Догонит ли Ахиллес черепаху?

Этот вопрос, поставленный в свое время древнегреческим философом Зеноном, открывает 3-ю часть 3-го тома романа Льва Толстого «Война и мир». Вот в каких словах излагает проблему автор знаменитой эпопеи.

Известен софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то что Ахиллес идет в десять раз быстрее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимой. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что были допущены прерывные единицы движения, тогда как движение и Ахиллеса, и черепахи совершалось непрерывно. Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса. Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно-малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми. В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же. Постижение законов этого движения есть цель истории, заключает Лев Толстой.

От истории обратимся к математической и физической стороне дела и рассмотрим различные версии описанного события.

Версия историческая: Ахиллес бесхитростный. Считая скорости персонажей постоянными, примем скорость черепахи за единицу, а скорость Ахиллеса, догоняющего черепаху, за v (v >1); расстояние, пройденное черепахой к моменту, когда Ахиллес начинает погоню, ради простоты, примем также за единицу. Спрашивается: в какой момент времени Ахиллес догонит черепаху? Вот как нынешний школьник, лишенный сомнений и раздумий древних мыслителей, решает эту задачу.

Проходимый черепахой путь s как функция времени численно равен времени: s (t) = t, а путь, проходимый Ахиллесом, начинающим движение на единицу времени позже, выразится так: s (t) = v{t — 1). Момент времени t, когда Ахиллес догонит черепаху (а в том, что рано или поздно это произойдет, сомневается разве что Фома неверующий) определяется уравнением г? (Г -1) = t и легко находится:

При v = 10 (гипотеза Зенона) получаем: t = 10/9. Но даже если бы скорость Ахиллеса была намного меньше, например всего в 1,1 раза превосходила скорость черепахи, он все равно бы ее догнал, правда, значительно позднее, в этом случае t = 11.

Рассмотрим ту же задачу под древнегреческим парадоксальным углом зрения. Расстояние As, = 1, разделяющее персонажей, когда Ахиллес начинает бег, он проходит 1.

за время -; за это время черепаха уходит вперед на рас;

^v 1.

стояние, численно равное этому отрезку времени, т. е. на —.

«Второй этан» Ахиллес покрывает за время —, за которое черепаха отрывается от него на расстояние, численно равное и т. д. — «до бесконечности». Закономерность такова, что п-й временной промежуток, который требуется Ахиллесу для преодоления очередного отрезка пути, равен 1.

—. Обратимся к «хронометру»: предстартовое время ожидания: Af₀ = 1;

В итоге, время погони выражается бесконечной суммой временных отрезков (бессмысленной, если не привлекать теорию пределов):

V^х

Теория пределов вносит в этот результат необходимую ясность: эта бесконечная сумма бесконечно убывающих слагаемых имеет вполне определенное, конечное значение, определяемое по формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Разумеется, полученное таким путем значение t совпадает с найденным ранее ответом (вне сомнений, известным и древним грекам, которые были не глупее нас и так же легко могли бы получить его приведенным выше, не «окольным», а «школьным» способом). Важно отметить, что успех Ахиллесу гарантирует одно и то же, постоянное преимущество в скорости!

Версия гипотетическая: Ахиллес хитроумный. Эта версия предполагает, что черепаха передвигается с прежней постоянной единичной скоростью, а скорость Ахиллеса хотя в каждое мгновение и превосходит черепашью, но с течением времени убывает. Замечая, что с каждым шагом он все больше приближается к черепахе и на этом основании желая сэкономить силы, устающий с течением времени Ахиллес легкомысленно позволяет себе поэтапно сбавлять скорость и бежать по облегченному графику, построенному следующим образом.

Первый этап, равный единице, отделяющий его от черепахи, ушедшей со старта раньше на единицу времени, Ахиллес преодолевает в 2 раза быстрее черепахи, которая за это время уйдет вперед на расстояние У₂. Далее второй этап длиной в У₂, ^он преодолевает, двигаясь с меньшей скоростью, равной ³/₂, за время, равное У₃; за это время черепаха уходит вперед на расстояние У₃. Третий этап — длиной в У₃ — он преодолевает, передвигаясь с еще меньшей скоростью, равной ⁴/₃, за время, равное У₄; за это время отрывается от него на расстояние У₄.

В общем виде «сценарий забега» Ахиллеса таков: п-й.

" 1 п +1.

этап, равный —, он проходит со скоростью — за время.

^{п п}

; за это время черепаха уходит в отрыв на расстояние.

—Ци т.д. — до бесконечности. Включаем «хронометр»: п +1.

Для того чтобы Ахиллес догнал черепаху, нужно, чтобы (по образцу первой версии) сумма бесконечного числа временных промежутков его бега равнялась некоторому конечному числу Т:

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

Убедимся в том, что сумма слагаемых в каждой скобке 1.

превосходит.

всего восемь слагаемых Поскольку при неограниченном росте п число скобок неограниченно возрастает, то никакого конечного числа Т в сумме мы не получим. По этой версии Ахиллес действительно никогда не догонит черепаху!^[1] Утрата первоначального превосходства в скорости на каждом этапе слишком велика и не позволяет компенсировать стартовое отставание.

Предлагаем читателю убедиться самостоятельно, что если бы Ахиллес избрал более скромное поэтапное уменьшение скорости, гарантированное, например, формулой:

то он не проиграл бы исторический забег, а обогнал бы черепаху менее чем за 3 и даже менее чем за 2^х/₂ единицы времени!

Как справедливо заметил великий писатель-философ, решение задач такого рода сводится к одному вопросу: какова сумма бесконечного числа бесконечно малых слагаемых? Основанные на неразвитости математического понятия бесконечности парадоксы Зенона и среди них апория, попавшая в «Войну и мир», обнаруживали необъяснимые противоречия в понятиях движения, пространства и времени и тем самым побуждали его современников задуматься над природой вещей, предостерегая от слишком простых и очевидных объяснений. Они интересны тем, что наглядно вскрывают диалектическое единство и противоречия конечного и бесконечного, непрерывного и дискретного.

• [1] Шутки ради напомним курьезный случай, когда однажды хитроумный Братец Черепаха «обогнал» не менее быстрого, чем Ахиллес, Братца Кролика, о чем поведал миру Джоэль Харрис в знаменитых «Сказкахдядюшки Римуса». Если бы самоуверенный грызун кроме морковки грызи гранит науки (или хотя бы почитывал «Войну и мир»), то никогда быне стал связываться с черепахами!