Интеграл Лебега-Стилтьеса

• Введение
• Глава I. Развитие понятия интеграла
• 1.1 Проблема моментов
• Глава II. Интеграл Стилтьеса
• 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
• 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
• 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
• 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
• 2.5 Интегрирование по частям
• 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
• 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
• 2.8 Примеры
• 2.10 Теорема о среднем, оценки
• 2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
• 2.12. Примеры и дополнения
• Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
• 3.1 Применение в теории вероятностей
• 3.2 Применение в квантовой механике
• Заключение
• Список литературы
• Приложение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.

Цель работы — рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:

изучить множество литературы по этой теме;

отобрать из изученного материла необходимый;

привести примеры использования интеграла.

Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.

Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.

Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.

Глава I. Развитие понятия интеграла

1.1 Проблема моментов

Введение

понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел; требуется найти такую функцию распределения, чтобы члены заданной последовательности были моментами, т. е.. Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если, то получаем проблему моментов Стилтьеса.

Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чисел ищется такая функция, чтобы имели место равенства. Целесообразность привлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментов напрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла.

Ранние исследования Стилтьеса изложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется, позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определении многочлена

Условиями

(1)

при неотрицательной на .

Мы коснемся двух моментов из содержания его статьи.

Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:

Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П. Л. Чебышева в виде

где. (2)

Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в качестве брать числа, получаемые по формуле (2) из цепной дроби, соответствующей интегралу, а будут корнями знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании. Для этой цепной дроби числа, очевидно, удовлетворяют неравенствам

(3)

так как в этом случае .

Вторым моментом является следующий. Отметив, что его результаты полезны при изучении вопроса о квадратуре интеграла, Стилтьес ставит вопрос о квадратурных формулах для интеграла вида

. (4)

Он ограничивается тем частным случаем, когда — произвольная интегрируемая по Риману функция, а такова, что внутри не существует интервала, в котором, и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна со сколь угодно большой степенью точности. Доказательство этого факта опирается на то, что функция

(5)

является непрерывной и строго монотонной, а потому существует обратная функция, и в интеграле (4) возможна замена переменных

сводящих интеграл (4) к уже изученному Стилтьесом случаю.

По поводу же общего случая Стилтьес указал, что «условия, налагаемые на функции, делаются источником трудностей, которых удастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципах интегрального исчисления». Действительно, если не удовлетворяет условию отсутствия в интервала, в котором, то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение в том виде, в каком такую замену тогда производили, становится невозможным, и квадратуру интеграла (4) уже нельзя свести к квадратуре интеграла .

Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием замены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интеграла Стилтьеса.

Стилтьес рассматривал непрерывные дроби вида

(6)

где — в общем случае комплексное число.

Пусть — подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы

причем, если ряд расходится, то

если же ряд сходится, то

и функции и различны.

К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом

(7)

и непрерывной дробью

(8)

где — суть линейные функции, а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :

Формулами

Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни и действительны и различны, степень меньше степени. Дляй подходящей дроби справедливо равенство

или, в другой форме,

В частности,

Как уже говорилось при, а потому, если обозначить через нули, то и при. Аналогично, если — нули функции, то и для случая нечетных. В случае расходимости ряда очевидно, что .

Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням :

(9)

Тогда оказывается, что ряды

сходятся и

(10)

Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача — по разложению (9) найти дробь (6) — неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.

В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация, как массы, сосредоточенной в точке, являющейся корнем. Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая как массы, расположенные в нулях функции (или). После введения формул (10) Стилтьес пишет: «Рассмотрим на бесконечной прямой распределение массы (положительной), при котором на расстоянии от начала сосредоточена масса .

Сумма

может быть названа моментом порядка масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка системы масс

имеет значение .

Равным образом система масс, где, будем иметь те же моменты .

Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:

Найти распределение положительной массы на прямой, если даны моменты порядка «.

Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование и как масс, а как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.

Цепные дроби рассматривающегося П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке. Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни, оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале. Далее, поскольку рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности, как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции. Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т. е. решение проблемы моментов. Если при этом и, и попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы и. Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала, но для этого требовалось дать иное определение моментов.

Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.

Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.

Он рассмотрел интеграл для случая произвольной непрерывной и произвольной возрастающей. В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.

Глава II. Интеграл Стилтьеса

2.1 Определение интеграла Стилтьеса

Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции и. Разложим точками

(1)

промежуток на части и положим. Выбрав в каждой из частей по точке, вычислим значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции

.

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

. (2)

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом

. (3)

Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число, что лишь только промежуток раздроблен на части так, что, тотчас же выполняется неравенство

как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке интегрируема по функции .

Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции взята сама независимая переменная :

.

2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при теперь все .

Аналогично суммам Дарбу, и здесь целесообразно внести суммы

где и означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции вм промежутке. Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу-Стилтьеса.

Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)

причем и служат точными границами для стилтьесовских сумм .

Сами суммы Дарбу-Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:

1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма — разве лишь уменьшиться.

2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу-Стилтьеса:

и

то, оказывается, что

.

Наконец, с помощью сумм Дарбу-Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема: Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было

Или

если под, как обычно, разуметь колебание функции вм промежутке .

В следующем пункте мы применим этот критерий к установлению важных парных классов функций и, для которых интеграл Стилтьеса существует.

2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

I. Если функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса

(5)

существует.

Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда примени критерий предыдущего пункта. По произвольно заданному ввиду равномерной непрерывности функции найдется такое, что в любом промежутке с длиной, меньшей, колебание будет меньше. Пусть теперь промежуток произвольно разбит на части так, что. Тогда все

и

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случае, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций:. В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :

.

Так как по уже доказанному каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы, что и требовалось доказать.

Можно ослабить условия, налагаемые на функцию, если одновременно усилить требования к функции :

Если функция интегрируема в в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица:

(6)

то интеграл (5) существует.

Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно,, так что

.

Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции, а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случае функции, удовлетворяющей условию Липшица (6), представим в виде разности

Функция, очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции, так как, в силу (6), при

и

В таком случае рассуждение завершается, как и выше.

III. Если функция интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

(7)

где абсолютно интегрируема, в промежутке, то интеграл (5) существует.

Пусть, так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: то для

Имеем

Таким образом, в этом случае удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу 2.

Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем. Прежде всего, по произвольно взятому выберем так, чтобы было

(8)

где — общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток по произволу на части и составим сумму

Она разлагается на две суммы, из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке, а вторая — остальным промежуткам. Последние наверное содержаться в промежутке, если только; тогда, в силу (8),

С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше. Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

В общем случае, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке, мы рассмотрим функции

очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную, причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от до; тогда, как известно, имеет место формула типа (7):

.

Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в 3.

2.4 Свойства интеграла Стилтьеса

Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:

При этом в случаях из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем

в предположении, что и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки в число точек деления промежутка при составлении суммы Стилтьеса для интеграла .

По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов

и .

Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовской суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое, что любые две суммы и Стилтьеса, которым отвечают и, разнятся меньше чем на. Если при этом в состав точек деления включить точку, а точки деления, приходящиеся на промежуток, брать в обоих случаях одними и теми же, то разность сведется к разности двух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку, ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку и вычисленным для него стилтьесовским суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла. Аналогично устанавливается и существование интеграла .

Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов факт, что из существования обоих интегралов и, вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке функции и заданы следующими равенствами:

;

Легко видеть, что интегралы

оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда, для второго — из постоянства функции, благодаря чему всегда

В то же время интеграл

не существует. Действительно, разобьем промежуток на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму

Если точка 0 попадет в промежуток, так что, то в сумме останется только одное слагаемое; остальные будут нули, потому что

для .

Итак,

В зависимости от того, будет ли или, окажется или, так что предела не имеет.

Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке для обеих функций и .

2.5 Интегрирование по частям

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

(9)

в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.

Пусть существует интеграл. Разложив промежуток на части, выберем в этих частях произвольно по точке, так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и опять отнять справа выражение

то перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка точками деления

если в качестве выбранных из промежутков точек взять, а для промежутков и, соответственно, и. Если, как обычно, положить, то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут. При сумма в квадратных скобках стремится к, следовательно, существует предел и для, т. е. интеграл, и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция в промежутке интегрируема по функции, то и функция интегрируема по функции .

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в п. 3, переменив роли функций и .

2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

Пусть функция непрерывна в промежутке, а монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке изображен график функции. Для тех значений, при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаем обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки и. Так создается непрерывная линия, которая каждому значению между и относит одно определенное значение между и. Эта функция, очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; её можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

Именно, если ограничиться лишь теми значениями, которые функция действительно принимает при изменении от до, то является обратной для неё в обычном смысле, т. е. относит именно то значение, при котором. Но из промежутка значений

связанного со скачком функции, лишь одно значение имеет себе соответствующее значение; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения, очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

Докажем теперь, что

(10)

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция, а с нею и сложная функция, непрерывна.

С этой целью разложим промежуток на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

.

Если положить, то будем иметь

Так как, то

.

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя ещё непосредственно заключить, переходя к оператору, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, что к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися и будет заключено значение, где функция испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.

Имеем

и

так что

Предположим теперь настолько малыми, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа. Так как

при, очевидно,

то одновременно и

В таком случае

.

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем пункте.

2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса

Докажем следующую теорему:

Если функция интегрируема в смысле Римана в промежутке, а представлена интегралом

где функция абсолютно интегрируема в, то

(11)

Интеграл справа существует. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано (п. 3,3).

Остается лишь установить равенство (11).

Без умаления общности можно предположить функцию положительной.

Составим, как обычно, сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для будет, где означает колебание функции в промежутке. Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности:

Но мы уже знаем (п. 3,3), что при последняя сумма стремится к 0, следовательно,

что и доказывает формулу (11).

В частности, из доказанной теоремы вытекает (если учесть замечание в п.3) такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике:

2. При прежних предположениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеет в нем, исключая разве лишь конечное число точек, производную, которая в абсолютно интегрируема. Тогда

(12)

Интересно отметить, что интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ буквально как дифференциал, заменит его выражением .

Обращаясь к случаям, когда функция оказывается разрывной (что для практики, как увидим, представляет особый интерес), начнем с рассмотрения «стандартной» разрывной функции, определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода — скачок — в точке справа, причем величина скачка равна 1; в точке слева и в остальных точках функция непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке слева, причем величина скачка будет равна — 1.

Предположим, что функция непрерывна в точке, и вычислим интеграл где (при этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка попадет, скажем, вй промежуток, так что. Тогда, а при, очевидно,. Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: Пусть теперь. По непрерывности. Следовательно, существует (при)

(13)

Аналогично можно убедиться в том, что (при)

(14)

(при этот интеграл обращается в нуль).

Теперь мы в состоянии доказать теорему, в некотором смысле более общую, чем 2, а именно, отказаться от требования непрерывности функции:

Пусть функция в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную, которая абсолютно интегрируема в. При этом пусть функция в конечном числе точек

терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

(15)

Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции в точках или — односторонние.

Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции справа и слева:

очевидно, для

Составим вспомогательную функцию:

которая как бы вбирает в себя все разрывы функции, так что разность, как мы сейчас установим, оказывается уже непрерывной.

Для значений, отличных от всех, непрерывность функции не вызывает сомнений, ибо для этих значений непрерывны обе функции и. Докажем теперь непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы, кроме члена, непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения. При оно имеет значение; но таков же и его предел при :

Аналогично проверяется и непрерывность функции в точке слева.

Далее, если взять точку (отличную от всех), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

.

Для непрерывной функции, по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

Точно так же легко вычислить и интеграл

Складывая почленно эти два равенства, мы и придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции устанавливается попутно (п. 4,3).

2.8 Примеры

Вычислить по формуле (11) интегралы:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) где

б) где

Решение:

а) Функция имеет скачок 1 при и скачок — 2 при; в остальных точках. Поэтому

б) Скачок 1 при и — 2 при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках .

Имеем:

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) б) в)

где

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, при и. Производная

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке; сверх того, положим,. Очевидно, — монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

На отрезке при содержится, очевидно, масса. Точно так же на отрезке содержится масса. Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение

.

При стремлении к 0 всех, в пределе придем к точному результату:

. (16)

Можно было бы здесь сначала установить «элементарный» статический момент, отвечающий отрезку оси от до, а затем «просуммировать» эти элементы.

Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начал найдем формулу

(17)

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы. Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе, в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором — статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится интеграл для интеграла (17).

а) Составить выражение и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем:

б) То же самое — для такого распределения: массы величины 2 при и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем

в) выяснить распределение масс, если равна функции задачи 3).

Решение:

Массы величины 1 в точках и 0, в промежутке непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке — массы с плотностью .

6. Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось вдоль по оси балки, а ось вертикально вниз (см. рис) Не делая различий между действующими силами, обозначим для через сумму всех сил, приложенных на отрезке балки, включая интеграл реакции опор; далее, пусть. Силу называют перерезывающим усилием в сечении балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх — отрицательными.

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент в произвольном сечении балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части — обратное правило).

Так как на элементе, скажем, правой части балки приложена сила, создающая элементарный момент

то, «суммируя» получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

(18)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через, то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы приложены в точках. Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственные равные. Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

.

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интеграл сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим ещё один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

Пусть балка длины несет «треугольную» нагрузку с интенсивностью; кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке, интеграл реакции опор, обе равные — 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие интеграл изгибающий момент .

Решение:

Формула (15) может оказаться полезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем примере.

Пусть — «кусочно-полиномиальная» функция в промежутке; это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками

так, что в каждой из частей функция представляется полиномом не вышей степени. Заменив значения функции и всех её производных в точках и нулями, обозначим через величину скачкай производной вй точке .

Пусть, далее, — любая непрерывная функция; положим

и, вообще,

Тогда имеет место следующая формула:

Действительно, последовательно находим

двойная подстановка исчезает, а интеграл

Аналогично

и т.д.

Установим в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если и обе абсолютно интегрируемы в промежутке, а и определяются интегральными формулами:

то справедлива формула

(19)

Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):

Остается ещё раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).

Здесь функции и играют как бы роль производных от функций, не будучи ими на деле. При непрерывности функций и мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса

Рассмотрим интеграл

(20)

предполагая функцию непрерывной интеграл положительной, а — лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

(21)

выражает некоторую кривую, вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором функция испытывает скачок, так что, то этим предельным значениям отвечает одно интеграл то же предельное значение, равное. Дополним кривую всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек

и

отвечающие всем скачкам функции (см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая. Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой, осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

С этой целью разложим промежуток на части точками

и в соответствии с этим промежуток на оси — на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения и функции вм промежутке, составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу

Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (20).

2.10 Теорема о среднем, оценки

Пусть в промежутке функция ограничена:

а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от по, то имеет место формула

(22)

Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы :

Переходя к пределу, получим

(23)

Или

Обозначая написанное отношение через, придем к (22).

Если функция в промежутке непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретает вид

где (24)

В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:

(25)

Где

.

Действительно, для суммы Стилтьеса будет

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.

Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы к самому интегралу Стилтьеса (при прежних предположениях относительно функций и). Представив и в виде

и почленно вычитая эти равенства, получим

Если, как обычно, обозначить через колебание функции в промежутке, так что

для

то, применяя оценку (25) к каждому интегралу в отдельности, будем иметь

Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все, где — произвольное наперед взятое число, то заключаем, что

(26)

Эти оценки будут нами использованы в следующем пункте.

2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

Пусть функции непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции

(очевидно, также непрерывной), а — функция с ограниченным изменением. Тогда

Доказательство: По заданному найдется такое, что при будет для всех

Тогда, в силу (25), для

что, ввиду произвольности, и доказывает теорему.

Пусть теперь функция непрерывна в промежутке, а функции — все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены:

и при стремятся к предельной функции

То

Доказательство:

Прежде всего, убедимся в том, что предельная функция сама также будет иметь ограниченное изменение. Разложив промежуток произвольным образом на части точками

будем иметь (при любом)

Переходя к пределу здесь при, получим

откуда и

Составим суммы Стилтьеса

Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа, то в силу оценки (26), при всех

(27)

С другой стороны, если разбиение, выбранное под указанным условием, фиксировать, то, очевидно, при, так что найдется такое, что для будет

. (28)

Тогда для тех же значений будем иметь, в силу (27) и (28),

откуда, ввиду произвольности, и следует требуемое заключение.

2.12. Примеры и дополнения

Предполагая функцию монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа, фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение:

Действительно, обозначив через и наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и считая, легко найдем такую часть этого промежутка, в которой границами служат числа и, так что

Написав для промежутков и неравенства вида (23) интеграл складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства:

так что число

Лежит строго между и; а тогда найдем и строго между и, для которого и т. д.

Используя формулу (11) п., формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса, очень легко заново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов.

Итак, пусть интегрируема (в смысле Римана), а монотонно возрастает в промежутке. Введем функцию

;

она, как мы знаем, будет непрерывна.

Теперь последовательно имеем

что и требовалось доказать.

Если монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно :

Доказать, что, если в точке одна из функций и непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интегралов и влечет за собой существование и .

С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы мы будем включать точку в состав точек деления, то сумма будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков и; при она будет стремиться к сумме интегралов. Пусть теперь точка не входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку, мы от перейдем к новой сумме, про которую мы уже знаем, что при она имеет указанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разность будет вместе с стремиться к 0.

Пусть точка попадает в промежуток; тогда сумма отличается от суммы лишь тем, что вместо слагаемого

в ней имеется два слагаемых:

где и выбираются произвольно под условиями и. Положив для упрощения, сведем последнее выражение к

так что

(29)

Когда, то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно, что и требовалось доказать.

Если обе функции и оказываются разрывными в одной интеграл той же точке, то интеграл Стилтьеса

(30)

заведомо не существует.

Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала, и пределы и не равны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем, Выбрав один раз, а другой раз взяв в качестве составим две суммы и, разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь

Кроме того, точку можно выбрать так, чтобы разность была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разность не стремится к 0, так что интеграл существовать не может.

Если же, но их общее значение отлично от («устранимый разрыв»), то, наоборот, включим в число точек деления; пусть. Если имеет, например, разрыв в точке справа, то, как и только что, составим две суммы и, разнящиеся лишь выбором: для точка взята произвольно между и, а для в качестве взята. По-прежнему имеем (29), интеграл рассуждение завершается аналогично.

Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот факт, о котором говорилось в конце п. 4.

Пусть непрерывна, а имеет ограниченное изменение в промежутке .

Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса

по переменному верхнему пределу в точке, где функция непрерывна.

Заключение

сразу вытекает из неравенства

если принять во внимание, что в точке должна быть непрерывна и вариация .

Если есть класс непрерывных в промежутке функций, а — класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, ни другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.

Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса. Действительно, если функция имеет точку разрыва, то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением, имеющей ту же точку разрыва.

Пусть теперь в промежутке имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию, для которой интеграл (30) не существует.

Если разделить промежуток пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам интеграл т.д. По этому методу определится некоторая точка, в каждой окрестности которой не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть .

В таком случае легко построить последовательность возрастающих интеграл стремящихся к значений :

так, чтобы ряд

расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел, чтобы и ряд

(31)

все же расходился. Теперь определим функцию, полагая

а в промежутках считая линейной:

Очевидно, будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), при и

так что интеграл от по действительно не существует.

Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции существует по любой из, то необходимо принадлежит; аналогично, если этот интеграл по данной функции существует для любой из, то необходимо принадлежит .

В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса мы поставили требование, чтобы последовательность функций стремилась к предельной функции равномерно. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности:

(Только при этом нужно ещё наперед предположить непрерывность предельной функции).

При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда возрастает в строгом смысле. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п.:

и, имея дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Арцелла.

Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка.

Пусть для каждой части данного промежутка определено число, причем, если промежуток точкой разложен на части и, то и

Тогда есть аддитивная функция от переменного промежутка. Предположим, что кроме неё для промежутка задана и функция точки. Разложим теперь, как обычно, промежуток точками

на части, в каждой части произвольно выберем по точке и, наконец, составим сумму

(32)

Предел этой суммы при и есть интеграл Стилтьеса, который естественно — учитывая процесс его построения — обозначить так:

(33)

Если определить вторую функцию точки, положив

для

то, ввиду аддитивности функции, во всех случаях

(34)

так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме

а предел (33) — к обыкновенному интегралу Стилтьеса

.

Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу (33).

Глава III. Применение интеграла Стилтьеса

3.1 Применение в теории вероятностей

В элементарной теории вероятностей, где рассматриваются случайные величины, которые могут принимать только конечное множество значений, среднее значение или математическое ожидание определяется формулой:

(1)

Имея эту формулу, мы можем при помощи интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения на случайные величины, которые могут принимать любое множество значений, заключенное в каком-нибудь ограниченном интервале , — если только мы примем следующую аксиому:

Каковы бы ни были функции и случайной величины, для которых всегда, для них будут иметь место также и неравенства:

(2)

Чтобы распространить определения среднего значения, возьмем какое-нибудь подразделение

и пусть и, когда Здесь, и поэтому в силу условия (2):

Величины же и, таким образом определенные, могут принимать соответственно только значения и, а потому по формуле (1):

С другой стороны, очевидно, что вероятности и обе равны вероятности, и потому

Итак, если ввести функции распределения случайной величины :

Верхняя грань сумм в левой части и нижняя грань сумм в правой части этих неравенств обе равны интегралу Стилтьеса функции, взятому в пределах от до; последний всегда существует, как интеграл непрерывной функции, ограниченной в промежутке интегрирования. Итак, для среднего значения должно иметь место равенство:

.

Несколько сложнее обстоит дело со случайными величинами, которые могут принимать неограниченное множество значений. Если такая случайная величина может принимать только счетное множество значений, то среднее значение определяется формулой

(3)

причем ряд в правой части этой формулы должен быть абсолютно сходящимся, иначе его сумма зависела бы от порядка, в котором перенумерованы значения случайной величины, и среднее значение не было бы однозначно определено.

Имея формулу (3), мы можем при помощи соответствующим образом определенного несобственного интеграла Стилтьеса распространить определение среднего значения и на многие такие случайные величины, которые могут принимать несчетное неограниченное множество значений.

Приведем пример вычисления среднего значения случайной величины, для которой это вычисление требует именно интеграла Стилтьеса, незаменимого ни обычным интегралом, ни конечным, ни бесконечным рядом.

Пусть случайная величина определяется следующими условиями:

Она может принимать только значения между 0 и 1. Таким образом, её функция должна быть равна 0 при x<0 и равна 1 при .

0 1

Она не может принимать ни одного значения в интервале; попадание в соседние интервалы равновероятно. Таким образом, в интервале её функция распределения должна быть постоянна и равна .

В каждом из крайних интервалов повторяется такая же картина, т. е. не может принимать ни одного значения в интервале и, попадание же в четыре интервала, ,, для неё одинаково вероятно. Таким образом, в интервалах и её функция распределения должна иметь постоянные значения: в первом и во втором .

Такая же картина повторяется и в каждом из названных четырех интервалов длины и т. д.

0 1

0 1

Повторив раз наше рассуждение, мы будем иметь интервалов, каждый длины; для из этих интервалов вероятность попадания в каждый из них будет равна, попадание в остальные будет невозможно. В этих последующих функция распределения будет постоянна. Чтобы определить функцию распределения в каждой точке интервала, достаточно представить себе, что мы повторяем такие же рассуждения бесконечное число раз. После этого даже в точках, оставшихся вне интервалов, в которых функция распределения постоянна, она должна была получить определенные значения в силу того, что она должна быть неубывающей.

В самом деле, и слева, и справа от каждой такой точки, с обеих сторон как угодно близко к ней, будут встречаться интервалы, в которых функция распределения постоянна, потому что по мере расширения этих интервалов путем присоединения к имеющимся уже интервалам длины следующих интервалов длины расстояния между ними становятся сколь угодно малыми.

Определив таким образом функцию распределения, мы уже без труда вычислим среднее значение .

Для этого достаточно обратиться к его геометрическому изображению. В данном случае оно изображается площадью, ограниченной прямыми и и кривой распределения. Но эта площадь в силу симметрии равна площади, ограниченной прямыми и и кривой. Взятые же вместе эти площади составляют площадь квадрата равную 1. Отсюда ясно, что

3.2 Применение в квантовой механике

Аппарат стилтьесовского интегрирования приспособлен для единообразного описания дискретных и непрерывных явлений. Это обстоятельство оказалось решающим и при введении его в математический арсенал квантовой механики.

Если в механике раньше пользовались в основном классическим математическим анализом — аппаратом, приспособленным для описания определенного класса непрерывных явлений, а в тех случаях, когда нужно было описать дискретные явления, прибегали к теории рядов, конечных или бесконечных, то в квантовой механике такие приемы оказались недостаточными. Непрерывные и дискретные аспекты переплелись в ней настолько тесно, что идея их единообразного описания напрашивалась сама собой.