аналитика выбирать решение, балансируя между большей ожидаемой NPV и меньшим риском. Использование предложенных подходов и методов позволяет получить более четкое представление о направлениях действий. Однако насколько бы точны, многообразны и сложны эти методы ни были, они являются лишь инструментом и не могут заменить человека, принимающего решение.