Нелинейные модели регрессии

До сих пор мы рассматривали линейные регрессионные модели, в которых переменные имели первую степень (модели, линейные по переменным), а параметры выступали в виде коэффициентов при этих переменных (модели, линейные по параметрам). Однако соотношение между социальноэкономическими явлениями и процессами далеко не всегда можно выразить линейными функциями, так как при этом moot возникать неоправданно большие ошибки.

Так, например, нелинейными оказываются производственные функции (зависимости между объемом произведенной продукции и основными факторами производства — трудом, капиталом и т. п.), функции спроса (зависимость между спросом на товары или услуги и их ценами или доходом) и другие.

Для оценки параметров нелинейных моделей используются два подхода.

Первый подход основан на линеаризации модели и заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения между преобразованными переменными.

Второй подход обычно применяется в случае, когда подобрать соответствующее линеаризующее преобразование не удастся. В этом случае применяются методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных.

Для линеаризации модели в рамках первого подхода могут использоваться как модели, не линейные по переменным, так и не линейные по параметрам.

Если модель нелинейна, но переменным, то введением новых переменных ее можно свести к линейной модели, для оценки параметров которой использовать обычный метод наименьших квадратов.

Так, например, если нам необходимо оценить параметры регрессионной модели.

получим ли;

то вводя новые переменные нейную модель.

параметры которой находятся обычным методом наименьших квадратов по формуле (4.8).

Следует, однако, отмстить и недостаток такой замены переменных, связанный с тем, что вектор оценок h получается не из условия минимизации суммы квадратов отклонений для исходных переменных, а из условия минимизации суммы квадратов отклонений для преобразованных переменных, что не одно и то же. В связи с этим необходимо определенное уточнение полученных оценок.

Более сложной проблемой является нелинейность модели но параметрам, так как непосредственное применение метода наименьших квадратов для их оценивания невозможно. К числу таких моделей можно отнести, например, мультипликативную (степенную) модел ь.

экспоненциальную модел ь.

и другие.

В ряде случаев путем подходящих преобразований эти модели удастся привести к линейной форме. Так, модели (5.11) и (5.12) могут быть приведены к линейным логарифмированием обеих частей уравнений. Тогда, например, модель (5.11) примет вид:

К модели (5.13) уже можно применять обычные методы исследования линейной регрессии, изложенные в гл. 4. Однако следует подчеркнуть, что критерии значимости и интервальные оценки параметров, применяемые для нормальной линейной регрессии, требуют, чтобы нормальный закон распределения в моделях (5.11), (5.12) имел логарифм вектора возмущений е (т. е. In z *N_n (0, g^[1][2]E"), а вовсе не е. Другими словами, вектор возмущений г должен иметь логарифмически нормальное распределение.

Заметим попутно, что к модели.

рассматриваемой в качестве альтернативной по отношению к модели (5.11), изложенные выше методы исследования линейной регрессии уже непригодны, так как модель (5.14) нельзя привести к линейному виду. В этом случае используются специальные (итеративные) процедуры оценивания параметров.

В качестве примера использования линеаризирующего преобразования регрессии рассмотрим производственную функцию Кобба—Дугласа

где Y — объем производства, К — затраты капитала, L — затраты труда.

Показатели, а и (3 являются коэффициентами частной эластичности¹ объема производства Y соответственно по затратам капитала К и труда L. Это означает, что при увеличении одних только затрат капитала (труда) на 1% объем производства увеличится на а% (Р%).

Учитывая влияние случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению, функцию Кобба—Дугласа (5.15) можно представить в виде.

Полученную мультипликативную (степенную) модель легко свести к линейной путем логарифмирования обеих частей уравнения (5.16). Тогда для /-го наблюдения получим.

Если в модели (5.16) <�х+р=1 (т. е. модель такова, что при расширении масштаба производства — увеличении затрат капитала К и труда L в некоторое число раз — объем производства возрастает в то же число раз) функцию Кобба—Дугласа представляют в виде.

или.

Таким образом, получаем зависимость производительности труда (Y/L) от его капиталовооруженности (K/L). Для оценки параметров модели (5.18) путем логарифмирования приводим ее к виду (для /-го наблюдения).

Функция Кобба—Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид:

где t— время; параметр 0 — темп прироста объема производства благодаря техническому прогрессу. Модель (5.20) приводится к линейному виду аналогично модели (5.16).

? Пример 5.4. По данным п = 50 предприятий легкой промышленности оценить производственную функцию КоббаДугласа в виде (5.18).

Решение. От исходных значений переменных K/L и Y/L перейдем к их натуральным логарифмам и, используя метод наименьших квадратов, рассчитаем оценки параметров модели (5.19)¹. Получим.

ИЛИ.

(в скобках указаны стандартные отклонения коэффициентов регрессии). Коэффициент регрессии, равный 0,25 (он же коэффициент эластичности в модели (5.18)), говорит о том, что при изменении капиталовооруженности труда на 1% производительность труда на предприятиях отрасли увеличивается в среднем на 0,25%. С помощью /-критерия легко убедиться в том, что коэффициент регрессии, а значит, и уравнение парной регрессии, значимы. ?

• [1] Коэффициентом частной эластичности Exfy) функции у — j{x 1²,—" хп) относительно переменной *,?(/ = 1,2,…,/?) называется предел отношения относительногочастного приращения функции к относительному приращению этой переменной
• [2] при Дху-«0, т.с. Ех.(у) = Пт | | = — у’х. Нетрудно убедиться в том, что ' У Xi) У для функции Кобба—Дугласа ?*(Y) = а, ?/.(Y)= р.