Пример прогнозирования нагрузок и электропотребления по регрессионной модели

Постановка задачи и исходные данные. Обучающая выборка представляет собой совокупность наблюдаемых значений максимальной годовой нагрузки энергосистемы за прошедшие 10 лег. Требуется подобрать уравнение регрессии в виде временного многочлена, выполнить прогноз нагрузки на последующие 5 лет и оценить доверительные интервалы прогноза.

Совокупность наблюдаемых значений максимальной годовой нагрузки:

Отбор информативных показателей и определение вида модели. Графический анализ совокупности позволяет выдвинуть гипотезу о модели в виде временного многочлена у = а₁х₁ + а₂х₂ + а₃х₃, где ^xi = 1, х₂ = t, х₃ = t².

Тогда можно получить вектор выборочных значений моделируемого показателя Y_B и матрицу выборочных значений X:

Математические ожидания и дисперсии параметров:

Матрица коэффициентов парной корреляции параметров между собой (1−3 столбцы матрицы R) и параметров и моделируемого показателя (4 столбец матрицы R):

Анализ корреляционной матрицы показывает, что все параметры существенно влияют на моделируемый показатель. В то же время параметры не являются независимыми друг от друга и следовало бы один из них исключить (*! или х₂), но для лучшего ознакомления студентов с методикой построения многомерных моделей исключение переменных х_х или х₂ нс произведено.

Точечные оценки коэффициентов модели определяются по соотношениям:

Для получения вектора математических ожиданий точечных оценок коэффициентов модели необходимо выполнить обращение информационной матрицы М = Х^?Х любым известным методом.

Тогда вектор коэффициентов модели

Вычисление точечных оценок показателя и ошибок моделирования. Математическое ожидание У_м модельных — или вычисленных — значений показателя найдено по модели с использованием точечных оценок коэффициентов модели по соотношениям:

Результаты расчетов по выборочной совокупности приведены в табл. 17.

Расчет погрешностей моделирования Таблица 17.

Проверка статистической состоятельности модели. Проверка нулевой гипотезы, которая отвергает состоятельность регрессионной модели, выполняется на основе сопоставления дисперсии моделируемого показателя и дисперсии ошибки моделирования. Отношение дисперсий подчиняется распределению Фишера [7]. Для подтверждения состоятельности модели вычисляется значение F_pac и сравнивается с величиной критического значения стандартного F-распределения с высокой достоверностью (3 = 0,99 (или 0,95) и числом степеней свободы числителя (N — 1) и знаменателя (N — п):

Стандартное значение F-распределения с достоверностью (3 = 0,99 и числом степеней свободы числителя А₁ = (10 — 1) = 9 и знаменателя А₂ = (10 — 2) = 8 равно F_Ta6jl = 5,91 (см. табл. 18); следовательно, Fpac > F-габл ^и нулевая гипотеза о несостоятельности модели отвергается, т. е. подтверждается адекватность вида модели и оценок математических ожиданий коэффициентов.

Критические точки распределения F Фишера-Снедекора Таблица 18.

Примечание. Л_г — число степеней свободы большей дисперсии;

Я₂ — число степеней свободы меньшей дисперсии.

Проверка отсутствия авторегрессионных связей выполняется по критерию Дарбина-Ватсона (77).

В нашем примере ^?i^?;-i ⁼ —0,1399, тогда.

Таким образом, можно утверждать, что авторегрессионные связи отсутствуют и ошибки моделирования независимы и случайны.

Вычисление интервальных оценок показателя и ошибок моделирования. Среднеквадратичная ошибка моделирования.

тогда оценки ошибок коэффициентов модели могут быть найдены по выражению

Проверка значимости коэффициентов модели выполняется на основе сопоставления значения коэффициента модели и оценки его ошибки. Отношение этих величин подчиняется распределению Стьюденга. Для подтверждения значимости коэффициентов модели вычисляется расчетное значение t_pac и сравнивается с величиной критического значения стандартного F-распределения с высокой достоверностью (3 = 0,99 (или 0,95) и числом степеней свободы ошибки (/V — п):

Стандартное значение F-распределения с достоверностью (3 = 0,99 (уровнем значимости а = 0,01) и числом степеней свободы знаменателя X = (10 — 2) = 8 равно t_Ta6jl = 3,36 (см. табл. 19). Следовательно, tpac i > ?_Табл (Д^{ля всех} коэффициентов модели), нулевая гипотеза о незначимое™ коэффициентов модели отвергается и подтверждается значимость всех коэффициентов.

Построение интервальных оценок Да* - доверительных интервалов коэффициентов модели — выполняется с использованием стандартного значения F-распределения с уровнем значимости, а = 0,01 и числом степеней свободы знаменателя 8, которое равно t_Ta6jI = 3,36, тогда:

Критические точки распределения Стьюдента Таблица 19.

Теперь модель можно записать с учетом точечных и интервальных оценок:

или.

Прогнозирование по регрессионной модели включает определение точечных и интервальных оценок показателя моделирования на заданную перспективу. Точечные оценки показателя на год у определяются по модели.

Интервальные оценки на год j выполняются на основе расчетов ошибок прогнозирования по соотношению.

Пример прогнозирования показателя выполнен па год j = 11. Точечная оценка прогноза показателя у = 10,09 + 0,95 -11 + 0,05 • 11² = = 26,29.

Определение интервальной оценки:

таким образом, прогнозное значение у на 11-й год составляет 26,29 ±1,6.

Результаты прогнозирования на нятилетний период приведены в табл. 20.

Таблица 20.

Прогноз максимальной годовой нагрузки энергосистемы.