Вынужденные колебания. 
Динамика машин. 
Колебания

Снова обратимся к модели привода, показанной на рис. 10.2. Пусть к выходным звеньям механизмов приложены периодические вынуждающие силы, представленные в форме ряда Фурье.

Здесь, как и ранее,/ отвечает номеру механизма. Происхождение вынуждающих сил может быть силовым и кинематическим. В первом случае они обычно связаны с выполняемой технологической операцией, а во втором — с силами инерции звеньев механизма при переносном движении. В частности, для данной модели эти силы инерции определяются как.

— га₇С0²П'(С0/). Обычно значение Q совпадает с угловой скоростью главного вала (?2 ~со₀) .

Как и раньше, на этом этапе исключим из рассмотрения резонансные режимы, что позволяет не учитывать влияние диссипативных сил. Кроме того, ограничимся случаем медленного изменения П'; это, однако, нс свидетельствует о медленном изменении вынуждающих сил, поскольку существенные по величине гармоники этих сил могут иметь место при v?2 «со₍₎.

Легко убедиться в том, что в подобных случаях при переходе через кинематический аналог механизма происходит лишь амплитудная трансформация силы в соответствии с зависимостью F^fTYj, а ее частота практически остается неизменной [3]. В этих случаях приведенная выше зависимость содержит произведения sinco/cosvco/ или sinco/sinvco/, которые при v «1 по существу описывают гармонические колебания с частотой vco₍₎ при амплитудной модуляции с частотой со₀, напоминающей режим биений (см. параграф 5.2).

Попутно отметим еще одну особенность систем с переменными параметрами, которая заключается в следующем: постоянная составляющая силы F_J0 в механизме трансформируется в переменный момент F_J{)YY_r приложенный к главному валу, а гармоника co₀(v = 1) в гармонику 2со₀ вынуждающего момента. Так, например, в кривошипно-ползунном механизме основная гармоника первой передаточной функции равна sin со/, где /, — длина кривошипа, а сила инерции в переносном движении —тсс²/, cos соt • При этом момент от этой силы на главном валу равен 0,5/wco²/² sin 2со/.

Нередко «собственные» частоты на исследуемом диапазоне, представляющем практический интерес, близки к константам. При этом переменность первой передаточной функции механизма проявляется только на амплитудах и частотах приведенных к главному валу вынуждающих сил, как это было показано выше (уточнения см. [3]).

Вынужденные колебания с частотой Ц, — vco₀ описываются как.

Здесь, как и раньше, индекс 0j отвечает главному вал)', а индекс j — соответствующему механизму. (В формулах (10.22) и ниже для упрощения записи принято ?2_v= со.).

При расчете вынужденных колебаний, как и при свободных колебаниях, происходит преобразование гармонических функций, поэтому сохраняется вид всех приведенных выше матриц перехода при замене частоты р на частоту со.

Сначала определим амплитуду реактивного момента О', действующего на главный вал, от силы Р cos од, приложенной к выходному механизму / Воспользуемся системой уравнений (10.12), которая теперь примет вид.

При учете (10.4), (10.13) на основании (10.23) получаем.

Знак минус при F?соответствует приложению силы па «выходе» (см. выше).

При этом переход через блок j теперь соответствует следующим рекуррентным зависимостям:

Поскольку FJ входит в эти уравнения линейно, справедлив принцип суперпозиции, согласно которому представим амплитудные значения на «выходе» как.

Для рассматриваемой модели й^г₀₀ = 0 (заделка), Q_l)n = 0 (свободный конец). Неизвестные коэффициенты 5₁₂, 5_|3, 5₂₂, S._n определяются посредством нескольких простых расчетов.

Счет¹. 0^=1,^=… = Р;=0.Тогда (aj_n)_i=5_i2; ((2J,)₁=5_a. (Здесь и ниже индекс при скобке указывает на номер счета.).

Счет 2. Q^O. Теперь «)₂ =5₁₃ и (Qi»)₂ =5_М. Отсюда, используя условие Qf =0, получаем неизвестное граничное условие Q™.

Амплитудно-частотная характеристика в произвольном сечении определяется по зависимостям (10.25) (или перемножением соответствующих матриц) при учете граничного условия на «входе», полученного по формуле (10.27). Обратим внимание па то, что при 5₂₂(со) = 0 имеем со = р_г, что соответствует резонансу. Если в нашем случае , то согласно.

(10.16) J_0j —"; при этом во входном сечении механизма j располагается узел колебаний (антирезонанс), а сам механизм играет роль динамического гасителя.

Если для двух и более механизмов антирезоиаиспые частоты совпадают, то в окрестности этого значения располагаются несколько «собственных» частот. При абсолютно жестком главном вале эта частота оказывается кратной собственной частотой.

При замене F^c на F^s аналогичным образом определяем а⁵₀ (со), после чего амплитуду в сечении j находим как.