Квантово-механическое описание атома

Дальнейшее развитие теории строения атома связано с волновой, или квантовой механикой. Вскоре после 1920 г. было установлено, что не только световые кванты, но и любые микрочастицы, в том числе электроны, обладают двойственной природой — частицы как таковой и волны. В частности, наблюдалось явление дифракции электронов на кристаллах золота, аналогичное дифракции света. Длина волны, соответствующей частице с массой покоя т, движущейся со скоростью v, удовлетворяет уравнению де Бройля.

Например, электрону (т = 9,1 • 10'*¹ кг) при скорости 3 • 10* м/с отвечает длина волны.

сопоставимая с размерами атомов.

Итак, электрон — это и частица, и волна одновременно. В модели Бора электрон рассматривался как частица. Его положение в пространстве, орбита и скорость определялись с помощью расчетов, подобных расчетам траекторий планет, причем основная экспериментальная информация о движении электронов была основана на поглощении или излучении атомом света, т. е. на взаимодействии электрона и фотона. Теперь же мы должны с несколько иных, новых позиций посмотреть на такое взаимодействие, учитывая, что электрон — это не просто частица, а микрочастица, масса и импульс которой сопоставимы с массой и импульсом фотона, и помня о том, что при столкновении частиц должен выполняться закон сохранения импульса p = mv. При столкновении фотона с электроном меняются импульс фотона и частота света (рис. 3.5), тем самым давая экспериментатору информацию об импульсе электрона, который, однако, при этом меняется и сам. Ситуация в какой-то степени подобна попытке измерить скорость бегуна с помощью наблюдателя, который с разбега прыгает ему на плечи.

Рис. 3.5. Схематическое изображение столкновения двух твердых шариков, в результате которого скорость и импульс шариков меняются (а) и столкновения фотона с электроном, после которого длина волны фотона X увеличивается (до X'). а частота и энергия уменьшаются (б).

Математически эти соображения описываются принципом неопределенности Гейзенберга, согласно которому постоянная Планка ограничивает возможность одновременного точного определения положения микрочастицы в пространстве (неопределенность Ах) и ее импульса (неопределенность Amv_x):

где У_х «составляющая скорости вдоль направления х т — масса микрочастицы.

Это соотношение, в частности, объясняет опыт дифракции электронов, при котором, желая зафиксировать координату пролетающих электронов, мы размываем их импульс, т. е. длину отвечающих им волн.

В принципе, все эти рассуждения приложимы и к макрообъектам, но неопределенности в их описании настолько малы, что мы не можем измерить их на опыте. Читатель легко убедится, что, например, человеку массой 91 кг, бегущему со скоростью 12 км/ч (3 м/с), соответствует длина волны 2,4 • КГ³⁶ м, т. е. в 10²⁶ раз меньше, чем электрону, имеющему скорость 3 • 10⁶ м/с.

Требования принципа неопределенности, представления о двойственной природе электрона и введенные Бором стационарные состояния электрона были использованы австрийским физиком Э. Шредингером, который в 1926 г. дал математическое описание электрона в атоме, рассматривая его как своего рода стоячую волну. При этом вместо точного положения электрона в пространстве речь шла о вероятности его пребывания в определенном месте.

Для того чтобы попытаться представить себе электрон в атоме в виде трехмерной стоячей волны, остановимся сначала кратко на более простой одномерной модели, в качестве которой можно взять струну, закрепленную на концах (рис. 3.6.). Струна способна издавать звуки только определенных тонов, определенных частот, так как на ее длине может уложиться лишь целое число (л) полуволн — это и есть квантование энергии колебаний струны. Подчеркнем, что квантование возникает из граничных условий — оба конца струны неподвижны, волны стоячие. Для описания характера колебаний одномерной струны достаточно одного квантового числа л.

которое однозначно определяет параметры стоячей волны, ее длину и число узловых точек, в которых струна неподвижна, как и на концах. Получить колебания с другими длинами волн можно, только прижимая струну пальцами к деке музыкального инструмента, т. е. меняя ее длину (меняя граничные условия).

Моделью двумерной системы, испытывающей стационарные колебания, может служить круглая мембрана, закрепленная по краям, например кожа на барабане. Здесь также возможны лишь определенные, квантованные колебания, для описания которых необходимы уже два квантовых числа.

Электрон в атоме представляет собой трехмерную колеблющуюся систему, ему соответствует трехмерная стоячая волна. Здесь граничные условия связаны с тем, что злектрон не покидает атом и способен двш-аться е конечной скоростью. Очевидно, что для описания пространственного движения электрона в атоме нужны три и только три квантовых числа.

Таким образом, с точки зрения волновой механики электрону с определенной массой, зарядом и потенциальной энергией в атоме соответствует трехмерная стоячая волна, которая не меняется во времени — электрон остается самим собой. Математически эти условия учтены в уравнении Шредингера, рассматривать которое подробно в данном курсе нет необходимости.

Важной характеристикой электрона, как и любой микрочастицы, в волновой (или квантовой) механике служит его волновая функция ф, которая зависит от трех переменных — пространственных координат электрона. Волновая функция ф описывает зависимость амплитуды волны от координат электрона и с точки зрения принципа неопределенности, характеризует вероятность пребывания электрона в некоторой пространственной области. Квадрат волновой функции ф² определяет относительную вероятность нахождения электрона в данной точке.

Квантово-механическое описание атома основано только на вероятностном описании электронов, из обсуждения принципиально исключаются точные траектории электронов, подобные орбитам планет. В соответствии с принципом неопределенности мы не можем точно указать положение электрона в некоторый момент времени — вместо мгновенной фотографии электрона-частицы мы должны определить вероятность его пребывания в пространстве около ядра, пропорциональную ф ².

Часто принято рассматривать электрон как размытое в пространстве облако отрицательного заряда с общим зарядом, равным заряду электрона. Тогда плотность такого электронного облака в любой точке пропорциональна величине ф². Модель электронного облака очень удобна для наглядного описания распределения электронной плотности в простран;

Рис. 3.6. Колебания струны — одномерного осциллятора.

Для струны, закрепленной в точках А и В, возможны только колебания, при которых на ее длине АВ укладывается целое число полуволн п =.

= 1, 2, 3, … Колебания с п =.

= 1,5 становятся возможными, если прижать пальцем струну в точке С. Это изменит длину струны, и вновь реализуется случай с п — 1 (Л/2 = ВС)

стве, однако она физически несовершенна, так как одноименно заряженные части облака должны отталкиваться друг от друга. На самом же деле электрон не отталкивается «сам от себя». Это обстоятельство несколько ограничивает аналогию между электроном и облаком, но не мешает нам говорить об «электронных облаках» во всех случаях, когда мы не интересуемся деталями, связанными с их потенциальной энергией. Представлением об электронных облаках мы будем широко пользоваться в этой книге.