Сформулируйте статистическое определение вероятности. 
Что такое частота случайного события?

Статистическое определение вероятности дано в определении 1.3. Вероятностью случайного события называется предел его частоты при неограниченном увеличении, числа испытаний, т. е.

.

Описание частоты случайного события приведено в определении 1.2. Пусть в n испытаниях событие, А появилось m раз. Относительной частотой или просто частотой события, А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых событие, А появилось, к общему числу испытаний:

.

Что называется суммой и произведением двух событий? Докажите теоремы сложения и умножения вероятностей?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Суммой двух событий, А + В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий АВ, называется событие, состоящее в наступлении каждого из этих событий.

Теорема 4.1. Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме их вероятностей:

(4.1) ,.

если события несовместимы.

Доказательство: Действительно, обозначим m— число исходов, благоприятствующих событию А, l — число исходов, благоприятствующих событию В, n — общее число исходов данного испытания. Тогда:

.

если события несовместимы. Отсюда следует равенство.

(4.1): .

Следствие 4.1. Вероятность суммы n попарно несовместимых событий равна сумме их вероятностей:

(4.2), если при i j.

В общем случае верна следующая теорема:

ТЕОРЕМА 4.2 (Теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы двух событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения:

(4.2) Р (А + В) = Р (А) + Р (В) — Р (АВ).

Доказательство. Обозначим n общее число возможных элементарных исходов, m₁ — число исходов, благоприятствующих событию А, m₂ — число исходов благоприятствующих событию В, m — число исходов, благоприятствующих одновременному наступлению событий, А и В Количество исходов, благоприятствующих событию А+В, равно m₁ + m₂ — m. Тогда получим:

(4.3) .

ТЕОРЕМА 4.3 (Теорема произведения вероятностей). Вероятность произведения двух событий ровна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

(4.4) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Условней вероятностью Р (А/В) = Р_В (А) называют вероятность события А, вычисленную в предположении того, что событие В уже наступило.

Доказательство. Обозначим n — общее количество возможных элементарных исходов, вероятность дискретный распределение.

m₁ — число исходов, благоприятствующих событию А, m — число исходов из числа m₁, благоприятствующих событию В (см. рис.). Очевидно:

Р (А) = m₁ / n, Р (АВ) = m / n,.

Р (В/А) = m/m₁.

Таким образом:

.