Кинематика и динамика относительного движения. 
Ускорение Кориолиса

Любое движение рассматривается по отношению к принятой системе отсчета. Поэтому, в принципе, любое механическое движение является относительным и его кинематические параметры зависят от принятой системы отсчета.

В предыдущих случаях точкой отсчета служила точка, неподвижная относительно поверхности Земли. Но, как известно, Земля совершает сложное движение относительно Солнца, и, таким образом, движение по отношению к поверхности земли является, по существу, относительным.

В строгом смысле различают инерционную и иеинерционную систему отсчета. В первой системе выполняется закон инерции Ньютона — Галилея (всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока силовое воздействие не выведет ее из этого состояния). Инертность — это свойство тел сохранять скорость V = const или V = 0. Любая система, имеющая постоянную скорость, относительно инерциальной системы сама инерциальна, и, наоборот, система, движущаяся с ускорением а > 0, неинерциальна по отношению к инерциальной системе.

Принято считать инерциальной гелиоцентрическую систему отсчета (начало координат — в центре Солнца). В практической механике отсчет, но отношению к центру Земли с достаточной точностью полагается также инерциальной системой (пренебрегая величиной ускорения земной поверхности).

В общем случае абсолютные величины кинематических параметров (V, а) являются векторной суммой параметров движения точки отсчета (переносное движение) и данной точки, движущейся относительно точки отсчета. Таким образом, система Земля — движущееся тело (например, вагон поезда) считается инерционной системой (с некоторой погрешностью), а система типа автобус — пассажир — неинерционная. Если пассажир перемещается по автобусу (относительное движение), то его абсолютная скорость и ускорение (относительно неподвижной поверхности Земли) есть сумма скорости или ускорения автобуса (переносное движение) и скорости или ускорения движения пассажира, но автобусу.

где переносное движение является поступательным.

В инерциальной системе закон Ньютона имеет вид

В сложном криволинейном движении, когда переносное движение вращательное, появляется еще одно слагаемое ускорения — ускорение Кориолиса (а_к). Рассмотрим это ускорение.

Пусть тело (рис. 6.9, ползун А) движется вдоль рычага ОД вращающегося с угловой скоростью со. Вращение относительно неподвижной точки отсчета — переносное движение. Величина V_r — относительная скорость ползуна вдоль ОД Траектория точки А показана пунктиром. Относительное ускорение а_т._н = dVJdt, величина V_r = dr/dt В двух положениях точки А разность векторов V_r — V'_r = AV_r (см. рис. 6.9, б). Для очень малых углов <�р ~ sirup, тогда AV_r = V_rср. При этом изменения приращения AV_r определяют величину дополнительного ускорения Кориолиса.

Рис. 6.9. Движение ползуна по окружности

Если V_r = const, то а_г = 0 и а_аоп = а_х = Р, со (здесь со — угловая скорость), а_{ — есть результат изменения ускорения за счет изменения радиальной скорости V_r. Кроме этого, меняется направление вектора V_r Поэтому суммарное ускорение Кориолиса удваивается.

и направлено перпендикулярно О А в сторону углового вращения. В рассмотренном примере при со = const переносное ускорение.

где

Относительная сила при отсутствии внешних сил Суммарная сила с учетом ускорения Кориолиса.

Отсюда сила инерции относительного движения и соответствующее уравнение относительного движения (сумма векторных величин).

Аналитическое выражение для вычисления силы Р_0ТИ требует знания углов между направлениями векторов ускорений и осей координат.

Для пространственной системы координат имеем следующие уравнения динамики относительного движения.

Эти уравнения — вариант общих дифференциальных уравнений динамики (при разложении слагаемых абсолютного ускорения на его проекции по осям координат).

Вращательное движение можно рассматривать как относительное движение вокруг некоторого центра вращения. Если центр вращения также совершает движение, то его положение в данный момент времени называется мгновенным центром скоростей (МЦС). Для его определения достаточно знать направление векторов скоростей двух любых точек тела. МЦС лежит на пересечении двух перпендикуляров к векторам скоростей V_A и V_B (рис. 6.10). Тогда скорость произвольной точки тела, например, точки С легко определяется из выражения V_c = со СО, где . Очевидно, что

Здесь ЛО, ДО, СО — радиусы вращения соответствующих точек вокруг МЦС (точка О).

О.

а.

Рис. 6.10. Вращение произвольного тела с мгновенным центром скоростей

Если заданные скорости двух точек V_A Ф V_H параллельны (рис. 6.10, б), то положение МЦС определяется пересечением прямой Л ДО и пунктирной прямой, проведенной через концы векторов V_А и V_H.

При V_A = ЕдЭти прямые не пересекаются (т.е. радиус равен °о). В этом случае движение поступательное. Д общем случае движение плоской фигуры можно представить как вращение (с постоянной или переменной угловой скоростью) вокруг движущегося МЦС.

Рассмотрим тело, движущееся относительно некоторого подвижного центра О (рис. 6.11). В каждое мгновение абсолютная скорость произвольной точки Л тела: V_A = V_Q + V_AO, где V₀ — переносная скорость, a V_A0 — относительная скорость. Во вращательном движении скорость V₀ = со₀г₀ и V_AO = = со_Аг_А, здесь г₀ = ОД, г₀ = ЛД, — расстояние до МЦС.

Положение МЦС, как указано выше, определяется на пересечении двух перпендикуляров к векторам V_A0 и Р₀. Положение точки Д меняется в процессе движения. Точка Д движется по прямой, если направления V_A0 и V_Q не меняются. Понятие о МЦС помогает решать задачи по определению скоростей любых точек тела сложных механических систем.

Рис. 6.11. Движение тела относительно некоторого подвижного центра

Рис. 6.12. Плоский рычажной механизм

Пример определения скоростей в плоском рычажном механизме

(рис. 6.12). Рычаг АВ вращается со скоростью вокруг неподвижной точки А_у при этом ползун (точка С) движется поступательно со скоростью V_c. Мгновенный полюс скоростей — О находится на пересечении перпендикуляров к векторам V_A и V_c. Линейная скорость V_B = со, г.

Из геометрических соотношений (по треугольникам ABD и BCD):

В каждое мгновение скорость точки В по отношению к точке О (МЦС) откуда.

Скорость произвольной точки S Из косоугольного треугольника 05С следует.

С учетом этого.

При CS = 0 получаем скорость точки С: V_c = co₂Xtg (p. После подстановки и преобразований получаем.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 6.13. Движение лифта

По этой формуле определяется скорость точки С (ползуна) при любом угле ведущего звена (рычага) АВ.

Пример задачи на относительное движение.

Лифт движется по заданному закону х = f{t). Внутри лифта закреплен на пружинной подвеске с участками различной жесткости С, и С₂ груз (имитация тросового подвеса, рис. 6.13). Найти уравнение движения груза в виде х₂ =f (t) относительно кабины лифта, считая.

Решение. Составляем дифференциальное уравнение относительного движения груза (т.е. прибавляем к правой части основного уравнения динамики переменную силу Р_|1ср).

Сила упругости подвески Q пропорциональна перемещению грузах,. Из условия совместной деформации пружин получаем.

т.е. эквивалентная жесткость (так как удлинения обоих пружин равны общему удлинению). Переносная сила.

так как движение лифта поступательное.

Скорость и ускорение лифта.

Из начальных условий (при t = 0, х = х₀) по заданной /(х) имеем Получаем

и искомое дифференциальное уравнение

или

Из теории дифференциальных уравнений (см. справка 5) известно, что решение дифференциальных уравнений с правой частью имеетвид: д:"" = х, + х₂,.

где решение уравнения (6.26) без правой части (т.е.) дает величину

Это уравнение колебательного движения. Для х₂ ищем решение в виде (с учетом вида правой части) х₂ = В, + B₂sinco7, тогда х₂ —B₂co²sinco7. Подставляя в (6.26) имеем.

При t = О.

При t = л/2.

После подстановки коэффициентов В, и В₂ в общее решение уравнения (6.26) получим.

Коэффициенты Л, и А₂ находим из начальных условий: х_г = 0 и V_g = 0. Подставив в полученное выражение для значения х условия: х = 0 и t = 0, получаем коэффициент.

При начальной скорости.

для t = 0 имеем

и окончательно получаем закон движения груза в виде (зависимость его перемещения х от времени t)

При соt = я/2 максимальная амплитуда