Специальные математические методы финансового менеджмента

Логика финансовых операций в туристском бизнесе и гостиничном хозяйстве. Процентные ставки и методы их начисления.

Финансовый менеджмент требует постоянного осуществления различного рода финансово-экономических расчетов, связанных с потоками денежных средств в разные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени.

Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой обычно выступает норма ссудного процента (или процента). Иными словами, в соответствии с этой концепцией одна и та же сумма денег в разные периоды времени имеет разную стоимость; эта стоимость в настоящее время всегда выше, чем в любом будущем периоде.

Концепция стоимости денег во времени играет основополагающую роль в практике финансовых вычислений. Она предопределяет необходимость учета фактора времени в процессе осуществления любых долгосрочных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате в виде будущей прибыли, амортизационных отчислений, основной суммы долга и т. д.

Оценка стоимости денег с учетом фактора времени требует предварительного рассмотрения связанных с ней базовых понятий. Ниже приведены основные из этих понятий.

Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах (депозитный процент, кредитный процент, процент по облигациям, процент по векселям и т. п.).

Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не осуществляются. Начисление простого процента применяется, как правило, при краткосрочных финансовых операциях.

Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которая не выплачивается, а присоединяется к основной сумме капитала и в последующем платежном периоде сама приносит доход. Начисление сложного процента применяется, как правило, при долгосрочных финансовых операциях.

Процентная ставка (ставка процента) — ставка, которая характеризует соотношение суммы процента и суммы предоставленного (заимствованного) капитала (выраженное в десятичной дроби или в процентах).

Будущая стоимость денег — сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента.

Настоящая стоимость денег — сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определенной процентной ставки к настоящему периоду времени.

Наращение стоимости (компаундинг) — процесс приведения настоящей стоимости денег к их будущей стоимости в определенном периоде путем присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.

Дисконтирование стоимости — процесс приведения будущей стоимости денег к их настоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответствующей суммы процентов, называемой «дисконтом».

Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляется процесс наращения или дисконтирования стоимости денежных средств.

Интервал начисления — обусловленный конкретный временной срок (в пределах общего периода начисления), в рамках которого рассчитывается отдельная сумма процента по установленной его ставке.

Предварительный метод начисления процента (метод пренумерандо или антисипативный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала.

Последующий метод начисления процента (метод постнумерандо или декурсивный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.

Среди изложенных базовых понятий наиболее сложным является понятие процентной ставки. Она классифицируется по следующим основным признакам.

1. По использованию в процессе форм оценки стоимости денег во времени различают ставку наращения и ставку дисконтирования (дисконтную ставку).

Ставка наращения представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс наращения стоимости денежных средств (компаундинг), т. е. определяется их будущая стоимость.

Ставка дисконтирования (дисконтная ставка) представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс дисконтирования стоимости денежных средств, т. е. определяется их настоящая стоимость.

2. По стабильности уровня используемой процентной ставки в рамках периода начисления выделяют фиксированную и плавающую процентные ставки.

Фиксированная ставка характеризуется неизменным ее уровнем на протяжении всех интервалов общего периода начисления.

Плавающая (или переменная) процентная ставка характеризуется регулярно пересматриваемым ее уровнем по соглашению сторон в разрезе отдельных интервалов общего периода начислений. Такой пересмотр обусловливается изменением средней нормы процента на финансовом рынке (или в отдельных его сегментах), изменением темпа инфляции и другими условиями.

3. По обеспечению начисления определенной годовой суммы процента различают периодическую и эффективную процентные ставки.

Периодическая ставка процента при обеспечении определенной годовой суммы процента может варьировать как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов на протяжении годового периода платежей.

Эффективная ставка процента (или ставка сравнения) характеризует среднегодовой ее уровень, определяемый отношением годовой суммы процента, начисленного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.

4. По условиям формирования различают базовую и договорную процентные ставки.

Базовая процентная ставка характеризуется определенным исходным ее уровнем в качестве первоначальной основы последующей ее конкретизации кредитором (заемщиком) в зависимости от условий осуществления соответствующей финансовой операции.

Договорная процентная ставка характеризует конкретизированный ее уровень, согласованный кредитором и заемщиком и отраженный в соответствующем кредитном (депозитном, инвестиционном) договоре. Система основных базовых понятий позволяет последовательно рассмотреть методический инструментарий оценки стоимости денег во времени по наиболее характерным вариантам осуществления такой оценки.

I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентам.

1. При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется следующая формула:

где / - сумма процента за обусловленный период времени в целом;

Р — первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;

п — количество интервалов расчета процентных платежей в общем периоде времени;

i — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае будущая стоимость вклада (5) с учетом начисленной суммы процента определяется по формуле.

Множитель (1 + ш) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше единицы.

2. При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования стоимости (т. е. суммы дисконта) используется следующая формула:

где D — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам) за период времени в целом;

5 — стоимость денежных средств;

N — количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем периоде времени;

/ - используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется по следующей формуле:

Используемый в обоих случаях множитель называется дисконтным множителем-(коэффициентом) суммы простых про;

1 + ni

центов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

II. Методический инструментарий оценки стоимости денег по сложным процентам использует более обширную и более усложненную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:

где S_c — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его наращении по сложным процентам;

Р — первоначальная сумма вклада;

/ - используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример.

Банк выплачивает 5% годовых по депозитному вкладу. Согласно формуле (2.2), 100 долл., вложенные сейчас, через год станут:

Если вкладчик решает оставить всю сумму на депозите еще на один год, то к концу второго года объем его вклада составит, долл.:

или по формуле (2.5).

Процесс наращения стоимости 100 долл, по годам можно представить в виде табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Процесс наращения стоимости по годам.

Соответственно сумма процента (1_С) в этом случае определяется по формуле:

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процентам используется следующая формула:

где PC — первоначальная сумма вклада;

S — будущая стоимость вклада при его наращении, обусловленная условиями инвестирования;

i — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма дисконта (Д) в этом случае определяется по формуле

Пример.

Пусть инвестор хочет получить 200 долл, через 2 года. Какую сумму он должен положить на срочный депозит сейчас, если депозитная процентная ставка составляет 5%?

С помощью формулы (2.7) легко определить.

Понятно, что формула (2.7) лежит в основе процесса дисконтирования. И в этом смысле величина г интерпретируется как ставка дисконта и часто называется просто дисконтом.

3. При определении средней процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула:

где / - средняя процентная ставка, используемая в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

S_c — будущая стоимость денежных средств;

Р_с — настоящая стоимость денежных средств;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

4. Длительность общего периода платежей, выраженная количеством его интервалов в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, определяется путем логарифмирования по следующей формуле:

где S_c — будущая стоимость денежных средств;

Р_с — настоящая стоимость денежных средств;

i — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

5. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам осуществляется по формуле:

где 1_Э — эффективная среднегодовая процентная ставка при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

/ - периодическая процентная ставка, используемая при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

п — количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж по периодической процентной ставке на протяжении года.

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвестировать деньги под меньшую ставку процента, но с большим числом интервалов в течение предусмотренного периода платежа.

Используемые в процессе оценки стоимости денег множители называются соответственно, множителем наращения и множителем дисконтирования суммы сложных процентов.