Диверсификация Тобина. 
Инвестиционный анализ

Если в состав портфеля добавлены безрисковые ценные бумаги, то состав такого оптимального портфеля называется диверсификацией Тобина. Для простоты рассмотрим случай трех ценных бумаг, из которых одна является безрисковой с дисперсией ст^ = 0 и доходностью а₀. Две другие ценные бумаги имеют доходности а_х, а₂ и дисперсии а^, Эти ценные бумаги будем называть соответственно бумагами нулевого, первого и второго типов. Доходности этих ценных бумаг не коррелированны. Матрица риск-доходность для рассматриваемого портфеля имеет вид.

Найдем произведение А • Х

Получили систему из пяти линейных уравнений с пятью неизвестными

Из этих пяти неизвестных нас интересует только состав портфеля, т. е. х₀, х, и х₂. Подставив во второе и третье уравнения системы р = -й₀и, получим новую систему из четырех уравнений:

Умножим первое уравнение на а₂ — а₀, второе — на а_х — а₀ и вычтем из первого второе. Получим систему из трех уравнений:

Подставив во второе уравнение х₀ = 1 — х_х — х₂, получим систему из двух уравнений:

Преобразуем последнюю систему к виду.

Сложив два уравнения, получим.

Решив это уравнение относительно х_и найдем формулу для доли первой бумаги в оптимальном портфеле. Аналогично находятся доли ценных бумаг х₂ и х₀. Доли для бумаг нулевого, первого и второго типов при условии о_и = о^ и о₂₂ = вычисляются по формулам.

Подставив эти значения в формулу для дисперсии портфеля, имеем.

Так как а_р > а₀, то формулу для стандартного отклонения портфеля можно записать в виде.

Решив это уравнение относительно а_/)У найдем зависимость доходности оптимального портфеля от его стандартного отклонения.

Эта функция является прямой линией. Ее вид представлен на рис. 6.3.

Тангенс угла наклона этой прямой с осью а_р определяется соотношением.

Кривая линия на рис. 6.3, имеющая вид «пули», является функцией доходности оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг первого и второго типов, от риска этого портфеля. Вид этой кривой определяется системой уравнений.

где х — доля рисковых бумаг первого типа; 1-х — доля рисковых бумаг второго типа. Из графиков рис. 6.3 видно, что прямая линия касается кривой в точке К.

Рис. 63. Графики доходности оптимального портфеля от его стандартного отклонения.

Пусть инвестор хочет сформировать портфель из трех видов ценных бумаг, одна из которых безрисковая. Инвестиционный менеджер предложит ему зависимость (6.31), представленную в виде графика прямой. На этой прямой инвестор выберет точку с приемлемой для него доходностью и стандартным отклонением. По формулам (6.29) будет определен состав этого портфеля.

Пример 6.5. Инвестор формирует портфель из трех видов ценных бумаг с характеристиками, представленными в табл. 6.6.

Таблица 6.6

Постройте прямую линию а"(сг_р) для оптимального портфеля, определите доходность портфеля и его состав при стандартном отклонении а_/; = 0,4.

Решение. Найдем тангенс угла наклона прямой.

Угол наклона оси а_р равен 7,5°. Используя формулы (6.29), находим соотношения для состава портфеля.

Точка касания /Сложит как на прямой, так и на кривой, поэтому в этой точке выполняется условие х₀ = 0. Подставив х₀ = 0 в первое из трех уравнений, получим

Отсюда находим доходность портфеля в точке касания вр* = 0,1278.

Уравнение прямой (6.31) в нашем случае имеет вид.

Так как k — тангенс угла наклона искомой прямой с осью абсцисс, то значение среднеквадратического отклонения портфеля <�з_р в точке касания определяется по формуле.

Таким образом, отрезок прямой, предложенный инвестору, может быть построен, но двум точкам (рис. 6.4) с координатами (0; 0,05) и (0,558; 0,1278).

Рис. 6.4. График зависимости доходность — риск для оптимального портфеля.

Если инвестор согласен на риск, выраженный стандартным отклонением p = 0,4, то доходность такого портфеля

Состав этого портфеля.

Полученные результаты справедливы также для портфеля из п типов рисковых ценных бумаг и одного типа безрисковой ценной бумаги. Мы знаем, что при формировании оптимального портфеля только из рисковых ценных бумаг зависимость ожидаемой доходности оптимального портфеля от стандартного отклонения имеет вид «пули». При добавлении в портфель безрисковых ценных бумаг эта зависимость превращается в отрезок прямой, соединяющей точку оси а_р, координата которой равна доходности безрисковой ценной бумаги, и точку касания К, лежащую на «нуле» (см. рис. 6.3). Инвестор будет выбирать портфель так, чтобы ожидаемая доходность и стандартное отклонение лежали на этом отрезке.

Для построения функции ожидаемой доходности портфеля, состоящего из безрисковых ценных бумаг и п типов рисковых ценных бумаг, используется следующий алгоритм.

• 1. Определяют состав оптимального портфеля из п типов рисковых ценных бумаг для экстремальной точки на кривой ^а_р(о_р) (точка D на рис. 6.3) по формуле (6.28).
• 2. Определяют доходность и дисперсию в экстремальной точке по формулам (6.2) и (6.3) или (6.20).
• 3. Задаются рядом значений доходности портфеля, состоящего из п типов рисковых бумаг, больших и меньших, чем доходность в экстремальной точке. Для каждой из доходностей определяют состав оптимального портфеля по формуле (6.27), а затем дисперсию по (6.20).
• 4. По полученным результатам строят график а_р(а_/,) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг.

5. Находят координаты точки касания. Для этих целей составляют матрицу риск — доходность

и записывают для этой матрицы обратную матрицу.

Состав портфеля ценных бумаг определяется соотношением.

Отсюда находим формулу для определения доходности а_р в точке касания. В общем случае.

Так как в точке касания х₀ = 0, то

6. Определяют структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания по формуле.

• 7. Определяют дисперсию в точке касания, но формуле (6.3) или (6.20).
• 8. На оси а_р откладывают точку, координата которой равна доходности безрисковой ценной бумаги а₀.
• 9. Через эту точку проводят прямую, касательную к функции а_р(о_р) для оптимального портфеля, состоящего из рисковых ценных бумаг (см. рис. 6.3). Отрезок, соединяющий точку на оси а._} и точку касания К, является искомой функцией ожидаемой доходности портфеля.
• 10. Инвестор в соответствии со своей склонностью к риску может указать точку на отрезке прямой доходностьриск или задать только стандартное отклонение, характеризующее его отношение к риску. По формуле

определяют состав портфеля инвестора.

Пример 6.6. Даны четыре типа ценных бумаг, три из которых — рисковые (j = 1,2,3) и одна — безрисковая (j = 0), с характеристиками, приведенными в табл. 6.7.

Таблица 6.7

Доходности ценных бумаг нс коррелированы. Постройте график функции ожидаемой доходности портфеля, состоящего из этих бумаг, от риска, а также найдите доходность и состав портфеля инвестора при выборе им риска портфеля о_ри = 0,3.

Решение. Пункты 1—4. Следует обратить внимание на то, что в состав портфеля вошли те же ценные рисковые бумаги, что и в предыдущих двух примерах. Состав такого оптимального портфеля был определен, и был построен график функции а_р(p) (см. рис. 6.2). Данные представлены также в табл. 6.5.

5. Для определения координаты точки касания составим матрицу риск-доходность

и найдем для этой матрицы обратную матрицу:

Доходность в точке касания.

6. Найдем структуру портфеля, состоящего из рисковых бумаг, в точке касания.

Таким образом, состав портфеля в точке касания.

7. Найдем дисперсию в точке касания по формуле (6.3):

• 8. По оси ординат откладываем координату, соответствующую доходности безрискового актива.
• 9. Проводим через эту точку прямую, касательную к функции доходности от среднеквадратичного отклонения рискового портфеля. Точка касания имеет координаты <�з_1>к = 0,51; а_рк = 0,116.
• 10. Риск портфеля, выбранный инвестором, ст_ри = 0,3. Связь доходности, желаемой инвестором, с желаемым риском определяется соотношением

Рис. 6.5. Графики доходность — риск

Таким образом, доля различных ценных бумаг в портфеле.

Следует обратить внимание на то, что риск портфеля, равный 0,3, меньше риска самой малорисковой ценной бумаги, риск которой 0,5. С другой стороны, доходность портфеля 8,5% годовых больше доходности самой малорисковой ценной бумаги, доходность которой 5% годовых.