Теорема Бернулли. 
Прикладная гидродинамика

Уравнение Эйлера является нелинейным уравнением в частных производных. Как правило, решение таких уравнений представляет большие трудности. Вспомним, что в механике частиц второй закон Ньютона также представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение. Во многих случаях решение задачи о движении частиц сильно упрощается, если воспользоваться законами сохранения. В механике известно три таких закона — законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса. В гидродинамике идеальной жидкости существуют аналоги этих законов. Их использование часто позволяет свести решение дифференциального уравнения Эйлера к решению простейших алгебраических уравнений.

Аналогом закона сохранения энергии в гидродинамике является теорема Бернулли. Эта теорема справедлива для стационарного течения жидкости. Чтобы ее получить, запишем стационарное уравнение Эйлера:

Теорема Бернулли формулируется и может быть доказана как для сжимаемых, так и для несжимаемых сред. Мы выведем се для простейшего случая несжимаемой жидкости. Общее доказательство этой теоремы можно найти в стандартных учебниках гидродинамики, например, в [2].

Допустим, что массовая сила f потенциальна, т. е. f_g = -pV", где и — потенциальная энергия единицы массы жидкости.

Учтем теперь общее векторное равенство.

справедливое независимо от физической природы вектора V. Квадратные скобки здесь, как обычно, означают векторное произведение. Используя это равенство в уравнении (16) и занося постоянную плотность р иод знак градиента V, получаем.

Назовем линией тока линию, касательная к которой в каждой точке совпадает со скоростью жидкости v. Для стационарных течений линия тока совпадает с траекторией движения жидкой частицы в среде. Другими словами, если мы внесем в стационарный поток жидкости маленькую частицу (капельку нссмешивающейся жидкости), то траектория движения этой частицы совпадет с линией тока основной жидкости. Такой прием используется в экспериментах для визуализации линий тока (скорости) жидкости. Для нестационарных течений, когда скорость меняется со временем, линия тока меняет свое направление и «уходит» от траектории уже прошедшей частицы.

Выберем произвольную линию тока и обозначим I — единичный вектор, направленный вдоль этой линии. Умножим обе части уравнения (17) слева скалярно на 1. По свойству оператора градиента левая часть этого уравнения станет равной.

где д/ д! означает производную по направлению линии тока. Правая же часть (17) после умножения на 1 станет равной нулю, так как векторы 1 и v параллельны, а правая часть (17) в силу свойств векторного произведения перпендикулярна v.

В результате Отсюда Здесь const, означает величину, постоянную на данной линии тока. Для разных линий тока она может быть различной.

Соотношение (19) является теоремой Бернулли. Мы доказали се для несжимаемых жидкостей, но, как уже отмечалось, она может быть доказана и в общем случае при учете сжимаемости среды.

Обратим внимание на то, что в (19) член v / 2 является кинетической энергией единицы массы жидкости, а и — ее потенциальной энергией в поле внешних сил. Можно показать (см., например, [2]), что р / р соответствует работе сил давления по переносу единичной массы жидкости вдоль линии тока. Следовательно, соотношение (19) является законом сохранения механической энергии для жидкой частицы при ее движении вдоль линии тока. Эта энергия для каждой частицы может быть своя, что отражает зависимость постоянной в правой части (19) от линии тока, но для каждой частицы она сохраняется. Уже отсюда ясно, что теорема Бернулли может выполняться только в приближении идеальной жидкости, так как эффекты вязкого трения, как и любого трения, приводят к диссипации механической энергии в тепловую.

Формулировка теоремы Бернулли упрощается для случая, когда равенство rotv= 0 тождественно выполняется во всем объеме жидкости. Поскольку операция rot v отражает вихревую структуру вектора v, течения, для которых rot v= 0, называют б е з в и х — ревы м и. Для безвихревых течений правая часть уравнения (17) тождественно равна нулю и вместо (19) мы имеем.

где в правой части находится величина, одинаковая для всей области течения. Это значительно упрощает применение теоремы Бернулли для решения задач о безвихревом течении потенциальной жидкости.