Арбитражные стратегии. 
Эконометрика

Под арбитражной стратегией понимается стратегия, которая гарантированно приносит доход не ниже, а при удачных обстоятельствах строго выше безрисковой ставки. В реальной ситуации стратегия считается арбитражной, если в результате доходность выше рыночной оказывается с доверительной вероятностью Р₀ (например, Р₀ = 0,95).

На практике арбитражные стратегии ищутся с помощью эконометрических моделей. Пусть F_v…, F_k — факторы, определяющие доходности Л1,…, R" активов (п значительно превышает к). Регрессионные уравнения имеют вид:

Пусть считаются выполненными условия:

• 1) F_s и ё; не коррелируют;
• 2) дисперсии е_{ намного меньше дисперсий Rf.

На практике условие 2 означает, что уравнение (12.13).

имеет высокий коэффициент детерминации. Пусть портфель vv = {u>,…п>"} подобран так, что «убивается» зависимость от факторов, то есть выполняются равенства.

Тогда доходность и дисперсия портфеля имеют, соответственно, вид:

Арбитраж достигается, если выполнено условие:

На практике, однако, вместо параметров р_й, Ц, имеются лишь их оценки а_и Sy. Портфель, таким образом, подбирается так, что выполняется условие:

Оценки параметров портфеля при этом имеют вид:

И вместо условия (12.16) проверяется условие:

Насколько условие (12.19) гарантирует выполнение условия (12.16)? Естественно ожидать, что чем выше коэффициент детерминации уравнения (12.13), тем вероятнее выполнение этого условия. Методом компьютерного моделирования можно подтвердить, что при детерминациях в границах (0,9—0,95) неравенство (12.16) выполняется практически всегда, если выполнено условие (12.19).

Модель Блэка-Литермана. Одним из самых значительных результатов классической финансовой экономики является портфельная теория Марковица-Шарпа, которая, в частности, утверждает, что имеется оптимальный (для всех инвесторов) портфель, который имеет вид:

где р⁷ = (ц|,…, р") — вектор ожиданий доходностей, О — матрица ковариаций доходностей, г — безрисковая ставка, г — толерантность к риску. Легко получить, что.

На практике, однако, значения параметров неизвестны. Более того, оценки доходностей т, вообще говоря, не могут быть получены обычными методами статистики из временных рядов, так как выборочные стандартные отклонения на два порядка превосходят выборочные средние.

Модель Блэка-Литермана предполагает обратный подход. Она исходит из того, что известен как раз рыночный портфель. На самом деле варианты рыночных портфелей предлагают аналитические агентства. Такие предлагаемые варианты называются бенчмарками.

Итак, предполагается, что известен бенчмарк w_B и адекватные оценки ожидания р_в и дисперсии ст| его доходности R_B. Пусть также получена оценка Q матрицы ковариации ?2. Тогда из равенств (12.20), (12.21) можно получить оценки доходностей входящих в бенчмарк активов.

Оценки (12.20) называются рыночными.

Модель Блэка-Литермана предоставляет инвестору возможность попытки «переиграть бенчмарк». Это может получиться, если удастся получить оценки доходностей более точные, чем рыночные. Для этого инвестор может воспользоваться мнениями внешних экспертов.

Примеры экспертных прогнозов:

• 1. Доходность актива /, составит 1,2%.
• 2. Доходность актива /₂ превысит доходность актива /₃ на 0,5%.
• 3. Доходность активов /₃, /₅ превысит доходность активов /_н, /₇ на 0,4%.

При этом экспертная оценка содержит также оценку достоверности прогноза.

Прогнозы 1,2,3 можно записать следующим образом:

• 1. Д =0,012.
• 2. Я₂-Я₃ = 0,005.
• 3. R_i+R₅-R_e-R₇=0,00A.

Общий подход к рассмотрению экспертных оценок следующий. Пусть R — некоторый рыночный вектор случайных величин (например, доходностей) — R^T =(R_v…, R_n). Экспертные оценки задаются в виде матрицы Р (к, п), которая называется «сборочной» (pick matrix). В нашем примере матрица имеет вид:

В нашем примере «⁷_хр = (0,012; 0,005; 0,004). Матрица Q₍._XI> определяется исходя из оценок достоверности прогнозов.

Пусть имеются рыночные оценки: т_м, Q_M. Предполагается, что:

Основная предпосылка модели Блэка-Литермана: рыночные доходности сами по себе являются случайными величинами, удовлетворяющими условию:

где п — -«истинные» доходности, а

Задача получить оценку л. При этом предполагается:

где X — некоторый коэффициент пропорциональности, по логике некоторое малое число.

Прогнозы экспертов записываются в виде:

где

Уравнения (12.25), (12.28) можно объединить в одну регрессионную модель. Определим вектор Y (n + k, 1): Y^T =(i', q^T); матрицу регрессоров X{п + к, п): Х^т); вектор ошибок регрессии —.

г|(/? +/c, l); г|⁷ = (с^т, с/) с нулевым средним и блочно-диагональной матрицей ковариации О. Тогда уравнения (12.25), (12.28) принимают вид:

Применяя к (12.31) обобщенный метод наименьших квадратов, получим:

т.е.

или.

Из (12.24), (12.25), (11.28), (12.29) следует R = л+г + Е, и из некоррелированности е, Е, следует Q = Q_M + Xft.

Матрица ковариации обобщенной модели регрессии (12.31) имеет вид: Q. = (х^гЙ^_1х), таким образом:

Портфель, составленный с учетом мнения экспертов, находится по формуле (12.20), в которую надо подставить m_BL, Q_BL.

Приложения.