Электрические цепи и их описание

Для анализа реального устройства составляется его схема замещения из базисных элементов (двухполюсников), рассмотренных в параграфе 1.2. В дальнейшем под электрической цепью будем понимать совокупность базисных элементов, представленных в виде схемы. На схеме отображаются все элементы цепи и порядок их соединения, указываются направления протекающих через них токов и полярность напряжения.

Возможны два способа соединения (включения) элементов:

=> параллельное соединение, при котором на элементы действует одно и то же напряжение;

=> последовательное соединение, при котором через элементы протекает один и гот же ток.

На рис. 1 и 2 показаны оба способа соединения базовых элементов с источниками напряжения и тока. На примере простейших схем (рис. 1) в дальнейшем рассматриваются основные вопросы и задачи, решаемые в теории цепей.

Рис. 1. Узел (а) и контур (б) электрической цепи.

Рис. 2. Параллельное (а) и последовательное (б) соединения базисных элементов.

Ветвь, узел, контур. При математическом моделировании электрической цепи помимо описания отдельных се элементов используется описание геометрической конфигурации (структуры, топологии) цепи. К основным понятиям, характеризующим структуру цепи, относятся:

=> ветвь, под которой в общем случае понимают участок цепи с двумя выводами. В качестве ветви может быть выбран как отдельный элемент цепи, так и несколько последовательно и (или) параллельно соединенных элементов;

=> узел, являющийся точкой соединения элементов цепи (рис. 1, я). Различают два вида узлов: устранимые и неустранимые. Устранимым узлом является точка соединения элементов R и L на рис. 2,6. Устранение узлов достигается путем замены нескольких последовательно включенных элементов одним эквивалентным двухполюсником;

=> контур, представляющий собой замкнутую цепь из последовательно соединенных элементов (рис. 1,6). Простейшим контуром является цепь из двух элементов G-С (рис. 2, я).

Законы Кирхгофа. Эти законы используются дня структурного (топологического) описания цепи. На их основе составляют уравнения соединений.

Первый закон Кирхгофа связывает токи элементов (ветвей), сходящихся в узле (рис. 1, я):

=> алгебраическая сумма токов в каждом узле равна нулю или => алгебраическая сумма токов, притекающих к узлу от источников (активных элементов), равна сумме токов, исходящих из него в пассивные элементы:

где N— общее число элементов, подключенных к узлу; А/, К— число источников ЭДС и число пассивных элементов, подключенных к узлу (М + К = АО;

Знак тока определяется выбором положительных направлений токов ветвей: например токам, выходящим из узла, условно приписывается знак «+ «, а токам, входящим в узел, — знак «-».

Второй закон Кирхгофа связывает напряжения ветвей, входящих в контур (рис. 1,6):

=> алгебраическая сумма напряжений на элементах (ветвях) контура равна нулю или

=> сумма ЭДС, действующих в контуре, равна сумме напряжений на пассивных элементах контура:

где N — общее число элементов в контуре; А/, К — число источников ЭДС и число пассивных элементов в контуре (М + К = N).

Направление обхода контура при суммировании выбирают произвольно. Напряжения и ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода, берут с одним знаком «+»; направленные навстречу обходу — со знаком «-».

При составлении схем замещения реальных устройств соединение элементов не должно противоречить законам Кирхгофа и характеристикам самих элементов. Например, не допускается:

=> параллельное включение независимых источников напряжения, поскольку они задают напряжение на полюсах цепи, и последовательное включение независимых источников тока, задающих значение тока в цепи;

=> контур, составленный только из источников напряжения, и узел, к которому подключены только источники тока;

=> замыкание накоротко полюсов идеального источника напряжения (ЭДС) и размыкание полюсов идеального источника тока, так как источники наделены бесконечной мощностью.

Отметим также, что источник напряжения следует включать последовательно с ветвью цепи, а источник тока — параллельно ей (как на рис. 1). В противном случае, когда, например, источник тока подключен к последовательной RCL-цепи на рис. 2Д проведение анализа теряет смысл, так как протекающий через отдельные элементы ток известен.

Постановка задачи анализа. Исходными данными служит схема электрической цепи с известными параметрами ее элементов, включая источники напряжения и тока (рис. 2). Необходимо найти токи и напряжения отдельных элементов цени (ветвей).

В общей постановке задачи анализа известные напряжения и токи источников являются функциями возбуждения (воздействиями, сигналами) цепи, а искомые напряжения и токи ветвей — реакциями (откликами) цепи. Требуется определить реакции цепи на заданное воздействие (сигнал).

Принципы описании цепей. Для решения этой задачи необходимо составить две системы уравнений:

=> уравнения соединений, или топологические уравнения, которые зависят только от геометрической конфигурации цепи и определяются способами соединений се элементов. Эти уравнения устанавливают связи между токами и напряжениями отдельных элементов, входящих в цепь, и составляются на основе двух законов Кирхгофа;

=> компонентные уравнения, связывающие воздействие и отклик каждого элемента (см. 1.2). Эти уравнения не зависят от схемы и геометрической конфигурации цепи.

Составим уравнения для простейших цепей, изображенных на рис. 2.

Параллельная цепь (рис. 2, я). На основании закона Кирхгофа для токов запишем уравнение соединений

Дополним его компонентными уравнениями.

После подстановки (4) в (3) получаем интегро-диффсрснциалыюс уравнение с постоянными коэффициентами относительно узлового напряжения u (t):

Продифференцировав обе части уравнения (5) по времени, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Последовательная цепь (рис. 2,6). На основании закона Кирхгофа для напряжений запишем уравнение соединений.

Уравнение (7) при заданной ЭДС e (t) содержит три неизвестных Ur, ис и ul, поэтому его следует дополнить компонентными уравнениями.

После подстановки (8) в (7) получаем интегро-дифференциальное уравнение.

содержащее одну неизвестную величину — ток /(/) в контуре.

Продифференцировав обе части уравнения (9) но времени, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Полученные для описания цепей на рис. 2 уравнения (5), (9) и (6), (10) имеют одинаковую структуру. Они переходят друг в друга при замене параметров цепи и переменных на дуальные. Отсюда следует, что последовательная и параллельная цепи на рис. 2 являются дуальными цепями.

Дифференциальные уравнения играют в теории цепей фундаментальную роль, гак как в результате их решения можно получить полное представление обо всех процессах, протекающих в исследуемой цепи.