Формула сложения скоростей в СТО

Используя преобразования Лоренца, легко получить формулу сложения скоростей в СТО. Сделаем это для случая, когда оси координат систем отсчета К и К' параллельны и движение происходит вдоль оси х (рис. 8.8).

Пусть в движущейся системе координат движение материальной точки задано функциями.

а в неподвижной системе — функциями.

которые находятся из (8.6.1) с использованием преобразований (8.5.11).

Необходимо установить связь между компонентами скорости движения точки в движущейся и неподвижной системах координат, представленными соответственно в виде:

Определим, дифференциалы dr, dv, dz и dl, используя преобразования (8.5.11):

Подставляем значения дифференциалов из (8.6.5) в выражение (8.6.4) и, учитывая (8.6.3), находим:

Это искомые формулы сложения скоростей в теории относительности. Формулы обратного преобразования получаются аналогичным образом. Например, находим dv' и dпользуясь преобразованиям координат и времени (8.5.11),.

Разделив dv' на d/', находим:

Разделив на dt числитель и знаменатель последней дроби (8.6.8), получим:

Подобным образом, разделив dу* на dt' и dz на dt используя.

(8.6.5) и (8.6.7) определяем:

Из формул (8.6.9), (8.6.10), (8.6.11) следует, что скорость света постоянна и сложение скоростей никогда не приводит к скоростям, большим скорости света с.

Докажем это. Допустим и[ = с, и' = и — 0. Тогда из (8.6.6) находим:

Если и" с (или м'":с), то формула сложения скоростей СТО (8.6.6) переходит в классическую (3.6.4).