Основы теории планирования эксперимента

Представление ЭЭС как большой системы кибернетического типа приводит к формированию кибернетических моделей системы, где параметры рассматриваются как входы, а функции — как выходы модели со сложной и во многом неизвестной внутренней структурой, как показано на рис. 31.

При неизвестной внутренней структуре связь входов и выходов модели определяют экспериментально. По результатам экспериментов можно предпринять попытку установить аналитическую связь между входными и выходными параметрами, т. е. получить аналитическую модель системы. Способы решения этой задачи изучает теория планирования эксперимента (ТПЭ). В ТПЭ входные параметры называют факторами, а выходной параметр — откликом. Пространство, в котором определены значения факторов и отклика, называют факторным.

Примером задачи, в которой практически невозможно установить прямую аналитическую связь между входными и выходными параметрами, является задача моделирования влияния будущей системообразующей электрической сети на оптимальность развития и размещения генерирующих мощностей в ОЭС. Для решения этой задачи можно использовать ТПЭ.

Различают пассивный и активный эксперимент.

При проведении пассивного эксперимента никаких целенаправленных действий по приданию факторам нужных значений не предпринимается. Примером проведения пассивного эксперимента может служить обычный статистический сбор информации с функционального объекта. Достоинством пассивного эксперимента обычно является дешевизна, так как проведение наблюдений над естественно функционирующим объектом обычно нс требует больших затрат. В то же время при пассивном эксперименте имеет место неоптимальное расположение наблюдений, что заставляет значительно увеличить число опытов.

В результате применения активного эксперимента стремятся минимизировать количество экспериментов, оптимально использовать факторное пространство, уменьшить влияние на поверхность отклика посторонних случайных факторов, максимально упростить расчет статистических оценок. Далее показано, что активное планирование эксперимента обычно приводит к построению ортогональных планов, для которых характерна возможность независимой оценки коэффициентов модели. Одновременно удовлетворяется важное требование регрессионного анализа — малая коррелированность параметров. Применение активного эксперимента имеет и другие преимущества, о которых будет сказано далее.

Проведение активного эксперимента включает следующие этапы.

• 1. Формулировка цели эксперимента и выдвижение гипотез. Обычно выдвигается гипотеза о виде модели. Несмотря на преимущества активного эксперимента перед пассивным, последний часто используется на начальной стадии исследования. В частности, он позволяет выдвинуть обоснованную гипотезу относительно состава влияющих факторов и формы связи отклика с факторами.
• 2. Определение методики эксперимента (с учетом ресурса на проведение эксперимента).
• 3. Установление пределов варьирования факторов Х{Х₁, Х₂, …, Х_т}.
• 4. Формирование план-матрицы (набора планов) эксперимента, т. е. точек в пространстве Х{Х₁, Х₂, …, Х_т}, соответствующих опытам.
• 5. Определение повторяемости опытов. Повторяемость опытов внутри каждого плана эксперимента устанавливается для учета влияния случайных факторов с целью оценки элемента неопределенности модели.
• 6. Установление порядка проведения опытов. Для снижения отрицательного влияния систематических ошибок эксперимента обычно выбирается случайный порядок проведения опытов.
• 7. Проведение эксперимента и обработка его результатов.

Содержание этапов активного эксперимента можно пояснить на примере моделирования электросетевого блока.

При формулировке цели эксперимента и выдвижении гипотезы о виде модели следует стремиться к получению возможно более простых моделей, например, линейных.

Введение

нелинейности следует использовать лишь в том случае, когда линейная модель оказывается неадекватной (т. е. не соответствующей действительной взаимосвязи), или если введение нелинейного члена обусловлено его существенным влиянием на моделируемый процесс.

Выбор методики эксперимента зависит от вида модели и трудоемкости проведения опытов. Методика постановки эксперимента раскрыта далее.

Пределы варьирования факторов эксперимента устанавливаются исходя из ожидаемых в оптимизационной задаче. Например, в задаче моделирования электросетевого блока эти пределы могут быть получены на основе анализа планов будущего развития ОЭС, для которой намечается использование модели.

Порядок проведения опытов при формировании моделей электросетевого блока не имеет значения, т. к. эксперимент ставится не над реальной системой, а над ее моделью, т. е. используется метод имитационного моделирования.

При планировании методом факторного эксперимента обычно рассматриваются значения параметров X_t, принадлежащие крайним уровням их варьирования в данном эксперименте, или граничные значения А!)_тах, X_imin. При таком варьировании обследуемая зона факторного пространства представляет собой многомерный параллелепипед (гиперпараллелепипед). Целесообразно проводить центрирование и масштабирование переменных Х{Х₁, Х₂, …, Х_т), получая безразмерные факторы x_t:

Новое кодированное факторное пространство ограничено гиперкубом с координатами вершин X; = 111.

На отклик, наряду с управляемыми факторами, действуют внешние неуправляемые факторы, поэтому связь отклика с входными факторами является статистической. Повторение опытов даже с одним и тем же сочетанием значений факторов дает различные значения отклика. Таким образом, значения отклика у_ик различаются не только между планами и = 1,2,…, U эксперимента, но и между конкретными опытами к — 1,2, К в пределах каждого плана. Выполнение таких дублирующих опытов к = 1,2,…, К позволяет определить ошибку воспроизводимости отклика. Численной мерой ошибки воспроизводимости является дисперсия воспроизводимости.

где среднее значение отклика.

В задачах развития энергосистем ошибка воспроизводимости обычно является единственной причиной проведения дублирующих опытов. Кроме того, в задачах исследования режимов ЭЭС необходимо считаться с наличием ошибок измерения параметров.

Основной задачей проведения активного эксперимента и обработки его результатов является получение модели в виде аналитической функции зависимости отклика от факторов. Предметом факторного эксперимента является установление статистической связи отклика с факторами, поэтому обработка результатов эксперимента выполняется методами регрессионного анализа.

В пассивном эксперименте отсутствуют средства воздействия на матрицу исходных наблюдений X и информационная матрица м = х^?х имеет произвольную структуру. Поэтому обращение информационной матрицы М является весьма трудоемкой операцией.

В активном эксперименте можно спланировать эксперимент так, чтобы придать желаемые свойства информационной матрице. Наиболее желаемой является информационная матрица диагонального вида, тогда ее обращение нс составляет труда, так как элементами обратной матрицы являются величины, обратные диагональным элементам матрицы. Условия, при которых информационная матрица М приобретает диагональную форму, следующие:

Очевидно, что условия (167) являются условиями ортогональности планов эксперимента.

Основная задача планирования эксперимента — ответ на вопрос, как расположить наблюдения в факторном пространстве, чтобы получить информационную матрицу с заданными свойствами. Наиболее просто это сделать в эксперименте с двухуровневыми планами.

Пусть рассматривается задача планирования и проведения эксперимента для установления линейной связи в виде.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 32. Факторное нросгранство эксперимента 2^:

отклика у_и и факторов эксперимента х_1и, х_2и. Факторное пространство при варьировании двух факторов на двух уровнях представляет собой квадрат с вершинами Х; = |1|. При этом ортогональные планы эксперимента, максимально охватывающие факторное пространство, соответствуют вершинам квадрата (звездочки на рис. 32). Планматрица эксперимента для построения линейной модели при варьировании двух факторов на двух уровнях приведен в табл. 28.

Элементы предпоследней строки табл. 28 иллюстрируют свойство ортогональности планов — нулевые значения внедиагональных элементов информационной матрицы.

В табл. 28 и на рис. 32 показаны все возможные опыты, при которых планы ортогональны. При двух факторах число таких опытов 2² = 4, в общем случае их число определяется соотношением U = q¹, где q — число уровней варьирования факторов эксперимента, а / - число факторов. Подобные эксперименты носят название полных факторных экспериментов (ПФЭ).

С учетом диагональное™ информационной матрицы нетрудно получить формулы для определения коэффициентов линейной модели при любом числе факторов эксперимента:

Таблица 28.

План-матрица эксперимента 2²

Общий вид линейной модели.

Для определения коэффициентов модели требуется, чтобы число коэффициентов модели в системе Y = МА было не больше числа опытов. В план-матрице полного факторного эксперимента 2² — четыре опыта, а в линейной модели — три определяемых коэффициента а₀, а_г, а₂, следовательно, имеется возможность в рамках эксперимента 2² построить неполную квадратичную модель.

Значение коэффициента а₁₂ можно вычислить на основе эксперимента, приведенного в табл. 28, по формуле.

Нетрудно видеть, что в общем случае коэффициенты неполных квадратичных моделей можно подсчитать по формулам вида

Исследователь всегда стремится уменьшить стоимость эксперимента, если погрешность моделирования остается в допустимых пределах. Таким образом, правомерно поставить вопрос: нельзя ли провести сокращенный факторный эксперимент, сохраняя его преимущества, вытекающие из ортогональности планов? Такие сокращенные факторные эксперименты возможны и они называются дробными факторными экспериментами (ДФЭ).

Рассмотрим в качестве примера полный факторный эксперимент 2³. Факторное пространство при варьировании двух факторов на трех уровнях представляет собой, как показано на рис. 33, куб с вершинами Х (= |1|. План-матрица эксперимента 2³ приведена в табл. 29, где для краткости «+1» и «-1» заменены знаками «+» и «—».

Таблица 29.

План-матрица эксперимента 2³

Для построения линейной модели (четыре коэффициента а₀, а_ъ а₂, а₃) ПФЭ 2³ явно избыточен, т. к. минимально необходимое число опытов равно четырем. В то же время опыты 1, 6, 7, 4 представляют собой ортогональную совокупность, достаточную для вычисления всех коэффициентов модели. Такую же совокупность представляют собой остальные опыты — 5, 2, 3, 6. Поскольку каждая из совокупностей требует количества опытов вдвое меньшее, чем ПФЭ, то они называются полурепликами, а представляемый ими эксперимент является ДФЭ. Планы дробного факторного эксперимента изображены в табл. 30.

Таблица 30.

Две полуреплики дробного факторного эксперимента 2^{3 1}

Обязательное условие постановки дробного факторного эксперимента — ортогональность планов. Из табл. 30 видно, что это условие выполнено.

На рис. 33 показано расположение планов полного факторного эксперимента 2³ и двух полуреплик дробного факторного эксперимента 2³" ¹ в факторном пространстве. Крестиками обозначены планы первой полуреплики, кружками — планы второй полуреплики. Для большего количества факторов можно предоставить возможность дальнейшего сокращения относительного числа опытов, т. е. применения дробных реплик вида 2^/-р, р < /. Дробные реплики можно применять лишь в случае, когда есть уверенность в отсутствии влияния соответствующих взаимодействий факторов.

Рис. 33. Полуреплики ДФЭ 2^{3 1.}

Рис. 34. Факторное иросгранство эксперимента З^2.

При необходимости учета нелинейности отклика можно увеличить число уровней варьирования факторов, например, провести эксперимент с варьированием двух факторов на трех уровнях. В качестве третьего уровня варьирования факторов, без изменения свойств информационной матрицы, можно использовать среднее значение факторов. Таким образом, каждый фактор варьируется на трех уровнях — «+», «О» и «—». Число планов полного факторного эксперимента при этом U = q^l = З² = 9. Факторное пространство и ортогональные планы показаны на рис. 33, план-матрица полного факторного эксперимента З² приведена в табл. 30.

Таблица 31.

План-матрица эксперимента З²

При необходимости более точного учета нелинейности отклика можно увеличить число уровней варьирования факторов и провести эксперимент с варьированием факторов на трех, четырех и более уровнях. Для снижения трудоемкости эксперимента при увеличении числа уровней варьирования факторов обычно применяется дробный факторный эксперимент.