Истечение жидкости при переменном напоре

Условия истечения через отверстия или насадки, при котором напор истечения изменяется, — многообразны. Внешний приток в резервуар с расходом Q может быть постоянным и переменным, форма резервуара может быть простой или сложной, истечение может быть в атмосферу или по уровень, постоянный или переменный. Рассмотрим задач истечения жидкости, если приток в резервуар Q = const, а истечение происходит в атмосферу или иод постоянны уровень жидкости. Обозначим расход истечения из отверстия или насадка q (рис. 9.7).

При решении задачи определения зависимости р = ф (?) и q = q>(?) или обратной задачи будем считать резервуар настолько большим, что можно неустановившимся характером процесса пренебречь и определять q по формуле.

Если в начале истечения q, то резервуар начнет или опорожняться (Q), или наполняться (Q> q)> напор Я будет изменяться. С увеличением Я увеличивается q, которы будет стремиться стать равным Q. Обозначим напор Я, соответствующий этому моменту, Я_пр. Тогда можно записать

или

где со — площадь сечения отверстия или насадка.

Рис. 9.7. Истечение жидкости при переменном напоре.

Пусть за время dt в резервуар поступит объем dV_y = Qdt и вытечет объем dW₂ = pcoV2gHdt; изменение объема.

Но эту же величину можно записать следующим образом:

где Q — площадь поверхности в резервуаре, тогда В откуда получаем.

Уравнения (9.28) и (9.29) являются уравнениями, определяющими связь между параметрами истечения. Решение этих уравнений будет зависеть от конкретных условий истечения. Рассмотрим две характерные задачи.

Задача 9.1. Дано: Q = 0; Q = const; со = const. Определить: время t опорожнения резервуара от напора Н_{ до напора Н>.

Решение

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (9.29), исходя из заданных условий:

В результате получим

В случае если опорожнение резервуара будет полным (#2 = 0):

Если умножить числитель и знаменатель в формуле (9.31) на V77,, получимВ

где IV— объем жидкости в резервуаре постоянного сечения до начала истечения; q_nm — начальный расход через отверсти или насадок.

Из этой формулы следует, что время полного опорожнения резервуара равно времени вытекания через отверстие или насадок двойного начального объема резервуара при начально напоре Н.

Рассмотрим задачу другого типа, когда жидкость из одного резервуара перетекает по короткой трубе в другой под уровень. Пусть приток извне в первом и втором резервуара отсутствует. При этом напор в первом резервуаре (Я) буде убывать, а во втором (h) — возрастать (рис. 9.8); Q, Q₂ ^_В площади сечения в резервуарах; со — площадь сечения трубы.

Задача 9.2. Дано: Q = Qo ⁼ 0; Q| = const; со = const. В начальный момент времени (ГД Н = //_ц; h = h₀ Н₀ > /?₀; Н₀— h₀ = z₀. Определить: время t, за которое произойдет выравнивание уровней в резервуарах.

Решение

Пусть в какой-то момент времени H-h — z, где Н и h — соответственно напоры в первом и втором резервуаре. За время dt из резервуара 1 в резервуар 2 вытечет объем dV_{:

где р, = -, (к — коэффициент гидравлического гре;

ния трубы).

Для изменения объема во втором резервуаре за это время можно записать

Так как dW_{ = dW₂, то

Рис. 9.8. К определению времени выравнивания уровней в резервуарах откуда получаем

Продифференцируем выражение г = Я — к.

Изменение объемов в резервуарах за время ск одинаково: -?2,г7Я =.

(знак «минус» в левой части равенства — из-за того, что объем в резервуаре 1 уменьшается, а в резервуаре 2 растет). Отсюд можно записать

Подставив это выражение в равенство (9.33), получим В откуда

Подставим полученное выражение в формулу (9.32):

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от момента времени 1, для которого 2 = г, = 2₀, до момента времени ?₂, когда г = г₂ = 0:

В результате получаем, что время выравнивания уровней в резервуарах

где 2о — начальный перепад уровней в резервуарах; р₍. — коэффициент расхода системы «труба — резервуары» (8.10);

П₂ — площади сечений резервуаров; со — площадь сечения трубопровода.

В случае истечения из одного бака в другой через насадок или отверстие вместо р, подставляется коэффициент расхода соответствующего устройства.