Цилиндр (граничные условия первого рода)

Рассмотрим задачу теплопроводности для бесконечного цилиндра при симметричных граничных условиях первого рода. Математическая постановка задачи в данном случае будет иметь вид.

где обозначения те же, что и в задаче (5.1)—(5.4).

В соответствии с методом разделения переменных решение задачи (5.29)—(5.32) разыскивается в виде.

Функция |/(х) удовлетворяет уравнению Бесселя где I = ц".

Граничные условия для уравнения (5.34) согласно (5.31), (5.32) будут иметь вид.

Следуя методу Бубнова—Галеркина, решение задачи (5.34)—(5.36) разыскивается в виде.

где Ь_к — неизвестные коэффициенты; гр,(х) — координатные функции, определяемые по формуле

Соотношение (5.37) при использовании координатных функций вида (5.38) точно удовлетворяет граничным условиям (5.35), (5.36). Для нахождения неизвестных коэффициентов (k = 1, п) составляется невязка уравнения (5.34) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям:

Соотношение (5.39) представляет систему однородных алгебраических линейных уравнений вида (5.15), где.

Из этой системы уравнений находятся собственные числа А* и коэффициенты bк.

Коэффициенты Цг, находятся из начального условия (5.30). Значения этих коэффициентов для шести приближений имеют вид.

После нахождения Д решение задачи (5.29)—(5.32) в замкнутом виде находится из (5.33).

На графиках рис. 5.9 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (5.33) в шестом приближении в сравнении с точ;

Рис. 5.9. Графики распределения относительной избыточной температуры.

в цилиндре:

—расчет по формуле (5.33) (шестое приближение); о — точное решение [49] ным решением. Собственные числа для трех и шести приближений представлены в табл. 5.3. Точные значения собственных чисел даны в табл. 6.2.

Невязки уравнения (5.29) и начального условия (5.30) представлены на графиках рис. 5.10—5.12.

Рис. 5.10. Изменение невязки е уравнения (5.29) при п = 6 (шесть приближений) (Fo = 0,1).

Рис. 5.11. Изменение невязки е уравнения (5.29) во времени для п = 6 в точке х = 1.

Рис. 5.12. Изменение невязки е начального условия (5.30) при п = 6 (Fo = 0).

Таблица 53